江苏南京市雨花台中学2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题

**基本信息** 高二下数学期末卷融合统计、函数、几何等模块，通过无人机配送、社团活动等真实情境，考查数学眼光观察、逻辑推理与模型构建能力，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|中位数、向量、抛物线等|基础概念辨析，如中位数计算| |多选题|3/18|统计数据、函数零点|选项分层，如锻炼次数统计分析| |填空题|3/15|二项式定理、切线、排列组合|情境创新，如无人机配送方案| |解答题|5/77|导数极值、概率、圆锥曲线|综合应用，如社团活动概率计算、圆锥曲线定点证明|

高二下数学期末测试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．数据1，2，3，4，5，6，7的中位数是（   ） A．3 B．4 C．5 D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．若抛物线的焦点为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．已知向量，，则（   ） A． B． C．3 D．4 5．已知直线，和平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表： 锻炼次数x 0 1 2 3 4 5 频数n 4 6 10 12 6 2 根据以上数据，下列结论正确的是（   ） A．这组样本数据的中位数为2.5 B．这组样本数据的平均数为2.4 C．从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于 3次的概率为 D．若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4人 10．已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 11．已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为 B．第二次抽到号球的概率为 C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小 D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．(x+1)(x+2)⁶展开式中x³的系数是____________________. 13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 14．无人机送物成为人工智能时代的一种流行的物流方式.现在有部不同无人机可供调用给个街区送物（如图），若每部无人机只能给个区块或者两个相邻区块进行送物，所有区块均需配送，则不同分配方案种数为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． (1)求n的值； (2)求展开式中各项系数的和； (3)求展开式中所有的有理项． 16．已知函数． (1)求的极值； (2)若在区间上有三个零点，求的取值范围． 17．某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动.若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为，，；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社.已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动.请完成下列计算： (1)求小李第2天选择书法社的概率． (2)求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率． 18．平面内有一点和直线，动点满足：T到点F的距离与T到直线l的距离的比值是．记点T的运动轨迹是曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过F且斜率存在的动直线m与曲线E交于A、B两点，P是x轴上的动点，满足． (i)求面积的取值范围； (ii)是否存在定点Q，使得对于任意的动直线m，都有A、B、Q、P四点共圆． 19．已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． (3)若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 高二下数学期末测试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B C C A ABC ABC 题号 11 答案 AC 12．400 13． 14． 15．(1)5 (2) (3)，， 【分析】（1）根据二项式系数和的公式求； （2）利用赋值法求各项系数的和； （3）根据通项公式，求有理项． 【详解】（1）由题意有，解得； （2）时，， 则展开式中各项系数的和为； （3）二项式展开式的通项为 ，当时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为，， ． 16．(1)极大值为，极小值为； (2) 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值. （2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为. ∵ ， ∴ . 令，解得或. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. 当时，，故，单调递增. ∴ 为的极大值点，极大值为. 为的极小值点，极小值为. （2）计算在区间端点的函数值： ， . ∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上有3个不同的零点，需满足： 解得，即的取值范围为. 【点睛】方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围. 17．(1) (2) 【详解】（1）设事件分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件表示第2天选择书法社. 由题意，两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： ∴小李第2天选择书法社的概率为. （2） ∴在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为. 18．(1)； (2)(i)；(ii)． 【分析】(1)根据动点坐标，由所给条件列出关于的等式，化简即可得到动点轨迹方程； (2)(i)设直线方程，联立与椭圆的方程，利用弦长公式计算弦长，再根据中垂线方程求出点P坐标，计算点到直线的距离，代入计算面积，根据解析式计算面积的取值范围； (ii)取直线AB的对称直线：斜率为，得到两组四点：与，两组图形都关于x轴对称，因为四点共圆，若定点Q不在x轴上，则点Q关于x轴还有对称点，就不是唯一定点了；因此：满足题意的公共定点Q，必然在x轴上，可设Q点坐标，根据相交弦定理，列出等式，即可计算Q点坐标． 【详解】（1）由，，可得： ； T到直线l的距离； 由题意得：， 两边平方去分母可得：， 整理得：， 化简可得：，即； 故曲线E的方程为． （2） (i)设直线m方程为：，，联立与曲线E的方程可得： ，代入得：； 恒成立； 设，由韦达定理可得： ，； 设AB的中点为, 则， ； 因为，则，故为直线m的中垂线，斜率为， 故方程为：， 令可得点的横坐标为：，故， 则， 故； 令，则，可得：； 则 ， 故在时单调递减；故， 故△PAB面积的取值范围为； (ii) 设Q点坐标，Q点在F右侧 则AB与PQ交于点F，根据圆的相交弦定理可得：， ， 故，解得：，故； 综上，存在定点Q，使得对于任意的动直线m，都有A、B、Q、P四点共圆． 【点睛】圆锥曲线与直线的综合问题，需先列式，根据含参数的式子再计算取值范围；对于探究性题目是否存在定点，可设存在，通过计算可判断假设是否成立． 19．(1)0 (2)时，在单调递增；时，在上单调递减，在，上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）根据解析式直接计算得解； （2）求出函数导数，分类讨论求单调性即可； （3）利用极值点的概念转化为证明，再由函数的零点的定义得出，转化为证明，构造函数证明即可. 【详解】（1）. （2）定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. （3）由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根， 不妨令，，，且． 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且， 在上存在零点，上存在零点，上存在零点， 则有， 要证， 只要证， ，，， 又， 也是的零点，即， 下证 ，． 只要证， 只要证：， 令，， 在上单调递增，． 即，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $