精品解析：2026年内蒙古自治区通辽第五中学中考考前模拟数学试题

2025－2026学年九年级下学期中考三模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线轴且与 轴的距离等于5，则直线与轴交点坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为和，那么这个菱形窗花的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 小刚热爱密码，他常用因式分解来隐藏信息．现有一组对应关系：→“蒙”，→“古”， →“草”，→“原”，→“辽”，→“阔”．将多项式先因式分解，再根据对应关系解读密码信息，结果可能是（ ） A. 草原辽阔 B. 蒙古辽阔 C. 辽阔草原 D. 草原蒙古 6. 我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点 ．已知平行四边形中，周长为，，则四边形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 8. 二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一个正多边形的每个内角均为 ，则这个多边形的边数是______． 10. 某学校开展“铸牢中华民族共同体意识”主题知识竞赛，5名参赛学生的成绩（单位：分）如下：88，92，90，94，96，则这组数据的方差是_______． 11. 如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解不等式组或化简求值 （1）解不等式组：，并写出所有的负整数解； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n （1）表格中 ________，________； （2）若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ （3）从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 15. 如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） （1）实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； （2）铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 16. 如图，在中，，，以为直径的与相交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，连接，当与相切时， ①求的值； ②若，求的长． 17. 如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； （3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 18. 综合与实践 问题提出：探究线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． （1）探究发现：如图，在矩形 中，，，是 边上一点，过点 作于点，于点，则 ________； （2）实践应用：如图，在中，，，，把绕点逆时针旋转到，点在延长线上，连接交于点，过点作于点，于点，求的值； （3）拓展延伸：如图，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为点，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级下学期中考三模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法．根据题意列出算式，进行有理数的加法运算即可． 【详解】解：由题意得（元）， ∴他当天微信零钱的最终收支情况是元． 故选：B． 2. 如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过直角顶点B作于点D，根据直角三角形绕直角边所在的直线旋转得到圆锥即可判断． 【详解】解：过直角顶点B作于点D，如图， 则绕直线旋转一周后得到两个圆锥，且这两个圆锥共底面， 故得到选项D的几何体． 3. 已知直线轴且与 轴的距离等于5，则直线与轴交点坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线的坐标特征，结合点到坐标轴的距离性质，即可求出直线与轴的交点坐标． 【详解】解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标相等，设纵坐标为， 直线与轴的距离等于， ，解得或， 又轴上所有点的横坐标为， ∴交点坐标为或． 4. 传统菱形窗花常用于中式装修装饰，某款菱形窗花的两条对角线长度分别为和，那么这个菱形窗花的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线的乘积的一半列出计算即可． 【详解】解：∵菱形窗花的两条对角线长度分别为和， ∴这个菱形窗花的面积是． 5. 小刚热爱密码，他常用因式分解来隐藏信息．现有一组对应关系：→“蒙”，→“古”， →“草”，→“原”，→“辽”，→“阔”．将多项式先因式分解，再根据对应关系解读密码信息，结果可能是（ ） A. 草原辽阔 B. 蒙古辽阔 C. 辽阔草原 D. 草原蒙古 【答案】D 【解析】 【详解】解： 根据对应关系，→“蒙”，→“古”， →“草”，→“原”， 则结果可能是草原蒙古． 6. 我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵参与分配的牧民有人，驮银有锭， 则当每人分锭，剩余锭时，总驮银， 当每人分锭，缺少锭时，总驮银， 因此可得方程组． 7. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点 ．已知平行四边形中，周长为，，则四边形的周长为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则的周长． 8. 二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点可判断a，b，c的符号，即可判断①；根据抛物线与x轴交点的位置即可判断②，根据抛物线的对称轴即可判断③，根据①②的结论结合平方差公式即可判断④，根据抛物线的增减性即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确． ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标小于3，又对称轴为直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标大于， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴当时，，即，故②正确． ∵， ∴，故③正确； ∵当时，， 又， ∴， ∴， ∴，故④错误． ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ∵，，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤，共4个． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 一个正多边形的每个内角均为 ，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由内角度数得到每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数即可求得边数． 【详解】解：∵正多边形的内角与外角互为邻补角， ∴正多边形的每个外角为， 又∵任意多边形的外角和为， ∴该正多边形的边数为． 10. 某学校开展“铸牢中华民族共同体意识”主题知识竞赛，5名参赛学生的成绩（单位：分）如下：88，92，90，94，96，则这组数据的方差是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数， 方差． 11. 如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 【答案】米或米 【解析】 【分析】设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或米． 12. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于点，交轴于点．连接，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入得，求得反比例函数的表达式，再通过反比例函数的表达式求出点的坐标，再将点和点的坐标求出一次函数的表达式，当时，求出点，得到的值，再由即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵把代入得， ∴， 把代入得， ∴， 把的坐标代入得， 解得：， ∴， 当时，，得， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解不等式组或化简求值 （1）解不等式组：，并写出所有的负整数解； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）不等式组的解集为，负整数解是 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质，分别解两个不等式，并由此得到不等式组的解集，从而求出该不等式组的负整数解； （2）根据分式运算的法则，对原式进行化简运算，最后将代入化简后的式子，即可求出原式对应的数值． 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，负整数解是； 【小问2详解】 解：原式 ， 把代入，得原式． 14. 某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n （1）表格中 ________，________； （2）若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ （3）从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 【答案】（1）， （2）需再加入铅笔14支 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率、频数和总数的关系求解即可； （2）根据表格数据可知，随着摸取总次数的增加，摸到限定款的频率在附近波动，可估计摸到限定款的概率约为，故设原盲盒中笔的总数为，则，求得，进而可得答案； （3）设限定款钢笔为x，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表得到所有的等可能结果数，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：设原盲盒中笔的总数为，则， 为正整数， ， ∴总数增加到20支时，需再加入铅笔（支）； 【小问3详解】 解：原盲盒中铅笔数量为（支）． 设限定款钢笔为 ，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表如下： 共有30种等可能的结果，其中1支中性笔、1支铅笔的结果有12种， ∴摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率为． 15. 如图是实验室高锰酸钾制氧气装置的示意图，实验要求“铁夹固定在距试管口处”，已知试管长，铁夹固定点满足，试管倾斜角．（参考数据：，） （1）实验规范要求“试管口需低于试管底部”，求此时试管口比试管底部低的竖直高度； （2）铁夹所在支架高，导管延伸后交水槽所在水平台面于点，已知水槽壁高，，求台面上到的水平距离（结果精确到）． 【答案】（1）试管口比试管底部低的竖直高度为 （2）台面上到的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）延长交于点，根据直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可． 【小问1详解】 解：延长交于点，如图1， 由题意可知，，， ； 【小问2详解】 由题意知， ， ， ， 过点作于点，如图2， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ． 又， ， ． 16. 如图，在中，，，以为直径的与相交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，连接，当与相切时， ①求的值； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， 又是直径， ∴是的切线． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再根据直角三角形的两个锐角互余，结合已知条件求得，然后利用切线的判定可证得结论； （2）①连接，先由等腰三角形的性质得到，则，，再根据切线的性质得到，在中，利用勾股定理求得即可求解； ②证明，利用相似三角形的性质求得，在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图，连接， 由（1）知，则， 又∵，， ∴， ∴，， 与相切， ， 在中，， ； ②，， ， ，即 ， 在中，． 17. 如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； （3）在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 【答案】（1）， （2）或或 （3），；，；，． 【解析】 【分析】把，代入，求出抛物线解析式为，然后通过配方即可求出顶点坐标； 分若点在上方，，若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同两种情况求解即可； 分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：若点在上方，， 即，得， 把代入抛物线， 解得， ∴或； 若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同，此时点； 综上所述，点坐标为或或； 【小问3详解】 解：设，， 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 综上可得共三种情况，；，；，． 18. 综合与实践 问题提出：探究线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． （1）探究发现：如图，在矩形 中，，，是 边上一点，过点 作于点，于点，则 ________； （2）实践应用：如图，在中，，，，把绕点逆时针旋转到，点在延长线上，连接交于点，过点作于点，于点，求的值； （3）拓展延伸：如图，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为点，，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用矩形的性质可得，即得是等边三角形，得到，，即得到，得，得到，连接，进而根据即可求解； 利用旋转的性质得，，，进而可得和为等边三角形，过点 作 于点，利用等边三角形的性质和勾股定理可得，过点作于点 ，同理可得，最后根据解答即可求解； 延长 、相交于点，过点作于点，连接，设，由圆周角定理得，进而利用勾股定理得，解得，得到，利用弧、弦和圆心角的关系可得，即得，得到，同理得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵于点，于点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转性质得，，，， ∵， 为等边三角形， ，， ∵， ∴， ， ∴为等边三角形， 过点作于点，如图，则， ∴，， ， ∴， 过点 作 于点，则， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：如图，延长、相交于点，过点作于点，连接，设， 是半圆的直径， ， ，，， ∴在中，， 在中，， ， 解得， ， ∵， ， ， ， ， 连接， ∵， ，， ∴， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $