暑假作业10 根与系数的关系（韦达定理）的初步认识（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以韦达定理公式推导为起点，通过三级题型梯度训练构建“原理-应用-拓展”的完整方法体系，培养推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|公式证明+3前提|求根公式推导定理，归纳“三前提”（a≠0/Δ≥0/一般式）|从代数推理到应用限制，构建严谨认知| |题型01|4题|直接套用定理求两根和积|基础应用，强化公式记忆| |题型02|4题|根代入方程+韦达定理联立求解|方程根的性质与定理结合，培养方程思想| |题型03|4题|代数式恒等变形（如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂）|高阶应用，提升符号运算与转化能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 根与系数的关系（韦达定理）的初步认识 【知识点1 根与系数的关系（韦达定理）：公式与证明】 对于一元二次方程（为常数，且），当（即方程有实数根）时，设它的两根为，则： ， 证明（用求根公式）： 由求根公式，当时， 1. 两根之和： 2. 两根之积：，由，代入可得 【知识点2 使用前提】 用，之前必须确认： 1. 方程必须是一元二次，二次项系数（题目说了一元二次方程就满足） 2. 必须在实数范围内讨论，（若方程无实根，谈“两根之和”在实数范围无意义） 3. 必须先用一般形式（确定带各自的符号） 题型01 直接求两根之和与两根之积 1．（2026·湖北孝感·二模）一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．两实数根之积为1 D．两实数根之和为 【答案】C 【分析】先利用判别式判断根的存在情况，再计算两根之和与两根之积，即可判断选项正误． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，，， 计算根的判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误； 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和 ，∴选项D错误； 两根之积 ，∴选项C正确． 2．（2026·湖北荆州·二模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，； （2）解：， ，； （3）解：， ，． 题型02 已知一根，求另一根及未知系数 1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知方程有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求的值，并求出方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得 ，， 解得，． 即，方程的另一个根为． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）已知关于x的方程有一个实数根为，求它的另一个根及m的值． 【答案】方程的另一个根是0，m的值为0或2 【分析】设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，求得，再 把代入方程求出m的值即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵关于x的方程有一个实数根为， ∴， 解得， 把代入方程得，， 解得，， ∴方程的另一个根是0，m的值为0或2． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根； (2)设该方程的两个根分别是、，若．求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入方程，即可求解，得到此时的一元二次方程为，再由因式分解法求解另一个根即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵方程的一个根是1， ∴将代入得，， 解得， ∴方程为 解得 ∴方程的另一个根为； （2）解：∵该方程的两个根分别是、， ∴， ∵ ∴， 解得， 而， ∴． 题型03 求与两根有关的代数式的值 1．（2026·广东清远·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在第（1）问的条件下，若，是一元二次方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，计算判别式后解不等式即可得到m的取值范围； （2）先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于m的方程，求解后结合第一问的范围舍去不合理的解，即可得到m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程为有两个不相等的实数根， ∴，其中，，， ， 解得； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 代入得：， 解得，， ∵由（1）知，，不符合要求，舍去， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，熟练掌握判别式公式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式判断即可； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知 ， ， ， 即， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，是方程的两个根， ，. ， ，即， 解得， 检验：当时，，所以是原分式方程的解． 3．（25-26九年级下·山东威海·期中）已知，是一元二次方程的两实数根，求下列代数式的值 (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系得：、，再利用完全平方公式变形进行求值即可； （2）将多项式展开，利用、进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：方程可以改写为， 根据根与系数的关系得：、， ； （2）解：由（1）知，、， ． 4．（2026·山东淄博·二模）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，，求代数式的值． 【答案】(1) 证明：方程中，，， 所以，该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程一定有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：，，把展开后整体代入即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：，， ． 1．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 即， ∵是方程 的两根， ∴， ∴ ． 2．（2026年安徽省马鞍山市部分学校中考九年级阶段调研数学试题）已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程有两个根，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， 验证判别式：，符合要求， 故的值为． 3．（2026·河北沧州·二模）若一元二次方程的两根为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的整理，根与系数的关系和平面直角坐标系内点的象限特征，先将方程整理为一般形式，再求出两根之积和两根之和，得到点的坐标后判断象限即可． 【详解】解：将原方程展开整理为一元二次方程一般形式：，其中，， ∵对于一元二次方程，两根之积为，两根之和为 ∴ ， ∴点的坐标为，横纵坐标均为负数，因此该点位于第三象限 4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）关于的一元二次方程（，，为常数，且，），下列说法： ①若方程有两个不相等的实数根，则方程也有两个不相等的实数根； ②若方程的一个根为，则必为方程的一个根； ③若方程的两根之积为1，则．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据一元二次方程 有两个不相等实数根，得出，即可得，故方程 也有两个不相等的实数根，①正确．②根据是 的根，得出，化简得 ，则 满足，即 是该方程的根，②正确．③根据韦达定理，一元二次方程 的两根之积为 ，则 ，即，故 ③正确． 【详解】解：①∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， 则， ∵ 是一元二次方程， ∴， ∴方程 也有两个不相等的实数根，①正确． ②∵是 的根， ∴， 两边同除以 （），整理得： ，即 ， ∴ 满足， ∴ 是该方程的根，②正确． ③根据韦达定理，一元二次方程 的两根之积为 ，若两根之积为 ，则： ，即，故 ③正确． 综上，三个说法都正确，因此正确的个数是 ． 5．（2026·黑龙江绥化·三模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，得到，，，化简代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，，， ． 6．（2026·四川遂宁·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 7．（2026·山东临沂·二模）已知方程的两根分别为a和b，则的值是________． 【答案】 【分析】若，为方程的两个根，则有，，先根据根与系数的关系得到与的值，再展开所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别为和， 由根与系数的关系可得，， ． 8．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根． (2)或． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将变形得：，最后建立关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 9．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 10．（2026·浙江宁波·三模）一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【答案】(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 图恩 暑假作业10根与系数的关系（韦达定理）的初步认识 新知初探 【知识点1根与系数的关系（韦达定理理）：公式与证明】 对于一元二次方程ar2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0)，当△=b2-4ac≥0（即方程有实数根） 时，设它的两根为，x,则： x+=-6,x=9 证明（用求根公式）： 由求根公式，当4=b2-4ac≥0时， 1. 两根之和：5+5=b+6+b区-2b么 2a 2a2a a 2. 两根之积：xx,= -b+瓜-b-_2-A,由A=6-4ac,代入可得=4a 4a 4a2 【知识点2使用前提】 用x+x=6 ，=之前必须确认： 1.方程必须是一元二次，二次项系数a≠0（题目说了一元二次方程就满足） 2. 必须在实数范围内讨论，△=b2-4c≥0（若方程无实根，谈“两根之和”在实数范围无意义) 3.必须先用一般形式ax2+bx+c=0(确定a,b,c带各自的符号) 基础检测 题型01直接求两根之和与两根之积 1,(2026湖北孝感二模)一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是() A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.两实数根之积为1 D.两实数根之和为-3 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.（2026湖北荆州二模)若a,B是一元二次方程x2-5x-3=0的两个实数根，则αB的值为() A.-3 B.-5 C.3 D.5 3.(25-26八年级下·江苏苏州·期中)若关于x的一元二次方程x2-2x+2k+1=0有两个不相等的实数根x1、 x3· (1)求实数k应满足的条件. (2)当k取最大整数时，求x,+x2-x·x2的值. 4.(25-26八年级下·全国课后作业)不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积. (1)x2+3x+1=0; (2)3x2-2x-1=0: (3)2x2+6x+4=0. 题型02已知一根，求另根及未知系数 1.(25-26八年级下·广西崇左·期中)已知方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，方程的一个根是4， 求m的值，并求出方程的另一个根. 2.(25-26八年级下.安徽合肥期中)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根： (2)已知方程的一个根为)，求m的值和它的另一个根， 3.(25-26八年级下，广西崇左期中)已知关于x的方程x2+x+m2-2m=0有一个实数根为-1，求它的另 一个根及m的值. 4.（25-26八年级下·山东泰安期中)已知关于x的一元二次方程x2-m+2)x+2m=0. (1)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根； (2)设该方程的两个根分别是X、2,若x,+x2+xx2≥8.求m的取值范围. 题型03求与两根有关的代数式的值 1.（2026广东清远.一模)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+3m+5=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围： (2)在第(1)问的条件下，若x,x2是一元二次方程的两个实数根，当x2+x3=10时，求m的值. 2.(25-26八年级下·安徽蚌埠·期中)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+2m-3=0. (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根。 (②若x,与是方程r2-2+2m-3=0的两个根，且上+1=2，求m的值. X x2 3.(25-26九年级下·山东威海期中)已知%，%是一元二次方程y2=√3y+3的两实数根，求下列代数式 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的值 (1)y2+y22 2(5-y)5-) 4.(2026山东淄博二模)已知关于x的方程x2-(k+3x+2k+2=0. ()求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为x,为，求代数式(x-2)(x2-2)的值. 小试牛刀 1.(25-26八年级下·安徽六安阶段检测)已知方程x2+2026x-7=0的两根分别是m和n,则代数式 m2+n+2027m的值为() A.0 B.-2019 C.-2026 D.-2027 2.(2026年安徽省马鞍山市部分学校中考九年级阶段调研数学试题)己知关于x的一元二次方程 x2-3+4=0的两个根为X,2,且满足x,+x2=x·x2,则k的值为（) A B. D. 3.(2026河北沧州二模)若一元二次方程xx+1)=3的两根为m,n,则点(mn,m+n)在平面直角坐标系 中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(25-26八年级下·山东泰安期中)关于x的一元二次方程mx2+x+p=0(m,n,P为常数，且 m≠0，p≠0)，下列说法： ①若方程mx2+x+p=0有两个不相等的实数根，则方程px2-x+m=0也有两个不相等的实数根： ②若方程mr产++p=0的一个根为r=任≠0)，则x=名必为方程p2-x+m=0的一个根； ③若方程mx2+x+p=0的两根之积为1，则m=P.其中正确的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 5.(2026黑龙江绥化三模)已知m、n是一元二次方程x2+3x-6=0的两个根，则m2-mn+n+4m的值 为一· 6.(2026四川遂宁二模)若m,n是一元二次方程x+3x-1=0的两个实数根，则1+的值为 m n 7.(2026山东临沂·二模)已知方程x2+4x-5=0的两根分别为a和b,则(a+1)(b+1)的值是 8.(25-26八年级下·湖南长沙阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根： (2)已知x,x2是该方程的两个实数根，且x2+x,2=5,求m的值， 9.(2026河南鹤壁一模)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，其中一个实 数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程.例如一元二次方程x2-6x+8=0的两个 根是x=2,x2=4,则方程x2-6x+8=0是“倍根方程” (1)通过计算，判断x2-3x+2=0是否是“倍根方程”. (2)已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0是“倍根方程”，求k的值. (3)若关于x的一元二次方程x2-mx+2n=0(m、n是常数)是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出m、 的值. 10.(2026浙江宁波三模)一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块，现 以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于x的方程(3-a)x-+3x=5是一元二次方程，则a的值是. (②)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：x2+4x+1=0: ②用公式法解：3x2-5x+1=0: ③用因式分解法解：(x-4)2=8-2x (3)【综合应用】己知m,n是一元二次方程x2+2x-1=0的两根，请尝试计算(m2+3m+1(n2+3n+1 的值，