上海市同济大学第一附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

同济大学第一附属中学 2025学年第二学期期末考试高一年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器） 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1．已知复数（为虚数单位），则__________． 2．若角的终边经过点，则__________． 3．已知，，用，表示为__________． 4．不等式的解集为__________． 5．若向量，，则__________．（结果用反三角表示） 6．在长方体中，若，，则直线到平面的距离是__________． 7．函数的单调减区间是__________． 8．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得该直角梯形的直观图的面积为__________． 9．若，，且，则__________． 10．复数满足，则的最小值是__________． 11．已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为__________． 12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13．已知、是两个不同的平面，、、是三条不同的直线，则下列选项正确的是（ ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，，则 D．若，，，则或异面 14．如图所示，在正方体中，点为线段（含端点）上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ） A． B． C． D． 15．已知常数，不等式的解集为．不等式的解集为，则下列关系式中不可能成立的是（ ）． A． B． C． D． 16．已知平面向量，，，对任意实数，都有，成立．若，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（满分78分） 17．（本题14分） 已知复数，（，是虚数单位）． （1）若复数在复平面上的对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值． 18．（本题14分） 如图所示，在长方体中，，，为棱上一点． （1）若，求异面直线和所成角的大小． （2）若，求证平面． 19．（本题14分） 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形（或者半圆形）花园，使其俯视图有着类似“冰淇淋”般的效果，已知，线段，弓形（半圆）花园的弧上有一点，其中，设． （1）用含有的代数式表示线段、的长度 （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值． 20．（本题18分） 如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿折起，使得过点作平面，垂足恰好在上，如下图（2）．设是的中点，是的中点． （1）求：线段的长 （2）求：直线与平面所成角的大小； （3）连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与的位置关系，并说明理由． 21．（本题18分） 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． （1）求证：函数不存在“函数”，请说明理由； （2）若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； （3）若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $