精品解析：山东省滕州市第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

高一月考 命制：数学组 审核：数学组 一、单项选择题 1. 设复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由变形成求出即可. 【详解】由，则复数. 故选：B. 2. 已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(　　) A. (－2，－4) B. (－3，－6) C. (－4，－8) D. (－5，－10) 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据平行向量的坐标表示，先求出m，再利用向量加法的坐标表示计算即可． 解答：解：平面向量=（1，2），=（-2，m）且∥， 所以1×m=2×（-2），即m=-4 则2+3=2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8） 故选C． 点评：本题考查平行向量，向量加法的坐标表示，属于基础题． 3. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，这组数据的分位数是（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第百分位数的定义求解即可. 【详解】将得分从小到大排列：2,4,5,7,7,8,9,10，数据总个数， ，所以这组数据的分位数是第6项和第7项的平均数，即. 4. 在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，可证为异面直线与所成角或其补角.再根据余弦定理计算即可. 【详解】取的中点，连接， 因为 ，分别是的中点， 所以，， 在正方体中，∵ ∴，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 故为异面直线与所成角或其补角. 设正方体的棱长为2，分别是的中点， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】当内可对A、C判断；当时可对B判断，由面面平行可对D判断. 【详解】A：若，，当时，与不平行，故A错误； B：若，，当时，不能得到，故B错误； C：若，，当时，与不平行，故C错误； D：若，，可得，故D正确. 故选：D. 6. 某次物理竞赛，得分在的有15人，他们的平均分为128，方差为得分在的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在的平均分与方差为（ ） A. 130，16.625 B. 131，17.875 C. 131，16.625 D. 130，17.875 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数公式和分组数据合并方差公式即可得解. 【详解】由题意代入数据，可得， . 7. 已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算两次抽取卡片的所有基本事件，再由，即，找出满足的基本事件即可求解. 【详解】设表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有个， 由，即， 故满足的基本事件有共个， 所以所求概率为. 故选：D. 8. 在中，角所对的边分别为， 是 上的点，平分，且，，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理可得，从而求得，即可求出角 ,利用即可解出，再结合基本不等式，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又 ，可得，即 ， 因为，所以， 平分，且，得， 整理得： ，所以，解得 所以，则，当且仅当时等号成立， 故面积的最小值为， 故选：B. 二、多项选择题 9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，则复数不确定，即可判断；对于B，由于，可得，即可判断；对于C，由， 可得在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆，由表示单位圆上的点与点的距离，即可求得的范围，即可判断；对于D，设，计算求得及，即可判断. 【详解】根据题意，对于选项A，设，由于， 所以，则复数不确定，故选项A不正确； 对于选项B，设，由于， 所以，则，所以，，则，故选项B正确； 对于选项C，设，由于，所以， 所以在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆心，以1为半径的圆，即单位圆， 因为表示单位圆上的点与点的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以，故选项C正确； 对于选项D，设，， ， 当时，， 例如，，，， 所以选项D错误. 故选：BC． 10. 将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ） A. 事件甲与事件丙是互斥事件 B. 事件甲与事件丁是相互独立事件 C. 事件乙包含于事件丙 D. 事件丙与事件丁是对立事件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法得到事件甲，乙，丙，丁，再由事件的关系，以及独立事件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有：， 事件乙：第二次掷出的数字是2有：， 事件丙：两点数之和为8的所有可能为：， 事件丁：两点数之和为7的所有可能为：， 其中， 对于A中，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确； 对于B中，由，所以， 所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确； 对于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C错误； 对于D中，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误. 故选：AB. 11. 下列命题中，正确的选项是（ ） A. 已知非零向量，，若，则 B. 对于任意的平面向量，，，若，且，则 C. 对于任意的平面向量,，若且，则 D. 设点M是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的 【答案】AD 【解析】 【详解】解：将两边平方，得，，即，A正确； 向量，，满足，且，移项得： ，则或， 可能，不等，但；B错误； 对于任意的平面向量，当时，对于任意向量，都有且成立， 可以是任意方向的向量，不一定平行，C错误； 因为，且，所以， 令，则B，N，C三点共线，且N点落在线段BC上，M为线段AN的中点，所以的面积是 面积的，D正确. 12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ） A. 为的中点 B. 与所成的角为 C. 平面平面 D. 点与点 到平面的距离相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，以及线段两端点到平面距离相等的条件，选出正确答案. 【详解】对于A项，连接交于点 ，连接，如图所示， //面，面 ，且面面，// ， 又四边形是正方形， 为的中点， 为的中点，故A正确； 对于B项，， 为 与所成的角， 面，面 ， ， 在中，，，故B错误； 对于C项，面，面 ， ， 又，， 面 面，又平面 ，故C正确. 因为平面，且 为线段的中点， 所以点与点 到平面的距离相等，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下： （1）根据线面平行的性质可以判断A项真假； （2）利用异面直线所成角的定义找其平面角，求得大小，判断B项真假； （3）利用面面垂直的判定定理得到平面平面，判断C项真假； （4）根据当平面过线段中点时，线段两端点到平面的距离相等，判断D项真假. 三、填空题 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为， 即，故， 故答案为： 14. 已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，得到，，计算得到答案. 【详解】复数是实数， 所以，得. 所以， 当且仅当，取等号，所以的最小值为. 故答案为： 15. 已知正三棱柱的高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正三棱锥的结构特征，即可得到其外接球的半径，再由球的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】 设正三棱锥，取三棱锥的两底面中心为， 连接，取的中点 ，连接，则为正三棱柱外接球的半径， 因为是边长为3的正三角形，为的中心， 所以， 又因为， 所以， 所以正三棱柱外接球的体积为. 故答案为： 16. 围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件概率公式求解即可． 【详解】设“2粒都是黑子”为事件 ，“2粒都是白子”为事件 ， “2粒恰好是同一色”为事件 ，“2粒不同色”为事件 ， 则事件 与事件 是对立事件，所以． 因为2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大， 所以，所以，． 又，且事件 与 互斥，所以， 所以． 故答案为： 四、解答题 17. 已知复数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出； （2）得到，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 由已知得， ， 又 所以 【小问2详解】 依题意向量， 于是有， ， ， 因为为与的夹角， 所以， 因为， 所以 18. 中，角所对的边分别为，且 （1）求角 的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理并结合条件计算可得； （2）由余弦定理并结合基本不等式可得； 【小问1详解】 由正弦定理知，，， ，， ，，， 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得，且， ，当且仅当时，不等式的等号成立，再由，即当时不等式的等号成立. 的面积，故面积的最大值为 19. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取人，再从这人中随机抽取 人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 【答案】（1），中位数为； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由频率分布直方图的性质计算可得，进而可得中位数； （2）先由分层抽样确定两层所抽取的人数，再按古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得. 本次联考该校数学成绩在的频率为， 在的频率为，在的频率为. 因为，， 所以中位数在之间，设为，则，解得. 所以本次联考该校数学成绩的中位数为. 【小问2详解】 因为成绩在的频率与成绩在的频率之比为， 所以成绩在的人数与成绩在的人数之比为， 因此按分层抽样抽取的人中成绩在的有 人，成绩在的有人， 假设成绩在的 人分别记为，， 成绩在的人分别记为，，，. 随机抽取两人的样本空间为： 共个， 两人中恰好一人分数在内，另一人在内包含： 共个，所以. 因此抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率为. 20. 如图.在三棱锥中，底面ABC，，，，M是PB的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面得，，，由线面垂直判定定理得平面，从而得，则通过计算四个直角三角形的面积即可求解； （2）取中点N，取 中点E，连接，，，可证得，，利用定义可得为二面角的平面角，然后在中即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 因为，，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， ，，所以，， 所以，， ，， 所以三棱锥的表面积. 【小问2详解】 取中点N，取 中点E，连接，，， 则，又底面ABC，则底面， 又底面，则， 由（1）知，，因为M是的中点， 所以在中，， 在中，，所以， 所以，又因为，，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以为二面角的平面角． 在中，，，， 所以，即二面角的平面角的正弦值为. 21. 一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球. （1）从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率； （2）若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意直接利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出每次抽到白球的概率，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 总共有6个球，其中红球1个，蓝球3个， 抽到红球或蓝球的情况数为种， 则由古典概型概率公式得抽到红球或蓝球的概率. 【小问2详解】 由题意得总共有6个球，则每次抽到白球的概率为， 因为是有放回抽取，两次抽取相互独立，所以两次都抽到白球的概率. 22. 已知直三棱柱，，D，E分别是边 ，的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：取中点F，证明四边形ADEF是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；证法二：取BC中点F，先证明，，然后利用线面平行的判定定理证明平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （2）根据线面角的定义，先确定即为角，再通过等体积法求出，即可利用重要不等式求出的最小值，再根据即可求出的最大值. 【小问1详解】 证法一：如下图所示，取中点F，连接EF，FA， E是的中点， EF为的中位线， 且， 又且， 且， 四边形ADEF为平行四边形， . 又平面，平面， 平面； 证法二：如下图所示，取BC中点F，连接EF，DF， D是 的中点， DF为中位线， ， 又平面，平面， 平面. 在三棱柱中，且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. ，平面DEF， 平面平面， 又平面DEF， 平面； 【小问2详解】 如下图所示，连接， 是直三棱柱， 平面， 平面， . ，,平面， 平面， 就是在平面内的射影， 即为与平面所成的角. ， ， （当且仅当时等号成立）. 在中， . 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一月考 命制：数学组 审核：数学组 一、单项选择题 1. 设复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(　　) A. (－2，－4) B. (－3，－6) C. (－4，－8) D. (－5，－10) 3. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，这组数据的分位数是（ ） A. B. 8 C. D. 9 4. 在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 某次物理竞赛，得分在的有15人，他们的平均分为128，方差为得分在的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在的平均分与方差为（ ） A. 130，16.625 B. 131，17.875 C. 131，16.625 D. 130，17.875 7. 已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为， 是 上的点，平分，且，，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多项选择题 9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ） A. 事件甲与事件丙是互斥事件 B. 事件甲与事件丁是相互独立事件 C. 事件乙包含于事件丙 D. 事件丙与事件丁是对立事件 11. 下列命题中，正确的选项是（ ） A. 已知非零向量，，若，则 B. 对于任意的平面向量，，，若，且，则 C. 对于任意的平面向量,，若且，则 D. 设点M是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的 12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ） A. 为的中点 B. 与所成的角为 C. 平面平面 D. 点 与点到平面的距离相等 三、填空题 13. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 14. 已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为______. 15. 已知正三棱柱的高与底面边长均为3，则该正三棱柱外接球的体积为__________. 16. 围棋是一种策略性两人棋类游戏．已知某围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从盒子中取出2粒棋子，2粒都是黑子的概率为，2粒恰好是同一色的概率比不同色的概率大，则2粒恰好都是白子的概率是______． 四、解答题 17. 已知复数. （1）求； （2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 18. 中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 19. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 20. 如图.在三棱锥中，底面ABC，，，，M是PB的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 21. 一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球. （1）从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率； （2）若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率. 22. 已知直三棱柱，，D，E分别是边 ，的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥体积为，且，设与平面所成的角为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $