第14章 全等三角形（暑假单元自测）新八年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版八年级上全等三角形单元卷，120分钟120分，24题覆盖全等判定、性质及应用，重几何直观与推理能力，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|对应边识别、判定定理、角平分线性质|如第3题判定条件选择，考查推理意识| |填空|6/18|全等条件补充、作图应用、面积计算|如第15题木墙与三角板，体现应用意识| |解答|8/72|全等证明、类比探究、拓展应用|如23题线段关系探究，24题创新情境，发展创新意识与模型观念|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第14全等三角形单元自测卷 【新教材，人教版】 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第I卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.(24-25八年级上广西崇左·阶段检测)如图，两个三角形△ABC与△BDE全等，观察图形，判断在 这两个三角形中边BD的对应边为() E A.BE B.AB C.CA D.BC 2.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是CD上一点，若△BDE≌△CDA,AB=7,AC=5,则 △BDE的周长为() B A.11 B.12 C.13 D.14 3.如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E,BC=CE,添加以下 条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是() 1/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.AB=CDB.AB‖DE C.AC=DE D.∠B=∠DCE 4.如图，AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°，∠BAE=60°，则∠CAE为() 2 B D E C A.20° B.30° C.40° D.50° 5.如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且△BDE≌△CDA;其中点B与 点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是() ①∠CBE=∠CAE:②CE=ED:③BE⊥AC:④AE⊥BC. D A.①②③ B.①② C.①③④ D.③④ 6.如图，直线AB‖CD,点E,F分别在直线AB,CD上，连接EF,以点E为圆心，适当长为半径画 弧，交射线EA于点M,交EF于点N,再分别以点MN为圆心，大于立MN的长为半径画弧（两弧半径 相等)，两弧在∠AEF的内部交于点H,画射线EH交CD于点G,若∠AEF=70°，则图中∠1的度数 为() B A A.35° B.110° C.135 D.145 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的平分线交于点D,连接AD,若∠CAE=110°，则 ∠CAD=() E D A.70° B.65 C.60° D.55° 8.在△ABC中，D是BC边的中点，若AB=9,AC=5,则△ABC的中线AD长的取值范围是() A.5<AD<9 B.4<AD<9 C.2<AD<14 D.2<AD<7 9.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用 力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距 离BD、CE分别为1.3m和1.9m,∠BOC=90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 () 77777777 777777777 A.1m B.1.3m c.1.6m D.1.9m I0.如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD,过D作DE⊥AC于E,DF⊥AB交BA的延 长线于F,则下列结论： ①△CDE≌△BDF;②CE=AB+AE;③∠BDC=∠BAC;④∠DAF=∠ACD.其中正确的结论有( D 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A=∠D=90°，AB=DE,若用“AAS”判定 △ABC≌△就，则添加的一个条件是· 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点M, N,再分别以点M,N为圆心，大于2 MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.若 CD=4,AB=13,则△ABD的面积为 P M C N B 13.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=12,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F, 且DE=DF,则DE的长为一· E B D C 14.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,AB=10Cm, 则△BED的周长为 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 15.如图，小虎用10块高度都是3c的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好 可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重 合，则两堵木墙之间的距离为 D C E 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A0,3,B0,1,C-4,0,点D在y轴右 侧，若以A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 A B 三、解答题（共8小题。共72分） 17.(8分)如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，AB‖DE,AB=DE,∠ACB=∠F. D B (1)求证：AC=DF: (2)添加一个与∠D有关的条件，使得AC⊥DE.(不需要证明) 5/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(8分)如图，∠A=∠B,∠1=∠2，AE=BE,点D在AC边上. E D (I)求证：△ACE≌△BDE; (2)若∠BDE=65°，求∠C的度数. I9.(8分)如图，在△ABD中，BD上的高线AC与AD上的高线BF相交于点E,且BE=AD B d C (1)求证：△ADC≌△BEC: (2)若CE=3,AE=5,求BD的长. 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(8分)如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等. B 4)求证：∠B0C=90°+号∠BAC: (2)若△ABC的周长为12，面积为18，求点O到△ABC三边的距离. 21.(9分)如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC. D (1)求证：∠ABE=∠C: (2)若∠BAE的平分线AF交BE于点F,FD‖BC交AC于点D,求证：△ABF≌△ADF: (3)在(2)的条件下，若AB=6,AC=8,则DC的长为 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(9分)如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E,过 点E作EF⊥AB,垂足为F,且∠AEF=50,连接DE. B D (I)求∠CAD的度数： (2)求证：DE平分∠ADC: (3)若AB=6,AD=4,CD=8,且S△4cD=12,求△ABE的面积. 23.(10分)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD边上的 点.且∠EAF=∠BD.探究线段BE、EF、DF的数量关系 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B B B 图① 图② 备用图 备用图 (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当∠B=∠D=90°，小宁探究此问题的 方法是：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,请你补全小宁的解题思路：先证明△ABG≌ 再证明△AEG≌ :即可得出线段BE、EF、DF之间的数量关系是 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠EAF=号∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程。 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(12分)数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE ,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7Cm,求BE的长.”在计算时，我们通过证明 △ADC二△CEB,得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解. 图1 图2 图3 图4 【类比探究】 (1)如图2，在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,DE为过点C的直线，AD⊥DE于D, BE⊥DE于E,求证：DE=AD+BE: 【拓展应用】 (2)如图3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰 Rt△OBC,连DC交OB延长线于点E.猜想AO与BE的数量关系，并说明理由： 【知识迁移】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以△ABC的AB,AC边向外 作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AG是边BC上的高.延长GA交DE于 点H,若AH=5,AG=12,直接写出△DAE的面积. 10/10 第14 全等三角形 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（24-25八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 2．如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 3．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A、和分别是和的对边，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 故选：A． 4．如图，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 【分析】运用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B＝∠C．根据三角形内角和定理可求∠DAE的度数．则易求∠CAE的度数． 【详解】解：如图，∵∠1＝∠2＝110°， ∴∠ADE＝∠AED＝70°， ∴∠DAE＝180°﹣2°． ∵BE＝CD，∴BD＝CE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠BAD＝∠CAE． ∵∠BAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE＝20°． 故选：A． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理，证明三角形为等腰三角形是关键． 5．如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解： ， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 6．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 8．在△ABC中，D是BC边的中点，若AB＝9，AC＝5，则△ABC的中线AD长的取值范围是（　　） A．5＜AD＜9 B．4＜AD＜9 C．2＜AD＜14 D．2＜AD＜7 【答案】D 【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，证明△ADB≌EDC，根据全等三角形的性质得到CE＝AB，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图1，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌EDC（SAS）， ∴CE＝AB， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴AC﹣AB＜2AD＜AC+AB， ∵AB＝9，AC＝5， ∴4＜2AD＜14， ∴2＜AD＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 9．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 10．如图，D为△BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论： ①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠ACD．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC＝∠BAC；∠DAE＝∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD，进而得出∠DAF＝∠DCB，不能得出∠DAF＝∠ACD． 【详解】解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， 在Rt△CDE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确； ∴CE＝AF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确； ∵Rt△CDE≌Rt△BDF， ∴∠DBF＝∠DCE， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠BDC＝∠BAC，故③正确； ∠DAE＝∠CBD， ∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠CBD， ∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∵∠DCB＞∠ACD， ∴∠DAF＞∠ACD， ∴∠DAF≠∠ACD，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，根据题意要求用“”判定，则需添加两个角相等的条件，或者添加即可． 【详解】，，根据题意要用“”判定， 若添加一个条件是则， 在和中， ， ， 若添加一个条件是， ， 故答案为或． 12．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的面积为________． 【答案】26 【分析】根据作图痕迹可得是的平分线，过点作于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分，如图，过点作于点． ， . 平分，， ， ， ． 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝12，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，则DE的长为 　 　． 【答案】6． 【分析】证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得∠DAE＝∠DAF，则∠DAE＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴∠DAE∠BAC60°＝30°， ∴DEAD12＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．如图，中，，，平分交于点，，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得，然后证明得，推出的周长为长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为． 15．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 cm． 【答案】30． 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm， ∴DE＝DC+CE＝30（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为30cm． 故答案为：30． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，点D在y轴右侧，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质，分两种情况：，，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 点的坐标是， 过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的坐标是， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题（共8小题。共72分） 17．（8分）如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 【答案】(1)证明：， ， 在与中， ，，， ， ． (2) 【分析】（1）先由推出一组同位角相等，结合已知、，利用证明，再根据全等三角形对应边相等得到； （2）要使，结合的角相等关系，构造直角条件，写出一个和相关的条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件：， 理由：若，则是直角三角形，， 由得， 等量代换得， 因此． 18．（8分）如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . 19．（8分）如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出，结合，利用，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵上的高线与上的高线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 20．（8分）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 21．（9分）如图，点E在的边上，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点D，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【答案】(1)证明：∵，且， ∴， ∴； (2)证明：∵的平分线交于点F， ∴， ∵交于点D， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (3)2 【分析】（1）根据和，即可求证； （2）易证和，即可证明； （3）根据全等的性质可得，即可解题； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴， ∴． 22．（9分）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）根据平角的定义解题即可； （2）过点E作于G，于H，结合角平分线的性质和判定定理证明； （3）根据求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点E作于G，于H， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 23．（10分）已知，在四边形中，，，、分别是、边上的点．且．探究线段 的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①，当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明________；即可得出线段 之间的数量关系是________． (2)如图②，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． 【答案】(1)；； (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再同（1）求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，延长到点，使，连接， ∵ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴； 24．（12分）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $