辽宁省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟卷03

**基本信息** 覆盖选择性必修三及一轮复习核心内容，通过梯度化题型设计考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，解答题注重综合应用与创新探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、数列、函数性质、导数几何意义|单选基础巩固（如数列公差计算），多选辨析概念（如函数定义域与不等式充要条件）| |填空题|3/15|函数求值、值域、数列求和|考查数学运算（如分段函数求值）与转化思想（如数列递推求和）| |解答题|5/77|不等式求解、数列证明、导数应用|19题三问递进考查函数单调性、存在性证明及取值范围，体现逻辑推理与创新意识；18题结合函数奇偶性与图像交点，考查数学语言表达能力|

辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由或，， 所以. 2．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 3．在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由等差数列的性质得，则， 故的公差为. 4．在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ） A．12 B． C．24 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式求解. 【详解】在各项均为正数的等比数列中，，， 所以， 解得， 此时， 所以. 5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 6．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得的值，进而可求解. 【详解】由，得． 切线与直线平行，所以切线斜率为3． 于是，解得．又． 切线方程为， 即． 7．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 8．已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，并结合函数的奇偶性，求得不等式的解集. 【详解】令，则. 因为对任意，都有恒成立， 所以当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 因为为偶函数，所以为偶函数， 由，得， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以其解集为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 10．在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 【答案】ABD 【详解】数列中，若，，则， 所以，即， 即，且. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以A正确. 所以，，， 因为，所以，所以数列是递减数列，所以B正确. 若数列的前n项和为， 则 ，所以C错误. 因为，所以. 若数列的前n项和为， 则， 其中.所以D正确. 11．已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（   ） A．当 时，的最小值为0 B．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 C．若 对任意恒成立，则实数的取值范围是 D．当时，有且仅有3个零点 【答案】ABD 【分析】A根据得到函数的导函数，求，得到，再根据函数的单调性得到最小值，B令，讨论的取值范围，根据函数的单调性以及零点求解即可，C讨论的取值范围寻找特殊点的函数值，利用函数的单调性求解，D首先分析函数的单调性，得到的极值点，再分析的符号，进而得到的零点. 【详解】因为，所以. 对于A，当时，，，令，解得. 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，A正确； 对于B，因为，所以. 令，则问题等价于函数有两个不同的零点. 因为，若，，所以单调递增， 则函数最多有一个零点，不符合题意； 若，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以在处取得极小值， 且极小值为， 要使函数有两个不同的零点，则. 因为，则，即，解得. 又当时，，，所以； 当时，函数的增长远快于一次函数，所以. 综上，当时，函数有两个不同的零点，B正确； 对于C，要使对任意恒成立，分情况讨论： ①当时，由A知，恒成立，符合要求； ②当时，在上单调递增，，， 故存在，使得.在上单调递减，在上单调递增， 因此，不符合要求； ③当时，取，； 取，，均不满足恒成立； ④当时，，不符合要求. 综上，当且仅当时满足条件，C错误. 对于D，当时，，. 令，则. 令，得， 当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以. 结合时，可知有两个不同的实数根， 分别对应的极大值点，极小值点. 又，所以，在上单调递减，且， 所以在上有1个零点，且； 在上单调递增，又当时，，， 所以在上有1个零点；在上单调递增， 又当时，，，所以在上有1个零点. 综上，有且仅有3个零点，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 ，则 ________ 【答案】/ 【详解】由 ，则， 所以，则. 13．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】函数，当时，取得最小值，， ，解得或， 已知函数在区间上的值域为，则 区间必包含，且区间端点值不超过， 取最大值时，取最小值，取最大值，此时． 14．已知数列满足，则数列前项和为_______． 【答案】 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项公式，再通过裂项相消法求解新数列的前项和. 【详解】已知①. 当时，代入①式得. 当时，有②. ①-②得： ∵ ，∴ 两边同除以得（），且时也满足该式，故对任意，. ∴ . 设数列的前项和为，则 【点睛】方法归纳：对于形如的递推式，常通过作差法消去前项求通项；裂项相消法适用于通项可拆为两项差的数列求和，相消后剩余首尾对称的项. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 16．记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)由（1）知， 由， 得 . 所以数列的前项和， 得， 因此，. 【分析】（1）根据前项和与的关系，判断出数列为等差数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据第（1）问，表示出数列的通项公式，对裂项，求其前项和，再证明结论成立. 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得， 解得舍去. 当时，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）略 17．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极小值，且极小值大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，由导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，分、讨论求解即可. 【详解】（1）由，则， 可得，即，满足题设，所以， 则，可得 ，而， 所以曲线在点处的切线方程，即. （2）由，，则， 当时，恒成立，显然不存在极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则时，取得极小值， 则， 即，则，即， 所以的取值范围为． 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】(1)由偶函数定义可直接求解m； (2)已知函数存在零点，转化成方程有解，通过计算的值域得出的范围； (3)函数与的图象有且只有一个公共点，令，则方程可化为，转化成一元二次方程有且只有一个正根讨论. 【详解】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为， 即，                                           所以对任意恒成立，                                                   解得； （2）由（1）得：， 所以，                                                     因为函数存在零点，所以， 即方程有解，                                                 令，                             因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：， 即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为， 解得，不合题意，舍去；                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根， 则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根， 则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 19．已知函数f (x)＝a ln x－x＋1(a∈R)， (1)讨论函数f (x)的单调性； (2)若，存在，满足 ，证明： (3)当时， ，求 的取值范围. 【答案】(1) 时，的减区间是 ，时，的增区间是 ，减区间是 ． (2)由（1）知在 上递增，在 上递减， 存在，满足 ，不妨设，则， 要证 ，只要证，由于 ，在 上递减， 所以只要证 ，而 ，所以只要证 ， 设 ， 则 ， ， 因为，则，所以 ， 所以是增函数，所以 ， 所以时， ，即 ， 所以 ， 所以 成立． (3) ． 【分析】（1）求出导函数，然后分类讨论，由得增区间，由得减区间； （2）不妨设，则，要证 ，只要证，由于 ，在 上递减，只要证 ，而 ，所以只要证 ，设 ，由导数确定单调性可证； （3）把不等式 化简为 ，由定义域得 ，然后按 分类讨论求解． 【详解】（1），的定义域是 ， 时， 时，恒成立，的减区间是 ； 时，时，，时，，所以的增区间是 ，减区间是 ， 综上， 时，的减区间是 ，时，的增区间是 ，减区间是 ． （2）略 （3）不等式 即为 ，即 ， 当时， 恒成立，则由定义域得 在时恒成立，所以 ， ， 时，不等式 为 ，不成立， 时，不等式 化为 ，， ， ，由已知对恒成立，所以 ，所以 ， 时，不等式 化为 ，， ，由于 ，而，此不等式不成立， 综上， 的取值范围是 ． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，，则的公差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ） A．12 B． C．24 D． 5．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 6．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 8．已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 11．已知函数，其中 ，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有（   ） A．当 时，的最小值为0 B．若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 C．若 对任意恒成立，则实数的取值范围是 D．当时，有且仅有3个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 ，则 ________ 13．若函数在区间上的值域为，则的最大值为_____． 14．已知数列满足，则数列前项和为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 16．记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 17．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极小值，且极小值大于，求的取值范围． 18．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 19．已知函数f (x)＝a ln x－x＋1(a∈R)， (1)讨论函数f (x)的单调性； (2)若，存在，满足 ，证明： (3)当时， ，求 的取值范围. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $