江苏省苏州中学校2023-2024学年高二下学期期末考前演练数学试卷(三)

江苏省苏州中学2023～2024学年第二学期期末考前演练试卷(三) 高二数学(人教) 集合、常用逻辑用语、不等式、函数 (满分150分，考试时间120分钟) 2024．6 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝(　　) A. (1，2) B. (0，2) C. (0，＋∞) D. R 2. 已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x∈N*|2≤x<5}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是(　　) A. {，} B. {，} C. {，，} D. {0，，，} 3. 函数f(x)＝x cos x＋(sin x)ln |x|的部分图象大致为(　　) 4. 正整数1，2，3，…，n的倒数的和1＋＋＋…＋已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n很大时，1＋＋＋…＋≈ln n＋γ.其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，γ≈0.577 215 664 901…，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数．设[x]表示不超过x的最大整数．用上式计算[1＋＋＋…＋]的值为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 10≈2.30)(　　) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 若x>0，y>0，则“x＋y<4”的一个必要不充分条件是(　　) A. x2＋y2<8 B. < C. xy<4 D. ＋<1 6. 已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知正实数a，b，满足a＋b≥＋，则a＋b的最小值为(　　) A. 5 B. C. 5 D. 8. 已知不等式f(x)>0的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于x的不等式sin x＋cos x>2mx＋|sin x－cos x|在区间(0，π)上存在“和谐解集”，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C. D. cos 1 二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　) A. P⊆M B. M∩P＝M C. N∪P＝P D. M∩∁PN＝∅ 10. 下列命题是假命题的有(　　) A. “a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 B. “a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 C. “>1”是“x<1”的既不充分也不必要条件 D. “m≥1”是“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件 11. 设函数y＝f(x)的定义域为R，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(x－2)＋f(－x)＝0，当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A. y＝f(x＋1)是偶函数 B. y＝f(x＋3)为奇函数 C. 函数y＝f(x)－lg |x|有8个不同的零点 D. 12. 已知x>0，y>0，且xy＋2x＋2y＝14，则下列判断正确的是(　　) A. 2x＋y的最小值为12 B. ＋的最小值为 C. 若不等式x＋y≥m2－5m＋6恒成立，则m∈[1，4] D. xy＋y的最大值为8 三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 将“方程x2＋1＝0无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成____________． 14. 已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥b)，则a2＋b2的最小值为________． 15. 已知正实数a，b满足a3－＝－3a，则2a＋3b＋4的最小值是________． 16. 已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)在R上单调递增，且关于x的方程|f(x)|＝x＋3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________． 四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分) 已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|a－2<x<3a}，全集U＝R. (1) 若a＝2，求A∩(∁UB)； (2) 若A⊇B，求实数a的取值范围． 18. (本小题满分12分) 已知f(x)＝|2x＋1|，不等式f(x)≤3x的解集为M. (1) 求集合M； (2) 若x∈M，不等式f(x)＋≥4－a恒成立，求正实数a的最小值． 19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝|x－t|＋|x＋t|，t∈R. (1) 若t＝1，求不等式f(x)≤8－x2的解集； (2) 已知m＋n＝4，若对任意x∈R，都存在m>0，n>0使得f(x)＝，求实数t的取值范围． 20. (本小题满分12分) 某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成；经测量，∠AOB＝90°，OA＝OB＝100米，曲线段BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA，OB的距离都是50米；现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于25米，设DF＝x米，游乐场的面积为S平方米． (1) 以点O为原点，试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2) 求面积S关于x的函数解析式S＝f(x)； (3) 试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大． 21. (本小题满分12分) 已知f(x)＝是定义在R上的奇函数，其中a，b∈R，且f(1)＝. (1) 求a，b的值； (2) 设g(x)＝mx2－2x＋2－m，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求m的取值范围． 22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)－mx是偶函数． (1) 求m的值； (2) 若g(x)＝4f(x)，a>0，b∈R，不等式bg2(x)－|ag(x)－b|＋a≥0对任意x∈[－，1]恒成立，求的取值范围． 江苏省苏州中学2023～2024学年第二学期期末考前演练试卷(三) 高二数学(人教)　参考答案 1. C　解析：因为log2x<1＝log22，所以0<x<2，即A＝{x|0<x<2}，又B＝{x|x>1}，所以A∪B＝{x|x>0}，故选C. 2. D　解析：B＝{x∈N*|2≤x<5}＝{2，3，4}， 因为A∪B＝B，所以A⊆B，当A＝∅时，a＝0，满足要求，当A≠∅时，ax－1＝0只有一个根，若A＝{2}，则2a－1＝0，解得a＝；若A＝{3}，则3a－1＝0，解得a＝；若A＝{4}，则4a－1＝0，解得a＝，实数a的所有值构成的集合是{0，，，}．故选D. 3. A　解析：函数f(x)＝x cos x＋(sin x)ln |x|的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－x cos (－x)＋[sin (－x)]ln |－x|＝－x cos x－(sin x)ln |x|＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其函数图象关于(0，0)对称，所以选项C，D错误；又f()＝cos ＋sin ·ln ||＝ln >0，所以选项B错误．故选A. 4. B　解析：由题意知1＋＋＋…＋＝ln 2 022＋γ.而ln 2 022＝ln 2×3×337＝ln 2＋ln 3＋ln 337≈1.79＋ln 337, 又ln 300<ln 337<ln 360，ln 300＝ln 3＋2ln 10≈1.10＋2×2.30＝5.70，ln 360＝2(ln 2＋ln 3)＋ln 10≈2(0.69＋1.10)＋2.30＝5.88，∴ln 2 022∈(7.49，7.67) ，∴ ln 2 022＋γ∈(8.06，8.25) ，故[1＋＋＋…＋]≈[ln 2 022＋γ]＝8，故选B. 5. C　解析：对于选项A：若x2＋y2<8，则(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<8＋2xy≤8＋2()2，所以(x＋y)2<16，又x>0，y>0，所以0<x＋y<4，所以“x2＋y2<8”是“x＋y<4”的充分条件，故选项A错误；对于选项B：若<，则()2<()2，所以x<4－y，即x＋y<4，所以“<”是“x＋y<4”的充要条件，故选项B错误；对于选项C：由x＋y<4得xy≤()2<4，另一方面取x＝，y＝8，满足xy<4，但x＋y>4，所以“xy<4”是“x＋y<4”的一个必要不充分条件，故选项C正确；对于选项D：取x＝，y＝3，满足x＋y<4，但＋>1，所以“＋<1”不是“x＋y<4”的必要条件，故选项D错误．故选C. 6. C　解析：令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)，y＝的大致图象如下． 由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，即函数g(x)有3个零点，故选C. 7. D　解析：由已知可得，a>0，b>0，a＋b>0.因为(＋)(a＋b)＝＋2＋＋≥2＋＝6＋＝，当且仅当＝，即2a＝3b时等号成立．所以(a＋b)2≥(＋)(a＋b)≥，当且仅当即时，两个等号同时成立．所以a＋b≥＋＝.故选D. 8. C　解析：当sin x≥cos x时，原不等式可化为sin x＋cos x>2mx＋sin x－cos x，整理可得cos x>mx；当sin x<cos x时，原不等式可化为sin x＋cos x>2mx＋cos x－sin x，整理可得sin x>mx，所以不等式sin x＋cos x>2mx＋|sin x－cos x|可化为min{sin x，cos x}>mx.令g(x)＝min{sin x，cos x}，x∈(0，π)，则g(x)＝所以g(x)在(0，)上单调递增，在[，π)上单调递减，所以g(1)>g(2)>g(3).因为x>0，所以m<.又>>，所以要使g(x)>mx只有一个整数解，则唯一整数解只能是x＝1.又因为点A(1，cos 1)，B(2，cos 2)是y＝g(x)图象上的点，所以≤m<cos 1.因为∉[，cos 1)，∉[，cos 1)，∈[，cos 1)，cos 1∉[，cos 1)，所以实数m的可能取值为.故选C. 9. BC　解析：由M∩N＝N可得N⊆M，由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故选项A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故选项B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故选项C正确；由N⊆M可得M∩∁PN不一定为空集，故选项D错误．故选BC. 10. AC　解析：对于A：若a＝1，b＝－1满足a>b，但a2＝b2不满足a2>b2，反之，若a2>b2，例如(－2)2>12，令a＝－2，b＝1，显然不满足a>b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故A错误；对于B：当c＝0时，由a>b得不到ac2>bc2，即充分性不成立，反之，若ac2>bc2，可得a>b，即必要性成立，所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故B正确；对于C：－1＝>0，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，因为(0，1)(－∞，1)，所以“>1”是“x<1”的充分不必要条件，故C错误；对于D：x2－2x＋m≥0在R上恒成立，则Δ＝4－4m≤0，∴m≥1，则“m≥1”是“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件，故D正确．故选AC. 11. AB　解析：由f(1＋x)＝f(1－x)，则函数关于直线x＝1对称，且f(－x)＝f(2＋x)，由f(x－2)＋f(－x)＝0，则函数关于(－1，0)对称，且f(－x)＝－f(x－2)，所以f(2＋x)＝－f(x－2)，故f(4＋x)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故函数的周期为8，当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1，则f(0)＝1，f(－1)＝f(1)＝0，根据周期和对称性知f(x)值域为[－1，1]，由函数f(x)关于直线x＝1对称且关于(－1，0)对称，周期为8，y＝f(x＋1)为y＝f(x)向左平移1个单位长度得到，是偶函数，故A正确；y＝f(x＋3)为y＝f(x)向左平移3个单位长度得到，是奇函数，故B正确；由y＝lg |x|在(－∞，0)上单调递减，且lg |－10|＝1，lg |－1|＝0；在(0，＋∞)上单调递增，且lg |10|＝1，lg |1|＝0，结合图象：看出y＝f(x)和y＝lg |x|的图象有10个交点，即f(x)＝lg |x|有10个不同的零点，故C错误；由f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝0，f(4)＝－1，f(5)＝0，f(6)＝－1，f(7)＝0，f(8)＝1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，所以＝252×0＋[f(1)＋f(2)＋…＋f(7)]＝－1，故D错误．故选AB. 12. BCD　解析：对于选项A：因为xy＋2x＋2y＝14，所以y＝＝－2，则2x＋y＝2x＋－2＝2(x＋2)＋－6≥2－6＝6，当且仅当2(x＋2)＝，即x＝1，y＝4时取等号，故A错误；选项B：＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即x＝y＝3－2时取等号，所以B正确；选项C：x＋y＝x＋－2＝(x＋2)＋－4≥2－4＝6－4，当且仅当x＋2＝，即x＝y＝3－2时等号成立，因为不等式x＋y≥m2－5m＋6恒成立，所以m2－5m＋6≤6－4，即m2－5m＋4≤0，解得1≤m≤4，所以C正确；选项D：14＝xy＋2x＋2y＝xy＋y＋2x＋2＋y－2＝(x＋1)y＋2(x＋1)＋y－2≥(x＋1)y＋2－2，当且仅当2(x＋1)＝y，即x＝1，y＝4时等号成立，整理得(x＋1)y＋2·－16≤0，令t＝，则t>0，t2＋2t－16≤0，得0<t≤2，所以0<≤2，即0<(x＋1)y≤8，所以xy＋y的最大值为8，所以D正确．故选BCD. 13. ∀x∈R，x2＋1≠0　解析：由已知，“方程x2＋1＝0无实根”是全称量词命题，故可改写为∀x∈R，x2＋1≠0. 14. 2　解析：因为随机变量X～N(1，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥b)，所以＝1，即a＋b＝2，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号． 15. 4＋1　解析：由题意可得将等式变形成()3＋3×＝a3＋3a，又因为a，b都是正数，所以a>0，>0，可构造函数f(x)＝x3＋3x，x>0，则f′(x)＝3x2＋3>0，所以函数f(x)＝x3＋3x在区间(0，＋∞)上为增函数，由()3＋3×＝a3＋3a知f(a)＝f()，所以a＝，则2a＋3b＋4＝＋3b＋4＝＋3(b＋1)＋1≥2＋1＝4＋1，当且仅当a＝，＝3(b＋1)，即a＝，b＝－1取等号，因此2a＋3b＋4的最小值是4＋1. 16. [，]∪{}　解析：∵f(x)是R上的单调递增函数，∴ y＝1＋loga|x－1|在(－∞，0]上单调递增，可得0<a<1，且0＋4a≥1＋0，即≤a<1，作出y＝|f(x)|和y＝x＋3的函数草图如图所示． 由图象可知|f(x)|＝x＋3在(0，＋∞)上有且只有一解，可得4a≤3或x2＋4a＝x＋3，即有Δ＝1－4(4a－3)＝0，即有≤a≤或a＝；由1＋loga|x－1|＝0，解得x＝1－≤－3，即x≤0时，有且只有一解，则a的取值范围是[，]∪{}． 17. 解：(1) 当a＝2时，B＝{x|0<x<6}， 所以∁UB＝{x|x≤0或x≥6}，又A＝{x|－2≤x≤3}， 所以A∩(∁UB)＝{x|－2≤x≤0}．(5分) (2) 由题可得，当B＝∅时，有a－2≥3a， 解得a的取值范围是(－∞，－1]， 当B≠∅时，有解得a的取值范围是[0，1]， 综上所述，a的取值范围是(－∞，－1]∪[0，1].(10分) 18. 解：(1) 由|2x＋1|≤3x，得(2x＋1)2≤9x2且x≥0， 解得x≥1， 即原不等式的解集M＝[1，＋∞).(4分) (2) 由(1)知f(x)＝2x＋1， ∴ f(x)＋≥4－a即为2x＋1＋≥4－a(x≥1)恒成立， 则a≥(x≥1)恒成立， 设h(x)＝＝6－2(x＋1)－(x≥1)， ∵ h′(x)＝－2＋＝在[1，＋∞)小于零，∴ h(x)单调递减， 所以h(x)max＝h(1)＝，∴ a≥， 即正实数a的最小值为.(12分) 19. 解：(1) 当t＝1时， f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝ 因为f(x)≤8－x2， 当x≥1时，即∴ 1≤x≤2； 当－1≤x<1时，即∴ －1≤x<1； 当x<－1时，即∴ －2≤x<－1， 综上，可得不等式的解集为[－2，2].(6分) (2) ∵ f(x)＝|x－t|＋|x＋t|≥|(x－t)－(x＋t)|＝2|t|， 当且仅当(x－t)(x＋t)≤0时取等号，∴ f(x)min＝2|t|， 又m>0，n>0且m＋n＝4， ∴ ＝＋＝＋≥＋2＝，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立， 所以∈[，＋∞)， 根据题意可得≤2|t|，解得t≥或t≤－， ∴ t的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).(12分) 20. 解：(1) 以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(100，0)，C(50，50)，B(0，100)， 设曲线段BC所在抛物线的方程为y＝ax2＋b(a<0)， 由题意可知，点B(0，100)和C(50，50)在此抛物线上， 代入可得a＝－0.02，b＝100， 所以曲线段BC的方程为y＝－0.02x2＋100(0≤x≤50).(4分) (2) 由题意，线段AC的方程为y＝－x＋100(50≤x≤100)， 当点D在曲线段BC上时，S＝x(－0.02x2＋100)(25≤x≤50)， 当点D在线段AC上时，S＝x(－x＋100)(50≤x≤75)， 所以f(x)＝(8分) (3) 当25≤x≤50时，f′(x)＝－0.06x2＋100， 令－0.06x2＋100＝0，得x1＝，x2＝－(舍去). 当x∈[25，)时，f′(x)>0；当x∈(，50]时，f′(x)<0. 因此当x＝时，S＝f()＝是极大值，也是最大值． 当50<x≤75时，f(x)＝－(x－50)2＋2 500， 当x＝50时，S＝f(50)＝2 500是最大值． 因为>2 500， 所以当x＝时，S取得最大值，此时D(，)， 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大．(12分) 21. 解：(1) 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝＝0，解得b＝0， 又因为f(1)＝，所以f(1)＝＝， 解得a＝4，所以f(x)＝， f(－x)＝＝－f(x)，则f(x)为奇函数， 所以a＝4，b＝0.(4分) (2) 记f(x)在[2，4]上的值域为集合A，g(x)在[0，1]上的值域为集合B，则原问题等价于A⊆B，f′(x)＝， 可知f(x)在[2，4]上单调递减， 所以f(x)max＝f(2)＝1，f(x)min＝f(4)＝， 记f(x)在区间[2，4]内的值域为A＝[，1]. 当m<0时，易知g(x)在[0，1]上单调递减， 则g(x)max＝g(0)＝2－m>2，g(x)min＝g(1)＝0， 得g(x)在区间[0，1]内的值域为B＝[0，2－m]，满足A⊆B； 当m＝0时，g(x)＝－2x＋2在[0，1]上单调递减， 则g(x)max＝g(0)＝2，g(x)min＝g(1)＝0， 得g(x)在区间[0，1]内的值域为B＝[0，1]，满足A⊆B； 当0<m≤1时，≥1，g(x)在[0，1]上单调递减， 则g(x)max＝g(0)＝2－m≥1， g(x)min＝g(1)＝0，得g(x)在区间[0，1]内的值域为B＝[0，2－m]，满足A⊆B； 当1<m≤2时，≤<1，g(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，则g(x)max＝g(0)＝2－m，g(x)min＝g()＝－＋2－m， 得g(x)在区间[0，1]内的值域为B＝[－＋2－m，2－m]， ∴ 无实数解； 当m>2时，0<<，g(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， 则g(x)max＝g(1)＝0，g(x)min＝g()＝－＋2－m， 得g(x)在区间[0，1]内的值域为B＝[－＋2－m，0]，不符合题意． 综上，m的取值范围是(－∞，1].(12分) 22. 解：(1) 因为f(x)＝log4(4x＋1)－mx， 所以f(－x)＝log4(4－x＋1)＋mx＝log4(＋1)＋mx＝log4＋mx＝log4(4x＋1)＋(m－1)x， 因为函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)， 即log4(4x＋1)＋(m－1)x＝log4(4x＋1)－mx， 所以m－1＝－m，解得m＝.(4分) (2) 由(1)可得f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4(4x＋1)－log42x＝log4＝log4(2x＋2－x)，g(x)＝4f(x)＝2x＋， 任取x1，x2∈[－，1]，且x1<x2，则2x2>2x1>0， g(x1)－g(x2)＝(2x1＋)－(2x2＋)＝(2x1－2x2)－＝， 当－≤x1<x2<0时，x1＋x2<0，则0<2x1＋x2<1， 所以g(x1)－g(x2)＝>0， 即g(x1)>g(x2)， 当0<x1<x2≤1时，x1＋x2>0，则2x1＋x2>1， 所以g(x1)－g(x2)＝<0， 即g(x1)<g(x2)， 所以函数g(x)在[－，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增， 令t＝g(x)∈[2，]，问题转化为bt2＋a≥|at－b|， 即t2＋1≥|t－|， 再令＝m，所以mt2＋1≥|t－m|对t∈[2，]恒成立． (i) 当m≤0时，左边≤1，右边≥2，不符合题意； (ii) 当m>0时， ① 当m≥时，则mt2＋1≥4m＋1，|t－m|＝m－t≤m－2， 当t＝2时，上述两个不等式等号同时成立，满足题意，则4m＋1≥m－2，解得m≥－1，此时m≥； ② 当0<m≤2时，有mt2＋1≥t－m， 所以m≥＝＝＝， 当2≤t≤，则1≤t－1≤， 由基本不等式可得t－1＋＋2≥2＋2＝2(＋1)， 当且仅当t＝＋1时，等号成立，故y＝在[2，]上的最大值为＝， 所以m≥，此时≤m≤2； ③ 当2<m<时，mt2＋1>1>|t－m|恒成立，符合题意． 综上所述，m的取值范围是[，＋∞)，即的取值范围是[，＋∞).(12分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$