精品解析：2026年内蒙古自治区北京一零一中呼和浩特分校初中学业水平考试数学试题

2026年呼和浩特初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列国产 软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. A，B两种 机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每天多搬5吨，A型机器人搬运100吨所用的时间与B型机器人搬运80吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设A型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C、D在 上，点A、C在直径同侧，若 ，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 学校组织了一次趣味跳高比赛，规则是：跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上， 平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在 上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为_________ ． 10. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为__________． 11. 已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 12. 如图，正方形 的边长为6，在边上取一点 ，连接，将 沿直线翻折到正方形 所在的平面内，得到 ，点的对应点在正方形的内部，延长交边于点，作，垂足为点．若点是的三等分点（），则 的长是______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简 （1）计算： （2）化简： 14. 某商场去年1-5月的销售总额共计600万元，这5个月的月销售额统计图如图1所示（统计信息不全），该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图2所示． （1）请根据以上信息，补全条形统计图． （2）该商场家电部1-5月份的月销售额的中位数是 万元． （3）该商场家电部下设A，B，C，D，E五个卖区，如图3所示的扇形统计图表示5月份家电部各卖区销售额占5月份家电部销售额的百分比情况． ①D卖区5月份销售额在图③扇形统计图中所占的圆心角的度数是 ； ②根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议． 15. 随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． （1）求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； （2）该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 16. 如图，是 的直径，C为 上一点，P为 外一点， ，且 ，连接． （1）求证：与 相切； （2）若 ， ，求 的长． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学； （2）每班另选2名摇绳同学； （3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点距离地面 ，摇绳位置之间的水平距离 为，且摇绳位置， 到地面的距离均为 ．以地面上的点为坐标原点，线段 所在直线为轴，线段 所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 （1）任务一确定长绳形状 根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． （2）任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高（） 人数 2 4 2 1 （3）任务三拟定位置方案 该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持 的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 18. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形 中， ，点在对角线 上，过点分别作和的垂线，垂足为， ，则四边形 为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图 ，将图中的矩形 绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图 进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形 的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形 ，点为正方形 的中心，连接，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年呼和浩特初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形． 【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的， 故选：B． 2. 下列国产 软件图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. 米可智能 D. 通义千问 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵合并同类项时，同类项系数相加，字母和指数不变，，A选项错误． ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，B选项错误． ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，，C选项计算正确． ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，，D选项错误． 4. A，B两种 机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每天多搬5吨，A型机器人搬运100吨所用的时间与B型机器人搬运80吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设A型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】等量关系为A型机器人搬运100吨的时间与B型机器人搬运80吨的时间相等，据此列方程即可． 【详解】解：设A型机器人每天搬运吨，则B型机器人每天搬运吨，A型机器人搬运100吨的时间为，B型机器人搬运80吨的时间为， ∵两者所用时间相等， ∴列方程得． 5. 如图，点A、B、C、D在上，点A、C在直径同侧，若 ，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理的推论可得，，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 6. 学校组织了一次趣味跳高比赛，规则是：跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．比赛中，甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】设身高为，跳跃高度为，则获胜者对应的值最大，即点与原点连线的斜率最大，图象最陡． 【详解】解：设同学的身高为，跳跃高度为， ∵获胜者是跳跃高度与自己身高的比值最大的同学， ∴即求的最大值， 设，则， ∴可视作过原点的正比例函数中的值， ∵值越大，的图象越陡， 观察图象可知，甲点与原点的连线最陡， ∴甲同学的值最大， ∴甲同学获胜． 7. 如图1是盐城博物馆展出的战国时期的青铜剑，青铜剑被放置在一个弧形剑架上．如图2所示，剑架的弧形部分可看作一段圆弧，所在圆的圆心为点，弦的长为，过点作，垂足为点 ，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，结合题意得到是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：弦的长为，过点作，垂足为点 ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ ． 8. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则根据反比例函数的性质，列出等式计算即可． 【详解】设， ∵点B，C的横坐标都是3，，平行于x轴，点D在上，且其横坐标为1， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 某新型冠状病毒的直径大约为米，这个数据用科学记数法可表示为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，根据点Q在x轴上，得到，计算即可，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将P点向上平移2个单位到Q点， ∴， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴ ， ∴P点坐标为． 故答案为： 11. 已知二次函数，当（n为常数）时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与区间最值问题，先对二次函数配方得到对称轴和最小值，再根据的不同取值范围分情况讨论，结合二次函数的增减性求出对应区间的最大值和最小值，根据最大值与最小值的差为，筛选出符合条件的的取值范围． 【详解】解： 二次函数开口向上，对称轴为直线，二次函数的最小值为， 对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大 ①当时在范围内，随增大而减小 时取得最大值， 时取得最小值， 由题意得 整理得， 解得与矛盾，此种情况舍去 ②在的情况下，已求得最小值为，根据题意可得最大值必须为 函数在区间上的最大值为两端点函数值的较大者， 因此，需要满足， 解此不等式得 结合本情况的前提， ∴ 综上，的取值范围为 12. 如图，正方形的边长为6，在 边上取一点 ，连接，将 沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到 ，点 的对应点 在正方形的内部，延长交边 于点，作，垂足为点 ．若点是 的三等分点（），则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ，证明，得．设，则，． 在中，由勾股定理：  ，求出 ．在中，．由的面积．又，得： ​ ，解得． 【详解】解：连接 ， ∵正方形边长为 ， 是 三等分点且， ∴ ，． 由折叠知，，， ∴． 又 ， ∴， ∴． 设，则，． 在中，由勾股定理：  ， 代入得：， 解得， 即 ． 在中，． 的面积． 又， 代入得： ​ ， 解得． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算每一项，再合并同类项即可得到结果； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 某商场去年1-5月的销售总额共计600万元，这5个月的月销售额统计图如图1所示（统计信息不全），该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图2所示． （1）请根据以上信息，补全条形统计图． （2）该商场家电部1-5月份的月销售额的中位数是 万元． （3）该商场家电部下设A，B，C，D，E五个卖区，如图3所示的扇形统计图表示5月份家电部各卖区销售额占5月份家电部销售额的百分比情况． ①D卖区5月份销售额在图③扇形统计图中所占的圆心角的度数是 ； ②根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议． 【答案】（1）补全条形统计图如图： （2）28.5 （3）① ；②D区销售额占比最低，可通过优化产品结构、开展主题促销活动提升销量（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）用总数减去前4个月的销售额求出5月份的销售额，即可补全条形统计图； （2）先分别求出每个月家电的销售额，再根据中位数的定义求解； （3）①用乘以占比即可；②根据扇形统计图分析即可． 【小问1详解】 解：5月份的销售额为（万元）． 补全条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：家电销售额1月份：（万元）；2月份：（万元）；3月份：（万元）；4月份：（万元）；5月份：（万元）， 将数据排列为：23，27，28.5，36，72， 那么中位数是第3个数，为万元； 【小问3详解】 解：①； ②见答案 15. 随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． （1）求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； （2）该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； （2）购买A型健身器材20台，52000元． 【解析】 【分析】（1）设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台，根据题意，列出不等式得出设采购费用为y元，得出相应得一次函数解析式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴（元） ∴A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； 【小问2详解】 设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台． 根据题意得： 解得： 设采购费用为y元， 根据题意得：． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∴当 时，y有最小值， 最小为：（元）． 16. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点， ，且 ，连接． （1）求证：与相切； （2）若 ， ，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得 ，进而证明 ，推出 ，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得 ，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 17. 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班男、女生组各需要报9名跳绳同学； （2）每班另选2名摇绳同学； （3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点 距离地面 ，摇绳位置之间的水平距离 为，且摇绳位置，到地面的距离均为 ．以地面上的点为坐标原点，线段 所在直线为轴，线段所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 （1）任务一确定长绳形状 根据素材，求出图2中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式． （2）任务二探究站位碰绳问题 该班男生组选取9名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？ 身高（） 人数 2 4 2 1 （3）任务三拟定位置方案 该班女生组挑选出身高都为的9名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，但人与人之间保持 的间距．当9名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请求出左边第一位同学离点的水平距离的取值范围． 【答案】（1） （2）不会，理由如下： 由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，对称轴为直线． 由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为． 将 代入中得：， 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 即为， ∵， ∴当绳子在最高点时，同学们正屈膝落地，长绳不会触碰到最右侧的同学； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点，抛物线顶点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）由题意知，最右侧的同学身高为，且所站位置在直角坐标系中，对应的横坐标为．将 代入中得：，然后得出当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的．即为，进行比较即可求解； （3）由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是，令，解出方程，然后列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，点，，在抛物线上，点C为最高点， ∴抛物线顶点的坐标为． 设抛物线对应的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地， 由（2）知，身高为的同学，此时头顶到地面的高度是， 令，则， 解得：，． 由题意知，左边第一位同学离点O的水平距离d， ∴右边第一位同学离点O的水平距离为， ∵要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶）， ∴， 解得：， ∴左边第一位同学离点的水平距离的取值范围为：． 18. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图 ，在矩形中， ，点 在对角线上，过 点分别作和 的垂线，垂足为， ，则四边形 为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图 ，将图 中的矩形 绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图 进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线 上异于， 的一点，以 为边作正方形 ，点 为正方形 的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立， 证明：由图 可知，，， ， ， 由图 可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图 可知，，从而可得：，由旋转可知，图 中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得 ，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得 ，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：； 略 解：当时，四边形是正方形， 如图 ，当点在线段上时，连接 、， 四边形和四边形 为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图，当点在线段延长线上时，连接 、， 四边形，四边形 为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述， 的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $