2.3 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习导入环节回顾方程一般形式、判别式及求根公式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于探究环节采用4人小组合作，让学生自主验证方程与根的关系，推导过程培养推理意识与抽象能力，例题强调判别式前提，达标检测结合实际应用，助力学生发展数学思维与应用意识，教师可提升教学效率。

一元二次方程的根与系数的关系 2 北师版九年级上册 1 复习导入 1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ Δ = b2-4ac ≥ 0 3. 当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？ Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； Δ < 0 时，方程没有实数根； 4. 一元二次方程的求根公式是什么？ 探究新知 用因式分解法解方程 ax2 + bx + c （a ≠ 0）。 ax2 + bx + c a (x－ x1) (x－ x2) 一元二次方程有两个实数根 x = x1，x = x2。 思考： 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 一定成立吗？ 2x2 - 3x + 1 = 公式法 解方程： 2x2 - 3x + 1 = 0 a=2，b=－3，c=1 △= b2－4ac = 1>0 2 (x － )(x － ) 是否成立？ = 2x2 - 3x + 1 4人一组，各自随意写出一个有实数根的一元二次方程，求出它的两个根，并验证 a(x－x1)(x－x2) 展开后是否等于原方程。 x2－5x + 6 = 0  x1 = 2  x2 = 3 验证：1·(x－2)(x－3) = x2－5x + 6。 成立 3x2 + x－2 = 0  x2 = －1 成立 （2）你认为 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 是否一定成立？与同伴进行交流。 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 。 尝试·交流 根据上面的结论，你能发现一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数与它的两个根 x1、x2 之间有怎样的关系吗？与同伴进行交流。 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) ax2 + bx + c = ax2－a(x1 + x2) + ax1x2 b =－a(x1 + x2) c = ax1x2 所以 于是 一元二次方程根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根分别是x1 、x2，那么： x1 + x2 = ______，x1 · x2 = ______。 前提条件：1.一元二次方程为__________； 2.方程必须要有实数根，即______。 Δ ≥ 0 一般形式 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 + 7x + 6 = 0 ； （2）2x2－3x－2 = 0。 解：（1）这里 a = 1，b = 7，c = 6。 △ = b2－4ac = 72 + 4×1×6 = 49－24 = 25 > 0， 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2= －7， x1x2 = 6。 （2）这里 a = 2，b =－3，c =－2。 △ = b2－4ac = (－3)2－4×2×(－2) = 9 + 16 = 25 > 0 所以方程有两个实数根。 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1+ x2= ， x1x2 = －1。 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 + 7x + 6 = 0 ； （2）2x2－3x－2 = 0。 已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 有两个不相等的非零实数根。 △ > 0 两根同号 两根异号 两根同为正数 两根同为负数 正根的绝对值较大 两根互为相反数 负根的绝对值较大 达标检测 如果 －1 是方程 2x2－x + m = 0 的一个根，那么另一个根是______，m = _______。 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 －2 和 1，则 p = _____，q = ______。 －3 1 －2 3. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2－3x－1 = 0； （2）3x2 + 2x－5 = 0。 解：（1）x1 + x2 = 3， x1x2 = －1。 （2）x1+ x2 = ， x1x2 = 。 【选自教材P49 随堂练习 第1题】 4. 小明和小华分别求出了方程 9x2 + 6x－1 = 0 的根。 小明：x1 = x2 = ； 小华：x1 = ，x2 = 。 他们的答案正确吗？说说你的判断方法。 【选自教材P49 随堂练习 第2题】 x1+x2= ， x1x2 = 。 解：由题意，可得 小明和小华求得的根与算式都不符合， ∴小明和小华的答案都不正确。 【选自教材P49 随堂练习 第3题】 5. 已知方程 x2－ x－7 = 0 的一个根是 3 ，求它的另一个根。 解：x1x2 = －7。 x1 = 3， x2 = 。 课堂小结 一元二次方程根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根分别是x1 、x2，那么： x1 + x2 = ______，x1 · x2 = ______。 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $