江苏省苏州中学2023-2024学年高二下学期数学期末考前演练试卷(二)

江苏省苏州中学2023～2024学年第二学期期末考前演练试卷(二) 高二数学(人教) 计数原理、随机变量及其分布、统计 (满分150分，考试时间120分钟) 2024．6 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的2 500名男性市民中有1 000名持支持态度，2 500名女性市民中有2 000人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力(　　) A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率 2. 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为(　　) A. ＝0.4x＋2.3　 B. ＝2x－2.4 C.＝－2x＋9.5　 D. ＝－0.3x＋4.4 3. 若把英文单词“hello”拼错了，则用这5个字母拼错的方法数共有(　　) A. 119种　　 B. 120种　 C. 59种　　 D. 60种 4. 在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球、2个黄球、3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为(　　) A. 　　 B. 　 C. 　　 D. 5. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X －1 0 1 P 0.5 1－2q q2 则q等于(　　) A. 　　 B. 　　 C. 1±　　 D. 6. 由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其分布列如下． X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 则丢失的两个数据x，y分别为(　　) A. 2，4　　　 B. 2，5　　 C. 3，4　 D. 3，5 7. 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于(　　) A. 144　　 B. 146 C. 164　　 D. 461 8. 甲、乙争夺围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为(　　) A. 　　 B. 　 C. 　　 D. 二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. Keep是一款具有社交属性的健身App，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是(　　) A．月跑步里程最小值出现在2月 B．月跑步里程逐月增加 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D. 1月至5月月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 10. 同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下一面出现奇数}；C＝{两个四面体向下一面同时出现奇数或者同时出现偶数}．给出下列说法正确的有(　　) A. P(A)＝P(B)＝P(C) B. P(AB)＝P(AC)＝P(BC) C. P(ABC)＝　　 D. P(A)P(B)P(C)＝ 11. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是(　　) 参考数据：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 4. A. 该市学生数学成绩的数学期望为100 B. 该市学生数学成绩的标准差为100 C. 该市学生数学成绩及格率超过0.8 D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 12. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨)的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y＝0.7x＋0.35，则下列结论正确的是(　　) x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A. 产品的生产能耗与产量呈正相关 B. t的取值必定是3.15 C. 回归直线一定过点(4.5，3.5) D. A产品每多产1吨，则相应的能耗约增加0.7吨 三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________． 14. 已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＋a5＝________． 15. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表． 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计 30 20 50 则在犯错误的概率不超过________的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 有五个球编号分别为1～5号，有五个盒子编号分别也为1～5号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为________，记X为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量X的数学期望E(X)＝________． 四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分) A口袋中有大小相同、编号不同的4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，B口袋中有大小相同、编号不同的3个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，现从A，B两个口袋中各摸出2个球． (1) 求摸出的4个球中有3个黄色乒乓球和1个白色乒乓球的概率； (2) 求摸出的4个球中黄色乒乓球个数ξ的数学期望． 18. (本小题满分12分) 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ① 第5项的系数与第3项的系数之比是14∶3；② 第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③ C－C＝10. 已知在(－)n的展开式中，________． (1) 求展开式中奇数项二项式系数之和； (2) 求展开式中二项式系数最大的项； (3) 求展开式中所有的有理项． 19.(本小题满分12分) 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听证会，决定实施低峰优惠票价制度，不超过22 km的地铁票价如下表． 乘坐里程x/km 0<x≤6 6<x≤12 12<x≤22 票价/元 3 4 5 现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22 km，已知甲、乙乘车不超过6 km的概率分别为，，甲、乙乘车超过6 km且不超过12 km的概率分别为，. (1) 求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率； (2) 设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 20. (本小题满分10分) 现有6名演员参加文艺晚会的表演，其中4人能唱歌，4人能跳舞． (1) 现要求6名演员逐个进行化妆，若演员甲不能排第一个，且演员乙不能排最后一个，则共有几种不同的排列方式？ (2) 现临时需要一个2人唱歌、2人伴舞的节目，则可以有多少种不同的选派方式？ (3) 演出结束后6人一起参加合影留念，且排成左右两组，每组3人．摄影师要求每组最高的演员站中间，其两侧的演员排列无特殊要求．若每位演员身高各不相同，问共有多少种不同排列方式？ 21.(本小题满分12分) 某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2019年投入沙漠治理经费2亿元，从2020年到2022年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x(亿元)和沙漠治理面积y(公顷)的相关数据如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 x 2 3 4 5 y 24 37 47 52 (1) 通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；(结果保留三位小数) (2) 求y关于x的回归方程； (3) 若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80公顷． 22. (本小题满分12分) 为了响应绿色出行，某市推出了新能源分时租赁汽车，并对该市市民使用新能源租赁汽车的态度进行调查，得到有关数据如下表1. 表1 愿意使用新能源租赁汽车 不愿意使用新能源租赁汽车 总计 男性 100 300 女性 400 总计 400 其中一款新能源分时租赁汽车的每次租车费用由行驶里程和用车时间两部分构成：行驶里程按1元/公里计费；用车时间不超过30分钟时，按0.15元/分钟计费；超过30分钟时，超出部分按0.20元/分钟计费．已知张先生从家到上班地点15公里，每天上班租用该款汽车一次，每次的用车时间均在20～60分钟之间，由于堵车红绿灯等因素，每次的用车时间t(单位：分钟)是一个随机变量．张先生记录了100次的上班用车时间，并统计出在不同时间段内的频数如下表． 表2 时间t(分钟) [20，30] (30，40] (40，50] (50，60] 频数 20 40 30 10 (1) 请补填表1中的空缺数据，并判断是否有99.5%的把握认为该市市民对新能源租赁汽车的使用态度与性别有关； (2) 根据表2中的数据，将各时间段发生的频率视为概率，以各时间段的区间中点值代表该时间段的取值，试估计张先生租用一次该款汽车上班的平均用车时间； (3) 若张先生使用滴滴打车上班，则需要车费27元，试问：张先生上班使用滴滴打车和租用该款汽车，哪一种更合算？ 参考公式和数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 江苏省苏州中学2023～2024学年第二学期期末考前演练试卷(二) 高二数学(人教)　参考答案 1. C　解析：独立性检验． 2. A　解析：由正相关可知C，D错误，由经验回归方程恒过均值点，代入检验，故选A. 3. C　解析： 5个字母全排列，其中两个字母相同，则为－1＝59. 4. B　解析：设红球为甲，2个黄球为a，b，黑球标号为1，2，3，则从6个不同的球中依次不放回地抽取2个球，第一个球是红球的基本事件为(甲，a)(甲，b)(甲，1)(甲，2)(甲，3)共5种取法，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的基本事件为(甲，a)(甲，b)共2种取法，即在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为，故选B. 5. A　解析：依题意，得＋1－2q＋q2＝1，解得q＝或q＝＞1(舍去)，所以q＝. 6. B　解析：概率之和为1，则0.x5＋0.1y＝0.4，将选项中x，y的值代入验算即可． 7. C　解析：S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝164. 8. D　解析：甲胜的比分可能是3∶0，3∶1，3∶2，概率分别为()3，C()2()()，C()2()2().所以所求条件概率为. 9. ACD　解析：月跑步里程最小值出现在2月，故A正确；由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐月递增，故B错误；月跑步里程中位数为5月份对应的里程数，故C正确；1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月，波动性更小，故D正确．故选ACD. 10. ABD　解析：同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次．记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，则P(A)＝＝，事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，则P(B)＝＝，C＝{两个四面体向下的一面同时出现奇数或者同时出现偶数}，则P(C)＝×＋×＝，∴ P(A)＝P(B)＝P(C)，故A正确；∵ A，B，C是相互独立事件，∴ P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝×＝，故B正确；∵ A，B，C不是两两互斥事件，∴ P(ABC)＝不正确，故C错误；∵ P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴ P(A)·P(B)·P(C)＝，故D正确．故选ABD. 11. AC　解析：由题意，正态分布曲线的对称轴为x＝100，σ＝10.∴ 该市学生数学成绩的数学期望为100，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为10，故B错误；P(90＜x＜110)＝0.682 6，P(80＜x＜120)＝0.954 4，∴ P(x≥90)＝0.5＋×0.682 6＝0.841 3，故C正确；P(x＜90)＝P(x＞110)＝[1－P(90＜x＜110)]＝0.158 7，P(x＜120)＝0.5＋×0.954 4＝0.977 2，则P(x≥120)＝1－0.977 2＝0.022 8.∴ 该市学生数学成绩不及格的人数远大于优秀的人数，故D错误．故选AC. 12. ACD　解析：由经验回归方程经过均值点，而x－＝4.5，则y－＝3.5，可求得t＝3. 13. 13　解析：当a＝0时，方程为2x＋b＝0，此时一定有解；此时b＝－1，0，1，2，即(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)共4种；当a≠0时，方程为一元二次方程，∴Δ＝4－4ab≥0，则ab≤1.当a＝－1，1，2时，此时a，b对应的有序数对为(－1，0)，(－1，2)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，共9种．则关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对的个数为13. 14. 20　解析：∵ 多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，∴a4＝C·C·22＋C·C·2＝12＋4＝16，a5＝C·C·22＝4.∴ a4＋a5＝20. 15. 0.005　解析：K2＝≈8.333＞7.879，∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 16. 45　1　解析：将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，恰有四个盒子的编号与球的编号不同，则有一个盒子的编号和球的编号相同，例如将5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为(2，1，4，3)，(2，3，4，1)，(2，4，1，3)，(3，1，4，2)，(3，4，1，2)，(3，4，2，1)，(4，1，2，3)，(4，3，1，2)，(4，3，2，1)共9种，故恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为5×9＝45(种)， 随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，5，5个球5个盒子任意放有A＝120(种)，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝5)＝，可得分布列： ξ 0 1 2 3 5 P ∴ E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1. 17. 解：(1) 总的基本事件数为C·C＝15×15＝225， 摸出的4个球中有3个黄色兵乓球和1个白色乒乓球分为两种情况： ① A中摸出1个黄色乒乓球和1个白色乒乓球，B中摸出2个黄色乒乓球：C·C·C＝24. ② A中摸出2个黄色乒乓球，B中摸出1个黄色乒乓球和1个白色乒乓球：C·C·C＝54. ∴ P＝＝.(5分) (2) 黄色乒乓球个数ξ可能取的值为0，1，2，3，4， P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， 即ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 4 P ∴ E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.(10分) 18. 解：无论选①②③，均可得n＝10. (1) 展开式中奇数项二项式系数之和为2n－1＝512；(4分) (2) 展开式中二项式系数最大的项为T6＝C(－1)5x＝－252x；(8分) (3) 通项Tr＋1＝C(－1)rx5－r，要求有理项，令5－r∈Z，其中0≤r≤10，r∈N，则当r＝0时，T1＝x5；当r＝6时，T7＝210.(12分) 19. 解：(1) 由题意可知，甲、乙乘车超过12 km且不超过22 km的概率分别为，， 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1＝×＋×＋×＝， 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝.(6分) (2) 由题意可知，ξ＝6，7，8，9，10. 且P(ξ＝6)＝×＝，P(ξ＝7)＝×＋×＝， P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝9)＝×＋×＝，P(ξ＝10)＝×＝， 所以ξ的分布列为 ξ 6 7 8 9 10 P 　　　　　　　　　　(12分) 20. 解：(1) A－2A＋A＝504(种).(4分) (2) 按2个唱歌的中“多面手”个数讨论：CC＋CCC＋CC＝19(种).(8分) (3) 左边先选3人，中间位置的人确定后两侧的人排列；右边的人确定了，中间位置人也确定，只要左右两边排列即可，CAA＝80(种).(12分) 21. 解：(1) 因为x＝＝3.5， y＝＝40， 所以(yi－)2＝(－16)2＋(－3)2＋72＋122＝458， (xi－)2＝(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＝5， (xi－)(yi－)＝(－1.5)×(－16)＋(－0.5)×(－3)＋0.5×7＋1.5×12＝47， 所以r＝＝≈0.983. 因为y与x的相关系数非常接近1，说明y与x的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．(6分) (2) 40－9.4×3.5＝7.1，所以y关于x的回归方程为＝9.4x＋7.1. (3) 当x＝7时，＝9.4×7＋7.1＝72.9<80， 当x＝8时，＝9.4×8＋7.1＝82.3>80， 所以到2025年沙漠治理面积可突破80公顷．(12分) 22. 解：(1) 补充完整的列联表如下所示， 愿意使用新能源租赁汽车 不愿意使用新能源租赁汽车 总计 男性 100 200 300 女性 300 400 700 总计 400 600 1 000 由列联表可得K2的观测值 k＝＝≈7.937， ∵ 7.937>7.879，∴ 有99.5%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．(4分) (2) 表2中的数据整理如下： 时间t(分钟) [20，30] (30，40] (40，50] (50，60] 频数 20 40 30 10 频率 0.2 0.4 0.3 0.1 ∴ 张先生租用一次该款新能源分时汽车上班的平均用车时间为t＝25×0.2＋35×0.4＋45×0.3＋55×0.1＝38(分钟).(8分) (3) 设张先生租用一次该款新能源汽车所需费用为y元，则 当20＜t≤30时，y＝0.15t＋15， 当30＜t≤60时，y＝0.15×30＋0.2×(t－30)＋15＝0.2t＋13.5， ∴ 张先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分钟)的函数关系式为y＝ ∴ 每次上班租车的费用约为0.2×38＋13.5＝21.1(元). ∵ 张先生每次使用滴滴打车上班需要27元， ∴ 张先生租用该款新能源汽车上班更加合算．(12分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$