第十讲 集合的概念-2026年初高中数学衔接讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十讲 集合的概念（原卷版） 【知识点透析】 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【知识点精讲】 题型一：集合的概念 【例题1】（2025·四川广元高一检测）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（       ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④ 【例题2】．（2025·陕西榆林高一课时检测）以下元素的全体能构成集合的是（       ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 【变式1】（2025高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【变式2】（2025·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）下列所给的对象能组成集合的是（       ） A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 题型二 元素与集合的关系 【例题3】（2025山东曲阜高一期末）下列元素与集合的关系表示正确的是　　 ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【例题4】．（2025湖北武汉高一课时检测）已知集合，若，，则与集合间的关系正确的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2025·浙江义乌高一课时检测）（多选）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·四川宜宾高一课时检测）（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（       ） A． B． C． D． 题型三 元素特性的应用 【例题5】（2025高一·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【例题6】（2025•湖南长沙高一检测）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为　　 A． B． C．，， D．， 【例题7】．（2025四川绵阳高一期末）设集合，，已知且,则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025甘肃景泰二中高一期末）已知集合由，，组成，且，求__． 【变式2】（2025·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）（多选题）已知，且，，，则取值可能为（       ） A． B． C． D． 题型四 列举法 【例题8】．（2025·陕西宝鸡高一期中考试）集合用列举法可表示为（       ） A． B． C． D． 【例题9】．（2025·四川宜宾一中高二检测）集合，则集合A的元素有（        ）个. A．4 B．5 C．6 D．7 【例题10】．（2025内蒙古高一期末）已知集合，则中元素的个数为（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【变式1】（2025·山东曲阜一中高一期中考试）集合用列举法可表示为（       ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西宝鸡高一期中考试）方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2025甘肃天水一中高一检测）集合，则中元素的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】．（2025四川雅安高一期末）设集合，，，则M中的元素个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型五 描述法 【例题11】．（2025·浙江省杭州中学高一期末）已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【例题12】（2025·河北衡水一中高一检测）由大于且小于的偶数所组成的集合是（     ） A． B． C． D． 【例题13】．（2025陕西宝鸡高一期末）下列集合中表示同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ） A．B．或 C． D． 【变式2】（2025·辽宁抚顺高一课时检测）集合是（   ） A．第一象限的点集 B．第二象限的点集 C．第三象限的点集 D．第四象限的点集 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十讲 集合的概念（解析版） 【知识点透析】 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【知识点精讲】 题型一：集合的概念 【例题1】（2025·四川广元高一检测）①联合国安全理事会常任理事国；②充分接近的所有实数；③方程的实数解；④中国著名的高等院校.以上对象能构成集合的是（       ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据集合的概念及性质依次判断即可得到答案. 【详解】对①，联合国安全理事会常任理事国包括中国、法国、美国、俄罗斯、英国，能构成集合. 对②，充分接近的所有实数，不满足集合的确定性，不能构成集合， 对③，方程，，方程无实根，集合为空集， 对④，中国著名的高等院校，不满足集合的确定性，不能构成集合， 故选：B 【例题2】．（2025·陕西榆林高一课时检测）以下元素的全体能构成集合的是（       ） A．中国古代四大发明 B．接近于1的所有正整数 C．未来世界的高科技产品 D．地球上的小河流 【答案】A 【分析】根据集合的知识可选出答案. 【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A满足； 接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B不满足； 未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C不满足； 地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D不满足； 故选：A 【变式1】（2025高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【解题思路】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【解答过程】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C. 【变式2】（2025·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）下列所给的对象能组成集合的是（       ） A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 【答案】A 【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项. 【详解】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确； 对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合. 故选：A. 题型二 元素与集合的关系 【例题3】（2025山东曲阜高一期末）下列元素与集合的关系表示正确的是　　 ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【解析】对于①：不是自然数，故，故①错误； 对于②：是无理数不是整数，表示整数集合，故②正确； 对于③：是有理数，表示有理数集，，故③正确； 对于④：是无理数，表示无理数集，，故④错误． 故选B． 【例题4】．（2025湖北武汉高一课时检测）已知集合，若，，则与集合间的关系正确的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用元素与集合之间的关系判断即可. 【详解】中，，，故．中，，，故． 故选：B． 【变式1】（2025·浙江义乌高一课时检测）（多选）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为是整数集，故，所以A正确； 因为是实数集，故，所以B错误； 因为是有理数集，故，所以C错误； 因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD. 【变式2】．（2025·四川宜宾高一课时检测）（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分x，y都大于零，x，y中一个大于零，另一个小于零和x，y都小于零求解判断即可 【详解】当x，y都大于零时，； 当x，y中一个大于零，另一个小于零时，； 当x，y都小于零时，． 根据元素与集合的关系，可知，，，． 故选：AB． 题型三 元素特性的应用 【例题5】（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【解答过程】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 【例题6】（2025•湖南长沙高一检测）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为　　 A． B． C．，， D．， 【答案】D 【解析】只有一个元素， 方程只有一个解， ①时满足题意； ②时，△，解得， 的取值集合为，． 故选D． 【例题7】．（2025四川绵阳高一期末）设集合，，已知且,则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】 当时，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 故选：D. 【变式1】（2025甘肃景泰二中高一期末）已知集合由，，组成，且，求__． 【答案】 【解析】根据题意，，，，因，于是有： 若，则， 此时集合中元素为，，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意， 若，即，解得或， 时，此时集合中元素为，，，符合题意， 显然不符合题意； 若，无解， 综上得：． 【变式2】（2025·江苏·扬中市第二高级中学高一开学考试）（多选题）已知，且，，，则取值可能为（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别将各选项代入集合，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案. 【详解】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 题型四 列举法 【例题8】．（2025·陕西宝鸡高一期中考试）集合用列举法可表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求解集，根据集合的描述列举出集合元素. 【详解】由，得，，， 因为，所以. 故选：C 【例题9】．（2025·四川宜宾一中高二检测）集合，则集合A的元素有（        ）个. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据，由为12的正约数求解. 【详解】因为， 所以为12的正约数， 故， 故集合A的元素有6个， 故选：C. 【例题10】．（2025内蒙古高一期末）已知集合，则中元素的个数为（ ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】．C 【解析】 ， ， 当时，； 当时，； 当时， 当时，； 当时，；所以共有个， 故选：C. 【变式1】（2025·山东曲阜一中高一期中考试）集合用列举法可表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求解集，根据集合的描述列举出集合元素. 【详解】由，得，，， 因为，所以. 故选：C 【变式2】（2025·陕西宝鸡高一期中考试）方程组的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得：或. 所以方程组的解集是.故选：A 【变式3】（2025甘肃天水一中高一检测）集合，则中元素的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】．C 【解析】由已知得，又，所以中元素的个数为个． 故选：C. 【变式4】．（2025四川雅安高一期末）设集合，，，则M中的元素个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】．C 【解析】 ，， ， 所以M中的元素个数为7. 故选：C. 题型五 描述法 【例题11】．（2025·浙江省杭州中学高一期末）已知集合，集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解题中集合的含义即可写出集合得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 【例题12】（2025·河北衡水一中高一检测）由大于且小于的偶数所组成的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素所满足的性质可得出结果. 【详解】由题意可知，由大于且小于的偶数所组成的集合是. 故选：D. 【例题13】．（2025陕西宝鸡高一期末）下列集合中表示同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】：A两个集合的元素不相同，点的坐标不同，B两个集合的元素相同，C中M的元素为点，N的元素为数，D中M的元素为点，N的元素为数，故A，C，D都不对．故选：B． 【变式1】直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ） A．B．或 C． D． 【答案】．C 【解析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 【变式2】（2025·辽宁抚顺高一课时检测）集合是（   ） A．第一象限的点集 B．第二象限的点集 C．第三象限的点集 D．第四象限的点集 【答案】C 【分析】利用不等式的性质可得，进而判断出集合的意义． 【详解】由， 故集合是第三象限的点集． 故选：C. 学科网（北京）股份有限公司 $