精品解析：2022年中考安徽省淮南市重点中学模拟联考数学卷

2022年中考安徽省淮南市重点中学模拟联考数学卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 如图，菱形 的对角线相交于点O，，点E是边的中点，点M是线段上的一动点，点N在线段上，且，则为（ ） A. B. C. D. 2. 四条线段成比例,其中＝3，，，则等于(   ) A. 2㎝ B. ㎝ C. D. 8㎝ 3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AF＝3，则FC的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 4. 如图，在矩形 中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车，则两人同坐1号车的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在反比例函数的图象上，则该图象一定不经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接EF，交BD于点G，交BC于点M，连接CF，给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（　　） A. ﹣≤b＜1或＜b≤ B. ﹣≤b＜1或＜b≤ C. ﹣≤b＜﹣1或﹣＜b≤ D. ﹣≤b＜﹣1或＜b≤ 10. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则的长为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点 为轴正半轴上一点， 为轴上一点，过 作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 12. 如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 是小圆的切线，切点为，若，，则图中阴影部分（扇形）的面积为____________． 13. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为____ 14. 已知反比例函数的图像经过点，则k的值为________． 三、计算题（本大题共3小题，共26分） 15. 计算： 16. 已知，如图，在梯形 中，，，对角线、相交于点 ，且． （1）求证：； （2）点 是边上一点，连接，与相交于点 ，如果，求证：． 17. 在中，是边的中点，交于点 ．动点 从点 出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点 出发沿射线运动，且始终保持设运动时间为 秒（）． （1）与相似吗？以图１为例说明理由； （2）若厘米． ①求动点 的运动速度； ②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式； （3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由． 四、解答题（本大题共6小题，共64分） 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（1，0），C（3，﹣2）． （1）请在平面直角坐标系中画出△ABC． （2）请作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′． （3）已知点P为x轴上一点，若S△ABP＝5时，则点P的坐标为　 　． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母表示这三个材料），将分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小勇先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．请用列表或面树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率． 20. 位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体和底座两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体的高度（最后结果精确到米，参考数据：） 21. 已知：如图，点P是一个反比例函数的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象的公共点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0）． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标． 22. 阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）． 探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形． 初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b． 综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝） 23. 按要求完成以下问题 （1）特殊：如图1，在等腰直角三角形中，，作平分交 于点M，点D为射线上一点，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转 得到线段，连接 交射线 于点F，连接、． 填空： ①线段、的数量关系为______． ②线段、 的位置关系为______． （2）一般：如图2，在等腰三角形中，，作平分交 于点M，点D为外部射线上一点以点C为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接 、、，请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由． （3）特殊：如图3，在等边三角形中，作平分交于点M，点D为射线上一点，以点B为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接 交射线于点F，连接、．若，当与全等时，请直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年中考安徽省淮南市重点中学模拟联考数学卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 如图，菱形 的对角线相交于点O，，点E是边的中点，点M是线段上的一动点，点N在线段上，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，由勾股定理可求，由直角三角形的性质可得，通过证明点M，O，N，E四点共圆，可得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形 是菱形， ∴，，， ∴， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴点M，O，N，E四点共圆， ∴， ∴， ∴． 2. 四条线段成比例,其中＝3，，，则等于(   ) A. 2㎝ B. ㎝ C. D. 8㎝ 【答案】A 【解析】 【分析】四条线段a，b，c，d成比例，则 = ，代入即可求得b的值． 【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴ =， ∴b= = =2（cm）． 故选A． 【点睛】本题考查成比例线段，解题关键是正确理解四条线段a，b，c，d成比例的定义． 3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AF＝3，则FC的值为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴△AEF∽△CDF，∵AE＝EB＝CD， ∴， ∵AF＝3， ∴CF＝6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 4. 如图，在矩形 中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在矩形 中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 5. 有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车，则两人同坐1号车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及树状图法进行求解概率即可． 【详解】解：由题意可得树状图： ∴两人同坐1号车的概率为：； 故选C． 【点睛】本题主要考查树状图求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 6. 已知点在反比例函数的图象上，则该图象一定不经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出反比例函数解析式，把各点坐标相乘，看是否等于比例系数即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得，， ∵，，，， ∴不在反比例函数图象上； 故选：B． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解题关键是求出反比例函数解析式，逐个点进行判断． 7. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题． 【详解】∵反比例函数，， ∴该函数图象在第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 8. 如图，已知矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接EF，交BD于点G，交BC于点M，连接CF，给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作CN⊥BD，连接AC．先证∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°，设E点和F点的运动时间为t，则CE＝t，BF＝3t，证，即可得△CDE∽△CBF，从而判断①正确，证△DCB∽△ECF得∠DBC＝∠EFC，从而判断②正确；证△EDC∽△EHG得，又AB＝DC得，从而判断③错误；证△DEH∽△DBA得，可求得HG＝，从而判断④正确，即可得解． 【详解】解：作CN⊥BD，连接AC． ∵四边形ABCD是矩形，，AB＝DC， ∴∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°， 设E点和F点的运动时间为t，则CE＝t，BF＝3t， ∴，， ∴， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE∽△CBF，故①正确， ∴∠DCE＝∠BCF， ∵∠DCE＋∠BCE＝90°， ∴∠BCE＋∠BCF＝90°， ∴∠ECF＝90°， ∵， ∴， ∵∠DCB＝∠ECF， ∴△DCB∽△ECF， ∴∠DBC＝∠EFC，故②正确； ∴∠CDB＝∠CEF， ∵∠CDB＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠NCB＝90°， ∴∠DCB＝∠NCB＝∠CEF， ∵CN⊥BD，EH⊥DB， ∴， ∴∠NCE＝∠CEH， ∴∠ECB＝∠HEG， ∵， ∴∠DEC＝∠ECB， ∴∠DEC＝∠HEG， ∵∠EDC＝∠EHG＝90°， ∴△EDC∽△EHG， ∴， ∵AB＝DC， ∴，故③错误； ∵AD＝BC＝6，AB＝2， ∴BD＝＝， ∵∠EDH＝∠ADB，∠EHD＝∠DAB， ∴△DEH∽△DBA， ∴， ∴， ∴EH＝， ∵， ∴， ∴HG＝，故④正确． 综上所述①②④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键，本题还用到比例式和勾股定理解决线段的长度问题． 9. 平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（4，1），与直线y＝x+b的图象交于点B，与y轴交于点C．其中横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段OA、OC、BC围成的区域（不含边界）为W．若W内恰有4个整点，结合函数图象，b的取值范围是（　　） A. ﹣≤b＜1或＜b≤ B. ﹣≤b＜1或＜b≤ C. ﹣≤b＜﹣1或﹣＜b≤ D. ﹣≤b＜﹣1或＜b≤ 【答案】D 【解析】 【分析】由于直线BC：y=x+b与OA平行，分两种情况：直线l在OA的下方和上方，画图根据区域W内恰有4个整点，确定b的取值范围． 【详解】解：如图1，直线l在OA的下方时， 当直线l：y＝x+b过（0，﹣1）时，b＝﹣1，且经过（4，0）点，区域W内有三点整点， 当直线l：y＝x+b过（1，﹣1）时，b＝﹣，且经过（5，0），区域W内有三点整点， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1． 如图2，直线l在OA的上方时， ∵点（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象G， 当直线l：y＝x+b过（1，2）时，b＝， 当直线l：y＝x+b过（1，3）时，b＝， ∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤． 综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤． 故选：D． 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，理解整点的定义是解题关键，并利用数形结合的思想． 10. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则的长为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：，点为坐标原点， ． 答：线段的长度为10． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点 为轴正半轴上一点， 为轴上一点，过 作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意设点，则，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，设点，则 ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键． 12. 如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 是小圆的切线，切点为，若，，则图中阴影部分（扇形）的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据大圆的弦 是小圆的切线，则垂直并且平分弦 ，得到，根据勾股定理求出,再求出，代入扇形面积公式即可． 【详解】解： 大圆的弦 是小圆的切线， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为____ 【答案】2 【解析】 【分析】由AB∥轴可知，A、B两点纵坐标相等，设A（，），B（，），则AB=，▱ABCD的CD边上高为，根据平行四边形的面积公式求解． 【详解】∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥轴， ∴设A（，），B（，）， 则AB=， S▱ABCD= 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是由平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，设点的坐标，根据平行四边形的面积公式计算． 14. 已知反比例函数的图像经过点，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将代入得：， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据已知得出关于的方程是解此题的关键． 三、计算题（本大题共3小题，共26分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】针对零指数幂，有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式＝． 16. 已知，如图，在梯形 中，，，对角线、相交于点 ，且． （1）求证：； （2）点 是边上一点，连接，与相交于点 ，如果，求证：． 【答案】（1） 证明：，， ， 又， ， ， ， ，即． （2） 解：， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先证明可得，进而证明结论； （2）先证明可得，进而得到；再由可得，即，最后代入即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得是解答本题的关键． 17. 在中，是边的中点，交于点 ．动点 从点 出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点 出发沿射线运动，且始终保持设运动时间为 秒（）． （1）与相似吗？以图１为例说明理由； （2）若厘米． ①求动点 的运动速度； ②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式； （3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由． 【答案】（1），理由如下： 如图1，∵ ， ， （2）①点运动速度为，② （3），理由如下： 如图1，延长至 ，使，连结、， ∵、互相平分， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ∵垂直平分， ． ． 【解析】 【分析】（1）先求得和，即可说明； （2）①设点的运动速度为．分当时和当时，根据相似三角形的性质即可求得点点运动速度； ②分当时和当时两种情况，分别表示出即可； （3）如图1，延长至 ，使，连结、.由平行四边形性质和垂直平分线性质得：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 又 垂直平分， ， ， ①设点的运动速度为， 如图１，当时，由（1）知， 即 ； 如图2，当时，同理，易知， 综上所述，点运动速度为． ② 如图1，当时， ， 如图2，当时，,, ． 综上所述， 【小问3详解】 略 四、解答题（本大题共6小题，共64分） 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（1，0），C（3，﹣2）． （1）请在平面直角坐标系中画出△ABC． （2）请作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′． （3）已知点P为x轴上一点，若S△ABP＝5时，则点P的坐标为　 　． 【答案】（1）见祥解;（2）见祥解；（3）或． 【解析】 【分析】（1）先根据点的坐标描出点，再顺次连接即可得； （2）根据点坐标关于y轴对称的变换规律求出对称点的坐标A′（-2，2），B′（-1，0），C′（-3，-2），在平面直角坐标系中描出点A′（-2，2），B′（-1，0），C′（-3，-2），然后顺次连接A′B′，B′C′，C′A′即可； （3）设点P的坐标为，从而可得，再根据点A的坐标可得的BP边上的高为2，然后根据三角形的面积公式可得一个关于m的绝对值方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）先根据点的坐标描出点，再顺次连接AB，BC，AC即可得，如图所示： （2）点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∵A（2，2），B（1，0），C（3，﹣2）．， ∴关于y轴对称点A′（-2，2），B′（-1，0），C′（-3，-2）， 在平面直角坐标系中描出点A′（-2，2），B′（-1，0），C′（-3，-2），然后顺次连接A′B′，B′C′，C′A′， 则△A′B′C′为所求； （3）设点P的坐标为， ， ， ， 的BP边上的高为2， ， ， 解得或 ， 则点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了点坐标与轴对称变化、三角形面积等知识点，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母表示这三个材料），将分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小勇先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．请用列表或面树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率． 【答案】见解析，他俩诵读两个不同材料的概率. 【解析】 【分析】本题既可采用画树状图法，也可采用列表法．画树状图时，先固定小勇抽取的情况，再分别画出所有可能的情况；列表时可用横向表示小勇，纵向表示小智． 【详解】解：方法一：列表如下： 一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有6种， （他俩诵读两个不同材料）． 方法二：画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有6种， （他俩诵读两个不同材料）． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率. 20. 位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体和底座两部分组成．如图，在中，，在中，，且米，求像体的高度（最后结果精确到米，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出的长，再利用即可求出答案． 【详解】解：在中，，且米， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即像体的高度约为． 21. 已知：如图，点P是一个反比例函数的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象的公共点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0）． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣；（2）M（5，﹣）或（﹣1，8）． 【解析】 【分析】（1）由Q（2，0），推出P（2，-4），利用待定系数法即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式求出MN的长，分两种情形求出点M的坐标即可. 【详解】（1）把x＝2代入y＝﹣2x得 y＝﹣4 ∴P（2，﹣4）， 设反比例函数解析式y＝（k≠0）， ∵P在此图象上 ∴k＝2×（﹣4）＝﹣8， ∴y＝﹣； （2） ∵P（2，﹣4），Q（2，0） ∴PQ＝4，过M作MN⊥PQ于N． 则 •PQ•MN＝6， ∴MN＝3， 设M（x，﹣）， 则 x＝2+3＝5或x＝2﹣3＝﹣1 当x＝5时，﹣＝﹣， 当x＝﹣1时，﹣＝1， ∴M（5，﹣）或（﹣1，8）． 故答案为（1）y＝﹣；（2）M（5，﹣）或（﹣1，8）． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用待定系数法求反比例函数的解析式,利用数形结合的思想表示出三角形的面积也是解答本题的关键. 22. 阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）． 探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由． 事实上，以上结论适用于任意三角形． 初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b． 综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝） 【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m． 【解析】 【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案； 初步应用：根据，得出，即可得出b的值； 综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案． 【详解】解：探究活动：， 理由如下： 如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD， ∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°， ∴sinA＝sinD，sinD＝， ∴， 同理可证：， ∴； 故答案为：＝，＝，＝． 初步应用： ∵， ∴， ∴． 综合应用： 由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100， ∴∠ACB＝30°． 设古塔高DC＝x，则BC＝， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴古塔高度约为36.6m． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键． 23. 按要求完成以下问题 （1）特殊：如图1，在等腰直角三角形中，，作平分交 于点M，点D为射线上一点，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转 得到线段，连接 交射线 于点F，连接、． 填空： ①线段、的数量关系为______． ②线段、 的位置关系为______． （2）一般：如图2，在等腰三角形中，，作平分交 于点M，点D为外部射线上一点以点C为旋转中心将线段逆时针旋转度得到线段，连接 、、，请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由． （3）特殊：如图3，在等边三角形中，作平分交于点M，点D为射线上一点，以点B为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段，连接 交射线于点F，连接、．若，当与全等时，请直接写出 的值． 【答案】（1）①；② （2）结论仍然成立． 理由：如图2中， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段 ． （3）满足条件的DE的值为或4 【解析】 【分析】（1）先证，再证，结合已知条件证明，由全等三角形的性质可得，，再根据垂直平分线的判定，可得垂直平分线段 ，从而证得； （2）结论仍然成立．证明方法同（1），先证，再证，结合已知条件证明，由全等三角形的性质可得，，再根据垂直平分线的判定，可得垂直平分线段 ，从而证得； （3）分两种情况进行讨论求解：当点D在线段上时，先证，再解，求出的长，从而求出 的值；当点D在线段的延长线上时，同理可求出 的值． 【小问1详解】 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段 ， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图3-1中，当点D在线段上时， 由题意：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵等边三角形，平分， ∴， ∴， ∴． ∵以点B为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∴； ②如图3-2中，当点D在线段的延长线上时， 由题意：∵， ∴， ∵等边三角形，平分， ∴，，， ∵以点B为旋转中心将线段逆时针旋转得到线段， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ， ∴； 综上所述，满足条件的 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $