江苏苏州市某校2025-2026学年高二下学期期末模拟4数学试题

**基本信息** 高二下学期期末模拟卷，覆盖概率统计、立体几何、函数导数等核心知识，通过实际情境（如参观人数回归分析）和动态问题（如正四面体动点轨迹），考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|独立事件概率、法向量应用、函数单调性|基础概念与运算结合，如第1题考独立事件加法公式| |多选题|3题/15分|正态分布性质、立体几何动态问题|注重思辨能力，如第9题结合标准正态分布表分析实际数据| |填空题|3题/15分|概率递推、正态分布变换、函数单调性参数|强调知识迁移，如第13题通过变量关系转化正态分布问题| |解答题|5题/50分|函数切线与最值、回归分析与概率、立体几何证明、概率模型递推、微积分证明|综合应用突出，如第16题融合线性回归预测与条件概率计算，体现数学语言表达现实世界；第18题构建交换球概率模型，培养逻辑推理与数学思维|

高二下学期期末模拟试卷4 姓名：________ 班级：_______ 考试号：_______ 一、单选题 1．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则P(A＋B)等于(　　) A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72 2．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 3．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　) A. B. C. D. 4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 5.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.a<0 B.-1≤a<0 C.-1<a<0 D.a≥-1 6.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为(　　) A.12 B.18 C.20 D.60 7.甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为5%，乙加工的次品率为8%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的40%，60%，任取一个零件，若取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为(　　) A. B. C. D. 8.已知(x+3)(x+2)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9，则a8等于(　　) A.8 B.10 C.28 D.29 二、多选题 9.正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国的数学家、天文学家De Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作X~N(μ，σ2).当μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布，如果令Z=则可以证明Z~N(0，1)，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果Z~N(0，1)，那么对任意的a，通常记Φ(a)=P(Z<a)，也就是说，Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞，a)内所围的面积.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试，经研究发现本次考试的数学成绩X近似服从正态分布N(103，202).则下列说法正确的有(　　) 参考数据：可供查询的(部分)标准正态分布N(0，1)对应的概率值. a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 Φ(a) 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.636 8 0.640 6 A.已知Φ(a)=0.7，则P(|Z|<a)=0.6 B.Φ(a)+Φ(-a)=1 C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%，据此估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分(精确到整数) D.已知该市考生约有10 000名，某学生此次考试数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间 10.在棱长为2的正四面体ABCD中，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB，AD交于点E，F，点Q为线段CD上的动点，则下列结论正确的是(　　) A.AC⊥EF B.当E，Q分别为线段AB，CD中点时，CF与EQ所成角的余弦值为 C.线段EQ的最小值为 D.空间四边形BCFE的周长的最小值为4+ 11.设x1，x2(x1<x2)是直线y=a与曲线f(x)=x(1-ln x)的两个交点的横坐标，则(　　) A.x1x2<e B.x2ln x1>x1ln x2 C.∃a∈(0，1)，x2-x1>ea D.∀a∈(0，1)，x1ln x1+x2>a 三、填空题 12.某人上楼梯，每步上一个台阶的概率为每步上两个台阶的概率为设该人从第1个台阶出发，到达第3个台阶的概率为　　　　.  13.两个连续随机变量X，Y满足X+2Y=3，且X~N(3，σ2)，若P(X+1≤0)=0.14，则P(Y+2>0)=　　　　.  14.设a∈(0，1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是　　　　.  四、解答题 15．已知函数f(x)=ln(x+m)的图象与x轴交于点P，且在点P处的切线方程为y=g(x)，g(1)=1，记h(x)=2f(x)-+1.(参考数据：e3≈20.09) (1)求g(x)的解析式； (2)求h(x)的单调区间和最大值.(10分) 16．某高校统计的连续5天入校参观的人数(单位：千人)如表： 样本号i 1 2 3 4 5 第xi天 1 2 3 4 5 参观人数yi 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，xiyi=85.2=55=3=4.7. (1)求y关于x的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数；(7分) (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为从另一处门离校的概率为.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者都从1号门离校，求他们从不同门进校的概率.(8分) 附：经验回归方程=x+其中==-. 17．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为2点E在母线PC上，且AE=2CE=2. (1)求证：PO∥平面BDE； (2)若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求平面MBD与平面ABD的夹角的大小. 18．现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn. (1)求p1，p2的值； (2)求pn的值(用n表示)； (3)求证：Xn的数学期望E(Xn)为定值. 19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=(x>0)，f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，从几何上看，定积分 dx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得 dx=ln b-ln a，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP<S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：>. (1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：<； (2)已知函数f(x)=ax2+bx+xln x，其中a，b∈R. ①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合； ②当b=-1时，若不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期期末模拟试卷4 姓名：________ 班级：_______ 考试号：_______ 一、单选题 1．已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，则P(A＋B)等于(　　) A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72 答案　C 解析　因为事件A，B相互独立，故P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 又P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.4－0.2＝0.7. 2．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B. C. D. 答案　B 解析　对于选项A，＝(1,0,1)，·n ＝5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D；对于选项B，有＝，所以·n＝0，故B正确． 3．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　＝(－2,0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝＝＝. 4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　建立如图所示的坐标系，设AB＝2， 则C1(，1,0)，A(0,0,2)，＝(，1，－2)，易知平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1,0,0)．设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.所以AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 5.已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.a<0 B.-1≤a<0 C.-1<a<0 D.a≥-1 答案　B 解析　因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减， 且y=ln x在定义域内为增函数，所以y=ax+2在(1，2)上单调递减，且恒大于0， 所以解得-1≤a<0. 6.某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为(　　) A.12 B.18 C.20 D.60 答案　C 解析　根据题意，可分为两类： ①当2个新节目插在5个节目中间的四个空隙中的一个时，有=4×2=8(种)方法； ②当2个新节目插在5个节目中间的四个空隙中的两个时，有=4×3=12(种)方法，由分类加法计数原理得，共有8+12=20(种)不同的插法. 7.甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为5%，乙加工的次品率为8%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的40%，60%，任取一个零件，若取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设事件M=“任取一个零件，取到的零件是次品”，N1=“任取一个零件，该零件来自甲工厂”，N2=“任取一个零件，该零件来自乙工厂”， 由题意得P(N1)=0.4，P(N2)=0.6，P(M|N1)=0.05，P(M|N2)=0.08. 因为P(M)=P(N1)P(M|N1)+P(N2)P(M|N2)=0.4×0.05+0.6×0.08=0.068， 所以P(N2|M)====. 8.已知(x+3)(x+2)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9，则a8等于(　　) A.8 B.10 C.28 D.29 答案　B 解析　(x+3)(x+2)8=[(x+1)+2][(x+1)+1]8，其中[(x+1)+1]8展开式的通项为Tk+1=(x+1)8-k·1k=(x+1)8-k，k∈N且k≤8， 当k=0时，T1=(x+1)8=(x+1)8，此时只需乘以第一个因式[(x+1)+2]中的2，可得2(x+1)8； 当k=1时，T2=(x+1)7=8(x+1)7，此时只需乘以第一个因式[(x+1)+2]中的(x+1)，可得8(x+1)8，所以a8=2+8=10. 二、多选题 9.正态分布是一种重要的概率分布，它是由法国的数学家、天文学家De Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作X~N(μ，σ2).当μ=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布，如果令Z=则可以证明Z~N(0，1)，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布，如果Z~N(0，1)，那么对任意的a，通常记Φ(a)=P(Z<a)，也就是说，Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(-∞，a)内所围的面积.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次模拟考试，经研究发现本次考试的数学成绩X近似服从正态分布N(103，202).则下列说法正确的有(　　) 参考数据：可供查询的(部分)标准正态分布N(0，1)对应的概率值. a 0.24 0.25 0.26 0.35 0.36 Φ(a) 0.594 8 0.598 7 0.602 6 0.636 8 0.640 6 A.已知Φ(a)=0.7，则P(|Z|<a)=0.6 B.Φ(a)+Φ(-a)=1 C.按以往的统计数据，该市数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占40%，据此估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分(精确到整数) D.已知该市考生约有10 000名，某学生此次考试数学成绩为110分，则该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间 答案　BCD 解析　对于A，因为Φ(a)=0.7，即P(Z<a)=0.7， 可得P(Z≥a)=1-P(Z<a)=0.3， 所以P(|Z|<a)=1-2P(Z≥a)=0.4，故A错误； 对于B，因为Φ(a)+Φ(-a)=P(Z<a)+P(Z<-a)=P(Z<a)+P(Z>a)=1，故B正确； 对于C，由题意可知，P(Z≥a)=1-Φ(a)=0.4，即Φ(a)=0.6， 对比表格可知，0.25<a<0.26，即0.25<<0.26，解得108<X<108.2， 所以估计本次考试成绩达到升一本要求的数学成绩约为108分，故C正确； 对于D，由题意可知，a==0.35，且Φ(0.35)≈0.636 8， 可得P(Z≥0.35)=1-Φ(0.35)≈0.363 2，则10 000×0.363 2=3 632， 所以该学生在全市排名大概位于3 630~3 640名之间，故D正确. 10.在棱长为2的正四面体ABCD中，过点C且与BD平行的平面α分别与棱AB，AD交于点E，F，点Q为线段CD上的动点，则下列结论正确的是(　　) A.AC⊥EF B.当E，Q分别为线段AB，CD中点时，CF与EQ所成角的余弦值为 C.线段EQ的最小值为 D.空间四边形BCFE的周长的最小值为4+ 答案　ABD 解析　由题知，BD∥平面CEF，而平面CEF∩平面ABD=EF，BD⊂平面ABD，根据线面平行的性质定理可知，BD∥EF， 又·=(+)·=·+·=2×2×cos +2×2×cos =0， 即AC⊥BD，故AC⊥EF，A正确； 连接AQ，BQ，易得AQ=BQ==CF，又AE=EB=1，于是EQ⊥AB(三线合一)，故EQ== 取FD的中点P，连接PQ，PE，由中位线可知PQ= 在△AEP中由余弦定理，得EP2=AE2+AP2-2AE·APcos =即EP= 由CF∥PQ，CF与EQ所成角即为∠EQP(或其补角)，在△EQP中根据余弦定理， 得cos∠EQP==B正确； 根据B选项分析，当E，Q分别为线段AB，CD的中点时，EQ=<C错误； 由BD∥EF，△ABD为正三角形，则△AEF也是正三角形， 故EF=AE，故四边形BCFE的周长为BC+BE+EF+CF=2+(BE+AE)+CF=4+CF， 当F为AD的中点，即CF⊥AD时，CF有最小值.即空间四边形BCFE的周长的最小值为4+D正确. 11.设x1，x2(x1<x2)是直线y=a与曲线f(x)=x(1-ln x)的两个交点的横坐标，则(　　) A.x1x2<e B.x2ln x1>x1ln x2 C.∃a∈(0，1)，x2-x1>ea D.∀a∈(0，1)，x1ln x1+x2>a 答案　ACD 解析　由函数f(x)=x(1-ln x)的定义域为(0，+∞)，可得f'(x)=-ln x， 令f'(x)=0，可得x=1， 当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增； 当x>1时，f'(x)<0，f(x)在(0，1)上单调递减， 所以当x=1时，可得函数f(x)的极大值为f(1)=1. 当x→0时，f(x)→0；当x→+∞时，f(x)→-∞， 结合函数f(x)的单调性可得图象如图所示. 对于A，由图可知0<x1<1，1<x2<e，所以x1x2<e，所以A正确； 对于B，构造函数g(x)=可得g'(x)= 当0<x<e时，g'(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增， 又0<x1<1<x2<e，所以g(x1)<g(x2)，可得<可得x2ln x1<x1ln x2，所以B错误； 对于C，由图可知，当a>0且a→0时，x2→e，x1→0⇒x2-x1→e， 又因为当a→0时，ea→1， 所以∃a∈(0，1)，x2-x1>ea，所以C正确； 对于D，因为x1(1-ln x1)=a，所以x1ln x1=x1-a，所以x1ln x1+x2>a等价于x1+x2>2a， 要证∀a∈(0，1)，x1ln x1+x2>a成立，即证x1+x2>2a，因为2a<2，故只需证x1+x2>2， 因为0<x1<1，1<x2<e，只需证x2>2-x1且x2与2-x1均大于1. 又因为f(x)在(1，+∞)上单调递减， 只需证f(x2)<f(2-x1)，即证f(x1)<f(2-x1)， 令F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0，1)， 可得F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=-ln x-ln(2-x)=-ln x(2-x)>0， 所以F(x)在(0，1)上单调递增，且F(x1)<F(1)=0， 所以f(x1)<f(2-x1)成立，所以D正确. 三、填空题 12.某人上楼梯，每步上一个台阶的概率为每步上两个台阶的概率为设该人从第1个台阶出发，到达第3个台阶的概率为　　　　.  答案　 解析　到达第3个台阶的方法有两种： 第一种，每步上一个台阶，上两步，则概率为×=； 第二种，只上一步且上两个台阶，则概率为 所以到达第3个台阶的概率为+=. 13.两个连续随机变量X，Y满足X+2Y=3，且X~N(3，σ2)，若P(X+1≤0)=0.14，则P(Y+2>0)=　　　　.  答案　0.86 解析　因为X+2Y=3，所以X+1=4-2Y， 因为P(X+1≤0)=0.14， 所以P(4-2Y≤0)=0.14，即P(Y≥2)=0.14， 又Y=-X+所以E(Y)=-E(X)+=0，D(Y)=D(X)=σ2， 所以Y~N 所以P(Y+2>0)=P(Y>-2)=1-P(Y≤-2)=1-P(Y≥2)=1-0.14=0.86. 14.设a∈(0，1)，若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0，+∞)上单调递增，则a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0，+∞)上恒成立， 则(1+a)xln(1+a)≥-axln a， 即≥-在区间(0，+∞)上恒成立， 而y=在区间(0，+∞)上单调递增， 故=1≥- 而1+a∈(1，2)，故ln(1+a)>0， 故即 故≤a<1， 结合题意可得实数a的取值范围是. 四、解答题 15．已知函数f(x)=ln(x+m)的图象与x轴交于点P，且在点P处的切线方程为y=g(x)，g(1)=1，记h(x)=2f(x)-+1.(参考数据：e3≈20.09) (1)求g(x)的解析式； (2)求h(x)的单调区间和最大值.(10分) 解　(1)由题意知f(x)=ln(x+m)的图象与x轴的交点为P(1-m，0)， 又f'(x)= ∴在点P处的切线的斜率k==1， ∴在点P处的切线方程为g(x)=x-1+m， ∵g(1)=1，∴m=1，即切线方程为g(x)=x. (2)由(1)知f(x)=ln(x+1)， ∴h(x)=2ln(x+1)-+1 ∴h'(x)=-= 令h'(x)=0得x1=0，x2=2，x，h'(x)，h(x)的变化情况列表如下， x - 0 (0，2) 2 (2，+∞) h'(x) - 0 + 0 - h(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ∴h(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为和(2，+∞)， h(x)极大值=h(2)=2ln 3-2， 又h=2ln +1=2ln 3-4ln 2+1， h-h(x)极大值=3-4ln 2=ln ≈ln >0， ∴h>h(x)极大值， ∴h(x)的最大值为2ln 3-4ln 2+1. 16．某高校统计的连续5天入校参观的人数(单位：千人)如表： 样本号i 1 2 3 4 5 第xi天 1 2 3 4 5 参观人数yi 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，xiyi=85.2=55=3=4.7. (1)求y关于x的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数；(7分) (2)已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为从另一处门离校的概率为.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者都从1号门离校，求他们从不同门进校的概率.(8分) 附：经验回归方程=x+其中==-. 解　(1)依题意====1.47， =-=0.29，所以=1.47x+0.29. 当x=10时=14.99， 故第10天入校参观的人数约为14.99千人. (2)记“甲、乙两名参观者从不同门进校”为事件A，“甲、乙两名参观者都从1号门离校”为事件B， 则P(B)=×××+×××+××××2= P(AB)=××××2= 所以P(A|B)==. 故所求的概率为. 17．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且边长为2点E在母线PC上，且AE=2CE=2. (1)求证：PO∥平面BDE； (2)若点M为线段PO上的动点，当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，求平面MBD与平面ABD的夹角的大小. (1)证明　如图，设AC交BD于点F，连接EF，由圆锥的性质可知PO⊥底面ABD， 因为AC⊂平面ABD，所以PO⊥AC， 又因为△ABD是底面圆的内接正三角形， 由AD=2AC为直径， 则AF⊥BD，可得AF=3， 而=AC，解得AC=4， 又AE=2CE=2， 所以AC2=AE2+CE2，即∠AEC=90°，AE⊥PC， 又因为== 所以△AEC∽△AFE， 所以∠AFE=∠AEC=90°，即EF⊥AC，所以EF∥PO， 又PO⊄平面BDE，EF⊂平面BDE， 所以PO∥平面BDE. (2)解　因为PO∥EF，PO⊥平面ABD，所以EF⊥平面ABD， 又EF⊂平面BED，所以平面BED⊥平面ABD， 由于AF=3，则OF=FC=1，即F为OC的中点， 知PO=2EF=2以点F为坐标原点，FA，FB，FE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(3，0，0)，B(00)，D(0，-0)，E(0，0)，P(1，0，2)，O(1，0，0)， 所以=(-30)=(-3，0)=(10)=(0，0，2)， 设平面ABE的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则n=(1)， 设=λ(0≤λ≤1)，可得=+=(12λ)， 设直线DM与平面ABE所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈n〉|=== 即sin2θ== 令y=x∈[0，1]， 则y==4=4 ==4， 当且仅当x=时，等号成立， 所以当x=时，y=有最大值4， 即当λ=时，sin θ的最大值为1，此时点M(1，0)，所以MO= 易知∠MFO即为平面MBD与平面ABD的夹角， 又FO=1，所以∠MFO=60°， 故当直线DM与平面ABE所成角的正弦值最大时，平面MBD与平面ABD的夹角为60°. 18．现有A，B两个不透明的盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn. (1)求p1，p2的值； (2)求pn的值(用n表示)； (3)求证：Xn的数学期望E(Xn)为定值. (1)解　设第n(n∈N*)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为qn，则没有红球的概率为1-pn-qn. 由题意知p1== q1== p2=p1·+q1·+·=. (2)解　因为pn=pn-1·+qn-1·+·=-pn-1+. 所以pn-=-(n≥2，n∈N*). 又因为p1-=-≠0，所以是以-为首项，-为公比的等比数列， 所以pn-=-× 故pn=-×+. (3)证明　因为qn=pn-1+qn-1=pn-1+qn-1，① 由(2)可知pn=-pn-1+ 所以1-qn-pn=pn-1+② 所以①-②，得2qn+pn-1=(n≥2，n∈N*). 又因为2q1+p1-1=0，所以2qn+pn-1=0，所以qn=. Xn的可能取值是0，1，2， P=1-pn-qn= P=pn， P=qn=. 所以Xn的分布列为 Xn 0 1 2 P pn 所以E=0×+1×pn+2×=1. 所以Xn的数学期望E为定值1. 19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=(x>0)，f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，从几何上看，定积分 dx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得 dx=ln b-ln a，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP<S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：>. (1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：<； (2)已知函数f(x)=ax2+bx+xln x，其中a，b∈R. ①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合； ②当b=-1时，若不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立，求实数a的取值范围. (1)证明　在曲线y=上取一点M. 过点M作f(x)的切线分别交AP，BQ于M1，M2，图略. 因为S曲边梯形ABQP> 可得ln b-ln a>·(|AM1|+|BM2|)·|AB|=·2··(b-a)，即<. (2)①证明　由函数f(x)=ax2+bx+xln x，可得f'(x)=2ax+ln x+b+1， 不妨设0<x1<x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为 l1：y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，即y=f'(x1)x+f(x1)-x1f'(x1)， 同理曲线y=f(x)在点(x2，f(x2))处的切线方程为l2：y=f'(x2)x+f(x2)-x2f'(x2). 假设l1与l2重合， 则 代入化简可得 两式消去a，可得ln x2-ln x1-2=0， 整理得= 由(1)的结论知<与上式矛盾， 即对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合. ②解　当b=-1时，不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立， 所以h(x)=ax2-x+xln x-2sin(x-1)≥0在(0，+∞)上恒成立， 所以h(1)≥0⇒a≥1. 下证：当a≥1时，h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立. 因为a≥1，所以h(x)≥x2-x+xln x-2sin(x-1)， 设H(x)=x2-x+xln x-2sin(x-1)，H'(x)=2x+ln x-2cos(x-1)， (ⅰ)当x∈[1，+∞)时，由2x≥2，ln x≥0，-2cos(x-1)≥-2知H'(x)≥0恒成立， 即H(x)在[1，+∞)上单调递增，所以H(x)≥H(1)=0； (ⅱ)当x∈(0，1)时，设G(x)=2x+ln x-2cos(x-1)，可得G'(x)=2++2sin(x-1)， 由2sin(x-1)>-2>0知G'(x)>0恒成立， 即G(x)=H'(x)在(0，1)上单调递增， 所以H'(x)<H'(1)=0，即H(x)在(0，1)上单调递减， 所以H(x)>H(1)=0成立， 综上所述，h(x)≥0恒成立，所以实数a的取值范围是[1，+∞). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $