4.1 整式（第2课时 多项式）（教学课件）- 2026--2027学年人教版七年级数学上册

这是一份初中数学开学课件，聚焦人教版七年级上册第4章整式的加减中多项式内容，包含复习旧知、新知探究、针对训练等模块。以单项式复习为基础，通过长方形周长等问题引入多项式概念，结合典例分析和分层巩固，帮助学生理解多项式的项、次数及整式应用。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，通过“棋盘麦粒”“猜心术”等趣味拓展激发数学眼光，以共享单车投放、印章表面积等实例培养数学思维与模型意识。分层训练和总结归纳助力学生掌握知识，为教师提供结构清晰的教学资源，帮助七年级学生适应代数学习，打好整式基础。

人教版 七年级上册 4.1整式 第4章整式的加减 第2课时多项式 1.7.2013 ‹#› 学习目标 1.理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念，掌握整式的基本构成要素。 2.会用多项式表示简单的数量关系，能根据多项式中字母的具体取值，准确求出多项式的值。 3.会用整式解决简单的实际问题，在应用中体会用整式表示数量关系所具有的简洁性和一般性特点。 1.7.2013 在开始今天的探险之前，我们先明确一下今天的目标。通过本节课的学习，我们要理解什么是多项式，以及它的项和次数。更重要的是，我们要学会用它来解决生活中的实际问题，感受数学的魅力。希望大家都能积极思考，踊跃发言，达成我们的学习目标！ ‹#› 目录 复习旧知 新知探究 针对训练 总结归纳 典例分析 当堂巩固 能力提升 布置作业 课堂小结 1.7.2013 这是我们今天的学习路线图。我们将从复习旧知识开始，然后一起探索新知识，通过针对性的训练和例题分析来巩固，最后进行总结和练习。相信跟着这个节奏，大家一定能轻松掌握今天的内容。 ‹#› 复习旧知 系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，例如 3x 的系数是 3。 定义：由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式（如 5、a）。 什么是单项式？它的“身份证”信息有哪些？ 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。注意：单独一个非零数的次数是 0（如 5 的次数是 0）。 1.7.2013 同学们，大家还记得上节课我们认识的一位数学新朋友吗？它叫‘单项式’！大家可以把它想象成一个‘独行侠’，它非常独立，可以是一个单独的数字，比如 5；也可以是一个单独的字母，比如 a；还可以是数字和字母的乘积，比如 3x。它有两个重要的‘身份证信息’：系数和次数。 ‹#› 复习旧知 单项式的注意点 1.单独一个数或一个字母也叫单项式！ 例如：-3、0、m等都是单项式。 2.单独一个非零数的次数是0。 示例：-3的次数为0。 注意：0的次数无意义。 3.单项式的系数包含符号，当系数为1或-1时， 这个“1”通常省略不写（如a代表1a，-x代表-1x）。 思考：-3ab²的系数是多少？次数是多少？ 1.7.2013 关于单项式，我们还要记住几个关键点。第一，单独的一个数或字母也是单项式。第二，单独一个非零数的次数是0。第三，系数要带上符号，而且1和-1通常会省略。现在，请大家快速思考一下，-3ab²的系数和次数分别是多少呢？没错，系数是-3，次数是3！ ‹#› 复习旧知 填空：快速抢答，检验单项式知识掌握情况 1.单项式-5y的系数是，次数是. 2.单项式a³b的系数是，次数是. 3.单项式πr²的系数是，次数是. 4.5x²yz与-15xzyⁿ是同次单项式，则n=. -5 1 1 4 π 2 2 1.7.2013 ‹#› 新知探究 问题：一根20cm长的铁丝围成长方形，若长为x cm，宽是多少？ 根据周长公式：周长 = (长 + 宽) × 2 ，得长 + 宽 = 10。 因此，宽的表达式为：10 - x 思考：“10 - x” 是我们学过的单项式吗？它由几部分组成？ 结论：10 - x 是单项式 10 和 -x 的和 多 项 式 概念 单项式 10 单项式 -x + 拆解： 1.7.2013 现在，我们来解决一个生活中的小问题。看，老师手里有一根神奇的铁丝，它的总长度是20厘米。我想用它围成一个漂亮的长方形。如果长是 x 厘米，那宽应该是多少呢？通过周长公式我们可以算出，宽是 10 - x。同学们请看，我们得到的这个结果 10 - x，它还是我们熟悉的‘独行侠’单项式吗？显然不是，它是由两个单项式组成的。 ‹#› 多项式核心概念： x² + 2x - 18 项 组成多项式的每个单项式叫项（带符号）；不含字母的项是常数项。 示例中项为x²、+2x、-18；常数项是-18。 多项式的次数 多项式中次数最高项的次数，就是该多项式的次数。 示例里x²次数为2，是最高次，故多项式次数为2。 新知探究 1.7.2013 像 10 - x 这样，由几个单项式的和组成的代数式，我们就给它一个新名字，叫做多项式。大家可以把它想象成一个由好几个‘独行侠’组成的‘团队’！这个团队里的每个成员，我们称之为“项”，特别要注意，每一项都要带着它前面的符号。不含字母的项叫常数项。而整个多项式的次数，就由次数最高的那一项来决定。 ‹#› 给多项式起“全名”：几次几项式 “几次”指多项式的次数，即多项式中次数最高的项的次数；“几项”指多项式所含单项式的个数。掌握这个规则，就能准确说出任意多项式的完整名称。 典型示例解析： 10 - x是一次二项式；x² + 2x - 18是二次三项式；a³ - 3a²b + 3ab² - b³是三次四项式。 知识大融合：我们所学的单项式与多项式，它们有一个共同的统称——整式，整式是代数运算中最基础的有理式形式。 新知探究 1.7.2013 我们知道了多项式的次数和项数，就可以给它起一个完整的名字了，规则很简单：几次几项式。先说次数，再说项数。比如 10 - x，就是一次二项式。而我们之前学的单项式和今天学的多项式，它们有一个共同的名字，叫做“整式”。 ‹#› 趣味拓展：棋盘上的麦粒 【数学故事会】国际象棋发明者向国王求赏，要求在棋盘64格中依次放麦粒，看似简单的请求暗藏玄机。 麦粒倍增规律：第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒…每一格都是前一格数量的2倍，呈指数级增长。 数学表达式：总和为 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁶³，这是一个巨大的等比数列求和问题。 惊人的总数：最终麦粒约为1844亿亿粒！这个数量足以铺满地球表面，够全世界的人吃几千年，让国王惊叹不已。 1.7.2013 数学是不是很神奇？给大家讲一个故事。国际象棋的发明者向国王要赏赐，他只要在棋盘的64个格子里，依次放上1、2、4、8...粒麦子。国王觉得很简单，就答应了。可他后来才发现，这是一个巨大无比的数字！这个数字就是一个多项式，它的威力超乎想象！ ‹#› 趣味拓展 数学小魔术：神奇的猜心术 魔术步骤：心里想一个数(x) → 乘以2 → 加上6 → 除以2 → 减去原数(x)。 01. 神秘指令：按步骤计算，结果竟然是固定数？ 03. 原理揭秘：多项式化简的魅力 计算过程：(2x + 6)÷2 - x = x + 3 - x = 3。无论x取何值，结果恒为3，这就是代数运算的神奇之处！ 02. 见证奇迹：最终结果永远是3！ 互动尝试：任意选数代入，结果是否一致？ 核心逻辑：加减抵消，只剩常数项。 思考：如果把“加6”改成“加8”，结果会变成几呢？ 1.7.2013 接下来，老师要给大家表演一个数学魔术。请一位同学配合我，心里想一个数，然后按我的指令计算：乘以2，加上6，除以2，最后减去你想的数。告诉我你的结果是多少？是不是3？想知道为什么吗？其实魔术背后都是数学原理，我们用多项式一化简，就真相大白了！ ‹#› 针对训练：火眼金睛 1.判断下列各式哪些是多项式？ (1) a， (2) -x²y， (3) 2x-1， (4) x²+xy+y². 解：多项式有(3) 2x-1和(4) x²+xy+y²。 分析：(1) a 和 (2) -x²y 都是由数或字母的积组成的代数式，属于单项式。 核心提示：单项式和多项式统称整式 1.7.2013 好了，学了这么多，我们来练练手。第一题，判断一下哪些是多项式。大家仔细看，a 和 -x²y 都是单项式，而 2x-1 和 x²+xy+y² 是由多个单项式组成的，所以它们是多项式。记住，单项式和多项式合在一起，我们都叫它们整式。 ‹#› 2.多项式x2+y－z是单项式，，的和， 它是 次 项式. 3.多项式3m3﹣2m﹣5+m2的常数项是 ，二次 项是 ，一次项的系数是 . x2 y ﹣z 二 三 ﹣5 m2 ﹣2 4.一个多项式的次数是3，则这个多项式的各项次数（ ） A．都等于3 B.都小于3 C.都不小于3 D.都不大于3 D 针对训练：小试牛刀 1.7.2013 ‹#› 总结归纳 1.多项式的各项应包括它前面的符号。 2.多项式没有整体的系数概念，但其每一项均有系数，且每一项的系数也包含其前面的符号。 3.要确定一个多项式的次数，需先确定此多项式中各项（单项式）的次数，再从中找出次数最高的项的次数作为该多项式的次数。 4.一个多项式的最高次项可以不唯一，多个项的次数并列最高时，它们都是最高次项。 1.7.2013 我们来总结一下刚才练习中的关键点。第一，永远记住，项要带符号。第二，多项式没有整体的系数，但每一项都有。第三，找多项式的次数，就是找“最高项”的次数。第四，最高次项可能不止一个，比如 x²y + xy²，两项都是三次，所以它是三次二项式。 ‹#› 典例分析 例1：用多项式填空，并指出它们的项和次数. （1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为 2a＋2b （2）m为一个有理数，m的立方与2的差为 解：（1）2a+2b，它的项分别为2a，2b，次数是1。 （2）m3－2，它的项分别为m³，-2，次数是3。 m3－2 1.7.2013 接下来我们看几个典型的例子。例1的第一问，长方形周长，我们都知道公式是(长+宽)×2，也就是2(a+b)，展开后是2a+2b。这是一个一次二项式。第二问，m的立方就是m³，与2的差就是m³-2。这是一个三次二项式。 ‹#› 例1：用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，从第三年起不再投放，且每个月回收6辆。第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为多少？请列出多项式并分析其项与次数。 解：根据题意，前两年投放总量为2a辆，第三年回收总量为12×6=72辆，因此年底剩余车辆数为多项式2a - 72。该多项式的项分别为2a和-72，其中最高次项的次数为1，故该多项式的次数是1。 答案：2a - 72 典例分析 1.7.2013 我们继续看例1的第三问。这是一个生活应用题。前两年每年投放a辆，总共就是2a辆。第三年每个月回收6辆，一年12个月，总共回收12×6=72辆。所以年底剩下的车辆数就是 2a - 72。这是一个一次二项式。 ‹#› 例1：用多项式填空，并指出它们的项和次数。 （4）现存于陕西历史博物馆的独孤信印章，由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成。如果边长都为a，三角形的高为b，那么这个印章的表面积为： 18a2＋ 4ab 解析：该多项式的项分别为18a²和4ab；其中18a²的次数是2，4ab的次数也是2，因此这个多项式的次数为2，是二次二项式。 典例分析 1.7.2013 最后看例1的第四问，一个非常有趣的文物——独孤信的印章。它的表面积就是18个正方形的面积加上8个三角形的面积。正方形面积是a²，三角形面积是(1/2)ab。所以总面积就是 18a² + 8×(1/2)ab，化简后是 18a² + 4ab。这是一个二次二项式。 ‹#› 当堂巩固 多项式的项：a⁵, -a²b, ab, -b³ 1.指出下列多项式的项和次数 a⁵ - a²b + ab - b³ 解： 各单项式的次数依次为：5, 3, 2, 3 多项式的次数：5（五次四项式） 核心提示一：多项式的每一项都包含它前面的符号，注意识别正负项，切勿遗漏符号判断。 核心提示二：单项式次数是所有字母指数和；多项式次数取各项中次数最高的项的次数，而非各项次数相加。 1.7.2013 ‹#› 解： 2.式子3xa+1+4x-2b是四次二项式，试求a，b的值。 因为式子的次数是四次，所以最高次项次数为4，即 a+1=4，解得 a=3。 又因为式子是二项式，原式有3x^(a+1)、4x、-2b三项，需消去一项。 由于3x^(a+1)与4x次数不同无法合并，故只能让常数项-2b=0，即 b=0。 综上，a的值为3，b的值为0。 当堂巩固 1.7.2013 第二题有点难度哦！一个式子是四次二项式，求a和b的值。我们来分析一下，“四次”说明最高次项的次数是4，所以 a+1=4，a=3。“二项式”说明这个式子只能有两项，但现在看起来有三项。要让它变成两项，唯一的办法就是让常数项 -2b 消失，也就是等于0，所以 b=0。大家明白了吗？ ‹#› 3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？ 判断标准：数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 -a2b，x，32t3 单项式 式1 式2 式3 - - 系数 -1 1 32 - - 次数 3 1 3 - - 当堂巩固 1.7.2013 ‹#› 多项式 实例一 实例二 实例三 所含项 x², y², -1 3x², -y, 3xy³, x⁴, -1 2x, -y 多项式次数 2（二次三项式） 4（四次五项式） 1（一次二项式） 3.下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？请分别分析多项式的项与次数。 整式列表：-a²b， 5， x²+y²-1， 3x²-y+3xy³+x⁴-1， 2x-y， 7t 分析思路：单项式是数或字母的积组成的代数式；多项式是几个单项式的和，多项式的次数为其中次数最高的项的次数。 当堂巩固 1.7.2013 剩下的就是多项式了。我们来看 x²+y²-1，它的项是 x², y², -1，次数是2。再看 3x²-y+3xy³+x⁴-1，它的项有五项，最高次项是 x⁴，所以次数是4。最后 2x-y，是一次二项式。 ‹#› 能力提升 该多项式是几次几项式？其中最高次项是哪几项？ 对应的最高次项系数分别是多少？ -1/3 x²y + 2πxy² - 3x + 5 1.多项式 解：各项次数依次为3、3、1、0，故为三次四项式。 最高次项：-1/3 x²y 与 2πxy²；最高次项系数分别为：-1/3 和 2π。 1.7.2013 接下来是能力提升环节，挑战一下更难的题目！第一题，这个多项式有点复杂，我们一项一项来分析它的次数。-1/3 x²y 的次数是3，2πxy² 的次数也是3，-3x是1次，5是0次。所以它是一个三次四项式。注意，最高次项可以有多个哦！ ‹#› （1）一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？ （2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张。 解：（1）应付门票费为：(10x + 5y)元。 （2）将x=37，y=15代入代数式： 10×37 + 5×15 = 370 + 75 = 445 答：他们应付门票费445元。 能力提升 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 整式 单项式 多项式 系数 次数 项 次数 单项式中的数字因数，作为单项式的系数，需注意符号与数字部分。 单项式中所有字母的指数的和，就是这个单项式的次数，单独数字次数为0。 多项式中的每个单项式（连同前面的符号）叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项。 多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数，据此可命名几次几项式。 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下今天学了什么。我们认识了整式这个大家族，它包括单项式和多项式。我们重点学习了多项式的项、次数等概念。希望通过这张思维导图，大家能清晰地记住今天的知识脉络。 ‹#› 布置作业 01. 基础巩固练习 请完成教材 P94 页 习题4.1 中的第 3、4 题，以及第 7、9 题。请同学们在练习本上规范书写解题步骤，注意同类项的合并规则。 02. 拓展思考题 尝试运用今天学到的整式加减知识，化简式子(2x + 3) + (5x - 1)，思考合并同类项的关键步骤是什么？下节课我们一起来交流分享。 1.7.2013 课后请大家完成教材上的练习题，巩固今天所学。另外，给大家留一个思考题，尝试化简这个式子，我们下节课揭晓答案。今天的课就到这里，同学们辛苦了！ ‹#› 课程回顾与总结 谢谢观看 一套在手，备课无忧！ 1.7.2013 感谢同学们的积极参与和认真听讲！希望大家课后多加练习，真正掌握今天的知识。下课！ ‹#› $