4.1 整式（第1课时 单项式） 课件 2026--2027学年人教版七年级数学上册

这是一份初中数学七年级上册的开学课件，聚焦第4章整式的加减第1课时单项式，包含学习目标、复习旧知、概念探究、针对训练、中考链接等模块，以问题支架引导学生理解单项式定义、系数及次数。 资料以港珠澳大桥行程问题为情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过观察式子归纳单项式定义锻炼数学思维，结合实际问题用代数式表达提升数学语言能力，分层训练与中考题结合，助力学生巩固基础，也为教师提供系统教学支持。七年级学生正处于从具体到抽象的思维过渡阶段，本资料通过生活化实例与阶梯式训练，帮助学生适应初中代数学习，培养抽象能力与应用意识。

人教版 七年级上册 4.1整式 第4章整式的加减 第1课时单项式 1.7.2013 ‹#› 学习目标 01.理解核心概念：明确单项式的定义，厘清“系数”作为单项式的数字因数、“次数”作为所有字母指数和的内涵。 02.实现学以致用：能够运用单项式表示生活中的简单数量关系，如商品总价、行程路程等实际问题的数学表达。 03.提升思维能力：在探究过程中锻炼观察、分析与归纳规律的能力，感悟数学抽象与逻辑推理的独特美感。 1.7.2013 在开始学习新知识之前，我们先来明确一下今天的“闯关目标”。首先，我们要认识三个新朋友：单项式、系数和次数，搞清楚它们到底是什么。其次，我们要学会用这些新朋友来解决一些实际问题，把数学和我们的生活联系起来。最后，通过这节课的学习，希望大家能变得更会观察、更会思考，成为一个小小的数学家！大家有信心吗？ ‹#› 目录 复习旧知 本章引入 新知引入 概念探究 针对训练 典例分析 归纳总结 布置作业 课堂小结 感受中考 当堂巩固 能力提升 1.7.2013 这是我们今天的学习路线图。我们会先复习一下以前学过的知识，然后通过一个有趣的例子引入今天的主题。接着，我们会深入探究单项式的概念，通过一系列的练习来巩固。最后，我们还会挑战一些更难的题目，看看中考题是什么样的。大家跟着这个路线图，一步一步来，相信都能掌握今天的知识。 ‹#› 复习旧知 1.用字母表示数有什么意义？ 用字母表示数，就像给数字一个代号，能让我们更方便地参与运算，还能把复杂的数量关系变得简单明了，清晰表达事物的一般规律。 2.a²、0.9p 和 (1/2)ah这三个式子中，都包含什么运算？ 式子中分别是a与a相乘、0.9与p相乘、(1/2)与a和h相乘，它们的共同特点是都包含了乘法运算，这是代数式中最基础的运算形式之一。 1.7.2013 在正式学习新知识之前，我们先来快速回顾一下。大家还记得为什么要用字母来表示数吗？对啦，就是为了方便！它能帮我们把规律总结出来。再看看这几个式子，它们有什么共同点？没错，它们都是乘法运算。这些简单的知识，将是我们今天学习新知识的重要基础。 ‹#› 本章引入 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，宏伟壮观！现在我们化身为小小工程师，来探究桥上行驶的数学问题。一辆汽车在大桥上行驶的不同路段有不同平均速度：从香港口岸到东人工岛为96 km/h，海底隧道内为72 km/h，主桥上为92 km/h。请根据这些速度信息回答下列问题： （1）汽车在主桥上行驶t h的路程是多少千米？ （2）若汽车通过海底隧道需要a h，从香港口岸到东人工岛的时间是海底隧道时间的1.25倍，试用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长。 （3）若汽车通过主桥需要b h，通过海底隧道的时间比主桥少0.15 h，试用含b的代数式表示主桥与海底隧道长度的和。 1.7.2013 同学们，看到这张图了吗？这就是雄伟的港珠澳大桥！现在，我们来解决一个和它有关的数学问题。假设一辆汽车在桥上以不同的速度行驶，大家能根据时间和速度，列出表示路程的式子吗？试着动笔算一算，看看你能列出什么样的数学式子。这个问题的解决，将直接引出我们今天要学习的核心内容。 ‹#› 新知引入 要解决刚才那个关于港珠澳大桥的路程问题，我们需要掌握一种新的数学工具——代数式。 在这一章的学习中，我们将聚焦于一类最基础、最重要的代数式——整式，并深入探究如何对它们进行加减运算，理解数与式运算的内在逻辑与一致性。 掌握整式的加减，不仅能帮助我们解决生活中的实际问题，更是搭建方程、不等式、函数等高阶数学知识的基石，为未来的数学学习筑牢根基。 1.7.2013 刚才大家列出的那些式子，其实就是代数式。而我们今天要重点研究的，是其中一种特别重要的类型——整式。学好整式的加减，就像是拿到了一把万能钥匙，能打开很多数学难题的大门。它不仅实用，还是我们未来学习更高级数学知识的必经之路。 ‹#› 新知引入：回到大桥问题——从实际行程探索整式的表达。我们结合港珠澳大桥的真实工程背景，通过具体的行程计算，来学习用整式表示数量关系。 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥，它展现了中国工程的实力。一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h。 请根据这些实际数据思考并回答第一个问题：（1）汽车在主桥上行驶t h的路程是多少千米？你能根据路程、速度与时间的关系，写出对应的代数式吗？ 新知引入 1.7.2013 好，让我们回到刚才那个有趣的大桥问题。我们先来看第一个小问题：汽车在主桥上以92 km/h的速度行驶了t小时，它走了多远呢？大家还记得路程、速度和时间的关系吗？没错，路程等于速度乘以时间。那么，请大家写出这个路程的表达式。 ‹#› 解：汽车在主桥上行驶的平均速度为92 km/h。 根据路程、速度、时间的核心关系：路程 = 速度 × 时间 因此，汽车在主桥上行驶th的路程（单位：km）可计算为：92 × t = 92t 注：在代数式书写规范中，数字与字母相乘时，乘号通常省略，且数字需写在字母前方。 新知引入 1.7.2013 非常好！根据“路程等于速度乘以时间”这个公式，我们可以轻松地写出路程是 92 乘以 t。在数学里，数字和字母相乘时，乘号可以省略，并且把数字写在前面。所以，92 × t 就可以写成 92t。这个简洁的式子 92t，就是我们今天要认识的第一个“单项式”。 ‹#› 概念探究 92t 0.9p a2 数 字母 1与字母相乘 你发现这些式子有什么共同特点？ 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫做单项式。 特别注意：单独的一个数或一个字母也是单项式 相乘 例子：－6，x等均是单项式 相乘 数 字母 观察式子：92t，a²，0.9p，(1/2)ah，它们有什么共同特点？ 数 字母 相乘 1.7.2013 大家看，我们刚才得到的92t，和之前复习的a²、0.9p这些式子，它们长得不一样，但仔细观察，它们的构成方式是相同的。它们都是由数字和字母通过乘法组合而成的。我们把这种“数字和字母的乘积”形式的式子，形象地称为“单项式”。大家可以把它想象成一个数学“积木块”。另外，单独的一个数，比如5，或者单独的一个字母，比如y，也都是单项式。 ‹#› 我们把单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，可以把它看作“积木小队”的队长。 观察这些典型单项式：92t、a²、0.9p、-x，它们的“队长”（系数）分别是多少呢？ 92、1(a²=1·a²)、0.9、-1(注意：负号是系数的一部分！) 规则一：数与字母相乘时，通常把数写在字母的前面，如92t，不写成t92。 规则二：系数是1或-1时，“1”通常省略不写，如a³(即1a³)、-x(即-1x)。 概念探究 1.7.2013 每个单项式都有一个“队长”，这个队长就是它的系数。系数就是单项式里的数字部分。比如在92t里，队长就是92。在a²里，虽然我们看不见数字，但其实是1在带队，所以系数是1。特别要注意，像 -x 这样的式子，系数是-1，负号是队长身份的一部分！当系数是1或者-1时，我们通常会把“1”省略掉，让式子更简洁。 ‹#› 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 举例： (1)单项式 4x²yz 是____次单项式； (2) 单项式 -ax⁸ 是____次单项式。 四 九 次数就像“积木小队”里所有队员（字母）的指数加起来的总人数。 在单项式 92t 中，字母t的指数是1，总人数是1，次数为1，是一次单项式；在 (1/2)ah 中，a与h指数和为2，是二次单项式。 在单项式 a²b³ 中，字母a指数是2，字母b指数是3，指数和为 2+3=5，因此它的次数是5，是五次单项式。注意：单独一个非零的数，规定它的次数为0。 次数探究 1.7.2013 认识了队长“系数”，我们再来看看小队里的“队员”。次数就是指所有字母右上角的数字（也就是指数）加起来的总和。比如在92t里，只有一个队员t，它的指数是1，所以次数就是1。在a²b³里，有两个队员a和b，它们的指数分别是2和3，加起来是5，所以次数就是5。我们来做个小练习，看看这两个单项式的次数分别是多少？ ‹#› 注意 1.数与字母相乘时，书写规范要求数字要写在字母的前面。 2.单独一个数或一个字母也属于单项式的范畴。 例如-3, 0, m这些单独的数或字母，都是单项式的典型例子。 3.单独一个非零的常数，数学上规定它的次数为0。 比如常数-3没有字母因子，因此它的次数就是0。 4.单项式的系数包含符号，当系数为1或-1时，这个“1”通常省略不写。 1.7.2013 这里有几个关于单项式的重要注意事项，大家一定要记牢。第一，书写时数字在前，字母在后。第二，单独的数字或字母也是单项式。第三，单独一个非零的数字，比如5，它的次数是0，因为它没有字母队员。第四，系数要包括前面的正负号。这些细节非常重要，能帮助我们避免很多错误。 ‹#› 方法总结 如何判断一个式子是不是单项式？ 01.基本形式为乘积关系，式子中不能出现加号或减号。 02.特殊情况：单独的一个数或者一个字母，也属于单项式范畴。 03.构成元素灵活：可由单个数与多个字母组成，也可多个数与单个字母组成。 04.关键禁区：分母中绝对不能含有字母，例如 1/x 就不是单项式。 1.7.2013 学会了概念，我们来总结一下如何快速判断一个式子是不是单项式。记住这几点：第一，看它是不是只有乘法，没有加减。第二，单独的数字或字母当然是。第三，数字和字母的数量不限。最重要的一点，第四，分母里绝对不能有字母！只要记住这几点，你就能练就一双“火眼金睛”，准确判断任何式子。 ‹#› 针对训练 判断下列代数式书写或相关说法是否正确，若错误请说明正确写法： ① 1x（×） 正确书写：数字1与字母相乘时，1应省略，写成x ② -1x（×） 正确书写：-1与字母相乘时，1省略，保留负号，写成-x ③ a×3（×） 正确书写：数字应写在字母前面，乘号省略，写成3a ④ a÷2（×） 正确书写：除法运算应写成分数形式，写成a/2 ⑤ 5a·b（√） 示例：数字在前，字母在后，乘号用点或省略，书写规范。 ⑥ m的系数为1，次数为0（×） 错误解析：m的系数是1正确，但次数是所有字母的指数和，m的指数为1，故次数为1 ⑦ 2r²的系数是2，次数是2（√） 解析：数字因数2是系数，字母r的指数是2，故次数为2，表述正确。 1.7.2013 好了，理论学习结束，现在是实战演练时间！大家看看这几个式子的书写或者说法，哪些是对的，哪些是错的？为什么错了？请大家仔细思考，运用我们刚刚学到的规则来判断。这能帮助我们规范自己的书写，避免在考试中因为格式问题丢分。 ‹#› 针对训练 2：下列各式中哪些是单项式？ 01. 5ab 数与字母的积，符合单项式定义，是单项式。 02. x + y 含有加法运算，是多项式，不是单项式。 03. -7 单独的一个数，符合单项式定义，是单项式。 04. s / t 分母中含有字母，是分式，不是整式，故非单项式。 05. πr² π是常数，是数与字母的积，属于单项式。 06. (a+b)/2 可变形为a/2 + b/2，含有加法，是多项式。 针对训练 1.7.2013 第二关挑战来了！这里有几个式子，请大家判断一下，哪些是我们的朋友——单项式，哪些不是？对于那些不是的，你能说出理由吗？是因为有加减号，还是因为分母里有字母？通过这个练习，加深大家对单项式定义的理解。 ‹#› 针对训练 3 题目：若-3xa+1y是一个五次单项式，你能说出指数 a 的值是多少吗？ 01. 明确单项式次数定义 单项式的次数是指单项式中所有字母的指数之和。在 -3x^(a+1)y 中，x 的指数是 (a+1)，y 的指数是 1。 02. 建立方程求解 根据五次单项式的条件，所有字母指数和为5，因此列出方程：(a+1) + 1 = 5。化简得 a+2=5，解这个一元一次方程即可得到结果。 解：由单项式次数定义可得：a + 1 + 1 = 5，整理得 a + 2 = 5，解得a = 3。 1.7.2013 这道题稍微有点难度，需要我们倒推。题目告诉我们这个单项式是五次的，这意味着所有字母的指数加起来等于5。我们知道y的指数是1，x的指数是a+1，把它们加起来等于5，就能列出一个关于a的方程，解这个方程就能得到a的值。大家动手算一算，看看a到底是多少？ ‹#› 当堂巩固 判断下列各式是不是单项式？并说明理由： 01 xy² 判断：是单项式 理由：由数与字母的乘积组成的代数式，符合单项式的定义。 02 at / 5 判断：是单项式 理由：可转化为(1/5)·at，是数与字母的积的形式，单独的数或字母也是单项式的组成部分。 03 4 / π→是单项式 π是圆周率，属于常数，因此4/π是一个常数项，单独的一个数也是单项式。 04 -1→是单项式 根据单项式定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，-1是常数项。 05 -x / 5→是单项式 可变形为(-1/5)x，是数与字母的积的形式，系数为-1/5，符合单项式定义。 1.7.2013 现在我们来进行当堂巩固，检验一下大家的学习成果。这几个式子，哪些是单项式？请大家不仅要给出判断，还要能说出你的理由。特别是像 at/5 和 4/π 这样的式子，它们看起来像是除法，但其实可以转化为乘法形式，所以它们也是单项式。大家要仔细分辨哦！ ‹#› 判断下列说法是否正确： ① -7xy² 的系数是7； ② -x²y³与x³没有系数； ③ -ab³c² 的次数是0+3+2； ④ -a³ 的系数是-1； ⑤ -3²x²y³ 的次数是7； ⑥ πr²h 的系数是1。 × × × √ × × 系数包含符号，正确系数是 -7，符号不可忽略。 系数分别是 -1 和 1，省略1时系数仍存在。 a的指数为1，次数应为 1+3+2=6，切勿漏加1。 正确，单独字母的系数为1或-1。 次数是字母指数和：2+3=5，-3²是系数。 π是常数，故该单项式系数为π而非1。 当堂巩固 2 1.7.2013 第二道巩固题，考验大家对系数和次数的理解是不是足够深刻。这里有几个常见的易错点，比如系数的符号、字母的指数“1”被省略、常数π是系数的一部分等等。请大家仔细审题，找出这些说法中的错误。这能帮助我们扫清知识上的盲区。 ‹#› 3.若ax2yb-1是关于x，y的单项式，系数为6，次数是3，则a=，b=。 6 2 4.已知(a-2)x²y^(b+1)是x，y的五次单项式，求a的值。 答案：a ≠ 2（解析：次数2+(b+1)=5，得b=2；系数a-2≠0，故a≠2） 当堂巩固 1.7.2013 最后两道巩固题，难度又升级了！第3题需要我们根据系数和次数的定义，建立方程来求解字母a和b的值。第4题是一个陷阱题，它不仅考察次数，还考察了系数不能为0这个隐藏条件。大家一定要仔细分析，不要掉进陷阱里哦！ ‹#› 能力提升 观察一列单项式：x，3x2，5x2，7x，… 以此类推，请问这列单项式中的第2024个单项式是什么？ 答案：4047x2 1. 分析系数规律：系数依次为1, 3, 5, 7, 9… 是连续的奇数，通项公式为2n - 1。代入n=2024，可得系数为 2×2024 - 1 = 4047。 2. 分析字母指数规律：观察指数变化：1, 2, 2, 1, 2, 2… 呈现“1、2、2”的周期性循环，循环节长度为3。 3. 确定循环位置：计算 2024 ÷ 3 = 674 余 2。余数为2，说明第2024项对应循环节中第2个位置，即指数为2。 4. 综合结论：结合系数4047与指数2，最终得到第2024个单项式为 4047x²。 1.7.2013 学有余力的同学，来挑战一下这道能力提升题！这是一道找规律的题目，需要我们分别观察系数和字母部分的变化规律。系数部分是一个等差数列，而字母的指数部分则呈现出周期性的循环。把这两个规律找出来，我们就能确定第2024个单项式是什么了。大家动动脑筋，看看谁能最快找到答案！ ‹#› 感受中考 1.（3分）（2024•长春）单项式 -2a²b 的次数是多少？ 【考点】本题考查单项式的次数的定义，明确单项式次数是指单项式中所有字母的指数和是解题基础。 【分析】根据单项式次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，直接分析计算即可得出答案。 【解答】解：在单项式 -2a²b 中，字母a的指数是2，字母b的指数是1，因此该单项式的次数为 2 + 1 =3。故答案为：3。 【点评】这是基础题型，核心在于准确掌握单项式次数的确定方法，注意区分单项式的次数与系数的概念，系数是单项式中的数字因数，而次数只与字母的指数有关。 1.7.2013 我们来看看真正的中考题是什么样的。这道题来自2024年长春的中考卷，非常直接地考察了单项式次数的计算。大家看，只要我们掌握了次数的定义——所有字母指数的和，这道题就能轻松拿下。这3分是不是很容易？ ‹#› 感受中考 2 （3分）（2023·江西）单项式 -5ab 的系数为？ 【考点】考查单项式的系数的定义，明确单项式中数字因数即为系数的核心概念。 【分析】根据单项式系数的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，需要注意的是系数包含前面的符号，据此分析即可。 【解答】解：对于单项式 -5ab，其中的数字因数为 -5，因此该单项式的系数为-5。故答案为：-5。 【点评】本题是基础的概念考查题，关键易错点在于容易忽略单项式前面的负号，必须牢记：单项式的系数不仅包含数字，还包含其前面的符号。 1.7.2013 再来看一道2023年江西的中考题。这次考察的是系数。题目很简单，但有一个非常重要的考点，就是系数要包含前面的符号。所以-5ab的系数是-5，而不是5。这也是一个常见的易错点，大家一定要记住！ ‹#› 课堂小结 1.本节课我们系统认识了单项式，掌握了其核心要素：概念、系数与次数。 2.需要重点辨析系数的符号规则、次数的计算方法以及特殊常数π的处理方式。 ① 单项式的核心定义：数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 ② 系数的关键要点：指数字因数，务必包含符号；系数为1或-1时，通常省略数字1不写。 ③ 次数的计算规则：是所有字母的指数之和，注意单独的常数项次数为0，与系数无关。 ④ 特殊提醒与易错点：圆周率π是常数，需纳入系数部分；判断单项式要确保只有乘法，分母不含字母。 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下今天都学了些什么。我们认识了单项式，学会了找它的系数和次数。大家要记住几个关键点：系数要带符号，次数是所有字母指数的和，π是常数。希望通过今天的学习，大家对代数式有了更深刻的理解。 ‹#› 布置作业 P93：习题4.1：请完成第1题、第2题，重点掌握基础概念的应用与公式的初步推导。 P94：习题4.1：完成第5题、第8题，这两道题侧重实际问题的解决，请结合课堂案例思考解题思路。 温馨提示：作业需独立完成，注意解题步骤的规范性。若有疑问，可在课前答疑时间提出，或查阅教材相关章节的例题解析。 1.7.2013 最后，给大家布置今天的课后作业。请同学们完成教材93页和94页上的这几道练习题，通过练习来巩固今天所学的知识。希望大家认真完成，我们下节课再见！ ‹#› 人教版 七年级上册 谢谢观看 一套在手，备课无忧！ 1.7.2013 感谢同学们的认真听讲和积极参与！今天的数学课就到这里。希望大家课后好好复习，我们下节课继续探索整式的奥秘。同学们再见！ ‹#› $