2026-2027学年沪科版九年级数学上册期末素养练习卷

**基本信息** 涵盖函数、几何、应用题等核心模块，通过跳台滑雪、商场销售等真实情境考查抽象能力与模型意识，适配初中数学期末综合素养评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角函数性质、二次函数交点、相似判定|第2题结合图形放大考查余弦值不变性，体现几何直观| |填空题|4/20|黄金分割、网格三角函数、反比例函数应用|第13题压强与体积关系，强化数据意识| |解答题|8/90|位似变换、函数综合、几何推理|20题跳台滑雪建模求斜坡长度，21题销售利润二次函数最值，23题矩形综合证明，突出推理能力与模型意识|

第一学期期末素养练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40) 1．若＝，则的值为(　　) A. B. C. D. 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都放大2倍，则cos A的值(　　) A．缩小为原来的 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 3．二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k≤3且k≠0 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k<3 4．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是(　　) A．AB∥CD B.＝ C.＝ D．∠A＝∠D (第4题)　　　(第6题) 5．若点A(x1，2)，B(x2，－1)，C(x3，4)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3 6．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为(　　) A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2 7．如图，在△ABC中，∠C＝45°，tan B＝，AD⊥BC于点D，AC＝2.若E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为(　　) A. B．2 C．3 D．2 (第7题)　　(第9题) 8．已知二次函数y＝ax2＋bx－2(a≠0)的图象的顶点在第三象限，且过点(1，0)，设t＝a－b－2，则t的取值范围是(　　) A．－2＜t＜0 B．－3＜t＜0 C．－4＜t＜－2 D．－4＜t＜0 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝(x>0)的图象上，顶点C在函数y＝－(x<0)的图象上，若顶点B的横坐标为－，则顶点A的坐标为(　　) A. B. C. D. 10．如图，正方形ABCD的边长为2 cm，点O为正方形的中心，点P从点A出发沿A－O－D运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，连接BP，PQ，在运动的过程中始终保持PQ⊥BC.已知点P的运动速度为 cm/s，设点P的运动时间为t s，△BPQ 的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是(　　) (第10题)　　　(第12题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20) 11．已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM>MB，若AM＝1，则AB＝________． 12．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠BAC的值为________． 13．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由80 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了________mL. (第13题)　(第14题) 14．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，D为抛物线的顶点． (1)点D的坐标为________； (2)若点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，则点M的坐标为____________________________________． 三、(本大题共2小题，每小题8，共16) 15．计算：2cos 60°－tan 30°＋. 16．已知：如图，△ABD∽△ACE.求证： (1)∠DAE＝∠BAC； (2)△DAE∽△BAC. 四、(本大题共2小题，每小题8，共16) 17．如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(－1，0)．以点O为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为21，要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧． (1)画出△A1B1C1； (2)在△ABC中的任意一点P的坐标为 (a，－b)，经过位似变换后对应点P1的坐标为________． 18．如图是安装在斜屋面上的热水器侧面示意图．已知AE为斜屋面，长度为2 m的真空管AB与水平线AD的夹角为45°，安装热水器的铁架水平管BC长0.2 m，铁架CE垂直于水平线AD.求AD的长度(结果精确到0.1 m，≈1.41) 五、(本大题共2小题，每小题10，共20) 19．如图，已知A(－1，n)，B(4，－1)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合函数图象直接写出不等式kx＋b>的解集． 20．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，某运动员在跳台上完成动作示意图如图所示．赛道剖面图的一部分可抽象为线段AD，AB.滑雪运动员从点D出发，到点B落地．已知跳台的高度h为120 m，经测量，斜坡AD的长为57 m、坡角约为37°，斜坡AB与水平地面的夹角为40°.求斜坡AB的长度．(结果精确到整数．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84) 六、(本题共12) 21．某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)(x为正整数)之间满足一次函数的关系，如下表记录的是某三周的有关数据． x/(元/件) 40 55 70 y/件 1 100 950 800 (1)y关于x的函数表达式为______________；(不必写出自变量的取值范围) (2)若某周该产品的销售量不少于750件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 七、(本题共12) 22．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，3)和B两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D. (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若PE∥x轴交直线AB于点E，求PD＋PE的最大值． 八、(本题共14) 23．如图，在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF⊥AC，交AC于点E，交AB于点F. (1)若tan∠ACD＝. ①求证：AF＝BF； ②连接BE，求证：CD＝BE； (2)若AF2＝AB·BF，直接写出cos∠FDC的值． 答案 一、1.C　2.C　3.A　4.B　5.B　6.B　7.B　8.D 9．A　10.D 二、11.　12.　13.15 14．(1)(1，4)　(2)(1，－2)或 三、15.解：原式＝2×－×＋＝1－1＋＝. 16．证明：(1)∵△ABD∽△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC. (2)∵△ABD∽△ACE， ∴＝，∴＝. 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴△DAE∽△BAC. 四、17.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作． (2)(－2a，2b) 18．解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BFDC为矩形， ∴DF＝BC＝0.2 m. 在Rt△ABF中，AB＝2 m，∠BAF＝45°， ∴AF＝AB·cos∠BAF＝2×≈1.41(m)， ∴AD＝AF＋DF≈1.41＋0.2≈1.6(m)． 答：AD的长度约为1.6 m. 五、19.解：(1)∵反比例函数y＝的图象过点B(4，－1)， ∴m＝4×(－1)＝－4，即y＝－. 将x＝－1，y＝n代入y＝－，得n＝4， ∴点A的坐标为(－1，4)． 将点A，B的坐标分别代入y＝kx＋b， 得解得 ∴y＝－x＋3. (2)设直线AB与x轴交于点C，在直线y＝－x＋3中，当y＝0时，x＝3， ∴点C的坐标为(3，0)，即OC＝3， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△COB＝×3×4＋×3×1＝. (3)不等式kx＋b>的解集为x<－1或0<x<4. 20．解：如图，过点D作DE⊥BE，垂足为E，过点A作AC⊥DE，垂足为C，过点A作AF⊥BE，垂足为F. 由题意易得DE＝120 m，AF＝CE. 在Rt△ACD中，∠DAC＝37°，AD＝57 m， ∴DC＝AD×sin 37°≈57×0.6＝34.2(m)， ∴AF＝CE＝DE－DC≈120－34.2＝85.8(m)． 在Rt△AFB中，∠ABE＝40°， ∴AB＝≈≈134(m)． 答：斜坡AB的长度约为134 m. 六、21.解：(1)y＝－10x＋1 500 (2)∵销售量不少于750件， ∴－10x＋1 500≥750， 解得x≤75. 设这周该商场销售这种产品获得的利润为w元， 根据题意，得w＝y(x－30)＝(－10x＋1 500)(x－30)＝－10x2＋1 800x－45 000＝－10(x－90)2＋36 000， ∵－10<0，∴在对称轴直线x＝90的左侧，函数值w随自变量x的增大而增大， ∴当x＝75时，w有最大值，最大值为－10×(75－90)2＋36 000＝33 750. ∴这周该商场销售这种产品获得的最大利润为33 750元． 七、22.解：(1)将A(0，3)和B的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴该抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋n(k≠0)， 将A(0，3)和B的坐标分别代入， 得解得 ∴直线AB对应的函数表达式为y＝－x＋3. 对于y＝－x＋3，由y＝0，得x＝2，即点C(2，0)． ∵PD⊥x轴，PE∥x轴，x轴⊥y轴， ∴∠AOC＝∠EPD＝90°，PD∥y轴， ∴∠OAC＝∠PDE， ∴△DPE∽△AOC， ∴＝＝，即PE＝PD. 设P(a，－a2＋2a＋3)， 则点D的坐标为， ∴PD＝(－a2＋2a＋3)－＝－a2＋a， ∴PD＋PE＝PD＝×＝－＋. ∵－<0，∴当a＝时，PD＋PE的值最大，最大值为. 八、23.(1)证明：①∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝CD， ∴∠ADE＋∠EDC＝90°. ∵AC⊥DF，∴∠DEC＝90°，∴∠ACD＋∠EDC＝90°， ∴∠ACD＝∠ADE. ∴tan∠ADE＝tan∠ACD＝. 在Rt△ADC中，tan∠ACD＝＝， 在Rt△ADF中，tan∠ADE＝＝，∴＝. ∵AB＝CD，∴＝， ∴AF＝AB，即AF＝BF. ②如图，延长CB，DF交于点G. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠G＝∠ADF. 在△BFG和△AFD中， ∴△BFG≌△AFD. ∴BG＝AD＝BC. ∵DF⊥AC，∴∠GEC＝90°， ∴BE＝CG＝BC. 由(1)知＝，∴＝， ∴＝.∴CD＝BE. (2)解：cos∠FDC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $