精品解析：山东省新泰市第一中学2025-2026学年高一下学期第二次大单元考试数学试题

新泰一中2025级高一下学期第二次大单元考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 2. 实验中学为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取80人进行调查.已知该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 32人 B. 24人 C. 20人 D. 18人 【答案】C 【解析】 【分析】确定高一，高二，高三的人数比，由分层抽样特征即可求解. 【详解】该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 则抽取的学生中，高一年级有. 3. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法与除法及复数的模计算即可. 【详解】由，得. 所以. 4. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 5. 在任意四边形中， ，分别是，的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】因为分别为的中点，则， 由向量的运算法则，可得， 两式相加，可得， 所以， 因为，所以，所以. 6. 已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图： 正六边形中，设与交于 ，则 为中点，且. 所以向量在向量方向上的投影向量为. 7. 已知G为 的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量线性运算用表示，再利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由G为 的重心，得，则， 整理得，而， 因此，而共线，则， 于是， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 8. 如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半径，再得出球的表面积即可. 【详解】在正三棱柱中，取的中点，连接，如图， 则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面， 所以是直线与平面所成的角， 则，由，得，而， 则，， 因此正三棱柱的外接球球心到平面的距离， 而的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径， 所以. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有唯一解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】A：由正弦定理，可知， 因为，所以，所以角B为锐角，所以此时三角形有唯一解； B：由正弦定理，可知， 此时，所以，因此角B为锐角或钝角，所以此时三角形没有唯一解； C：由余弦定理，得，所以此时三角形有唯一解； D：因为，所以这三边能确定唯一三角形. 10. 设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则与相交 C. 若，，，则 D. 若，，，则与没有公共点 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用面面、线面、线线的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，，则与无公共点，即与平行或异面，A错； 对于B选项，若，，则与共面，即与相交或平行，B错； 对于C选项，若，，，与无公共点，即与平行或异面，C错； 对于D选项，由C选项可知D对. 11. 已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 的轨迹长度为 D. 取最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得在线段上，通过面面平行的判断定理可得平面平面，再由性质定理即可判断A；由异面直线所成角，可知直线与所成的角为，根据是边长为的等边三角形，即可判断B；由A可知的轨迹为线段，即可判断C；将矩形与正三角形展开在同一平面内，利用余弦定理求解后，即可判断D． 【详解】因为，其中，，且， 所以在线段上， 在正方体中，， 又因为平面,平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面,， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面，故A正确； 因为， 所以异面直线与所成的角为， 易知是边长为的等边三角形， 所以， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确； 将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示： 当为与的交点时，取最小值， 此时在中，，，, 由余弦定理可得 ， 即取最小值为，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 如图，在平行四边形中，，， 是边的中点，是上靠近的三等分点，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理和向量的数量积进行求解即可. 【详解】因为， 则因为，所以. 又，所以，化简得， 解得（负值舍去），即. 13. 已知P是 的外心，且，则 __________． 【答案】 【解析】 【详解】因为P是 的外心， 可设， ， 因为， 则， 两边同时平方：， 解得：． 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为， 因为互斥， 所以 ， 解得，所以 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．） 15. 在锐角 中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求角； （2）若 的面积为，求 的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【小问1详解】 因为，所以， 因为 是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． 【小问2详解】 因为 的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故 的周长为． 16. 在 中，内角 的对边分别是 ，若， ． （1）求的面积； （2）若D是AB的中点，求CD的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合 ，整理得到 ，再利用三角形面积公式求解即可； （2）由，两边同时平方，结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理知， ，得 ， 又因为 ，可得 ， 则 ，整理得 ， 故； 【小问2详解】 在中，，两边同时平方： ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为． 17. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； （2）已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1），第80百分位数为，样本平均数为74； （2），. 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1即可求a，先依次求出前4组和前5组频率之和得到样本成绩的第80百分位数所在区间即可计算求解，由频率分布直方图的平均数计算公式直接计算即可求平均数； （2）先依次求出两区间的样本个数、样本平均成绩、方差，再由总体平均数公式和总体方差公式即可计算两组样本成绩合并后的平均数和方差. 【小问1详解】 由题意， 所以前4组频率之和， 前5组频率之和， 所以样本成绩的第80百分位数在区间内，且为， 样本平均数为； 【小问2详解】 由题可得落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 落在区间的样本个数为，样本平均成绩是，方差是， 所以两组样本成绩合并后的平均数为， 两组样本成绩合并后的方差为. 18. 如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC． （1）若AC⊥BC，证明：BC⊥PC； （2）若AB=AC=BC=PA=，求点A到平面PBC的距离． 【答案】（1）∵平面，平面，∴，                            又∵，，平面， ∴平面；                又∵PC平面， ∴BC⊥PC； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直； （2）利用等积法求点A到平面PBC的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵PA⊥平面ABC，AB平面ABC， ∴PA⊥AB， ∴PB=， 同理=， ∴是等腰三角形，． ∵，, 即 ， 解得． 19. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】（1）（i）；（ii） （2）“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠 【解析】 【分析】（1）（i）先分析出事件即甲队通过加时赛获得冠军，包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平三种情况，然后加时赛获胜，得到的表达式，将代入计算即可；（ii）先分析出事件即甲队获得冠军包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜四种情况，得到的表达式，将代入计算即可； （2）先分析出事件即在第三方场地的“单场比赛制”下甲队获胜包含甲队胜，甲队平且加时赛胜两种情况，得到的表达式，分析出的取值范围，借助的取值范围得到，的大小关系即可知哪种赛制更有利于甲队夺冠. 【小问1详解】 （i）设甲队通过加时赛获得冠军为事件， 则事件包含甲队主胜客负，主负客胜，主平客平，然后加时赛获胜， 所以. 因为，所以； （ii）设甲队获得冠军为事件， 则事件包含甲队加时赛胜，主胜客胜，主胜客平，主平客胜， 则. 因为，所以. 【小问2详解】 在第三方场地的“单场比赛制”下，将甲队获胜记为事件， 则事件包含甲队胜，甲队平且加时赛胜， 则， 因为，所以，此时，符合题意， ， 因为，，，所以， 即“主客场比赛制”比第三方场地的“单场比赛制”更加有利于甲队夺冠. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中2025级高一下学期第二次大单元考试 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 2. 实验中学为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取80人进行调查.已知该校高一年级学生有300人，高二年级学生有400人，高三年级学生有500人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 32人 B. 24人 C. 20人 D. 18人 3. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在任意四边形中，，分别是，的中点.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有唯一解的是（    ） A. B. C. D. 10. 设、是空间中的两条直线，、是空间中的两个平面，下列说法错误的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则与相交 C. 若，，，则 D. 若，，，则与没有公共点 11. 已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 的轨迹长度为 D. 取最小值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若，则______． 13. 已知P是的外心，且，则 __________． 14. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分．） 15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 16. 在 中，内角 的对边分别是 ，若， ． （1）求的面积； （2）若D是AB的中点，求CD的最小值． 17. 某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数；求样本平均数； （2）已知落在区间的样本平均成绩是57，标准差是7，落在区间的样本平均成绩为66，标准差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 18. 如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC． （1）若AC⊥BC，证明：BC⊥PC； （2）若AB=AC=BC=PA=，求点A到平面PBC的距离． 19. 甲、乙两支篮球队进入某次决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过加时赛决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；加时赛甲队获胜的概率为.不同对阵的结果相互独立，假设甲队先主场后客场. （1）已知. （i）求甲队通过加时赛获得冠军的概率； （ii）求甲队获得冠军的概率. （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过加时赛决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，加时赛甲队获胜的概率为.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $