山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2024-2025学年高一下学期第二次大单元测试数学试题

第二题．12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.（ 15 分) 17．( 15 分)新泰中学 2024 级高一下学期第二次大单元数学答题卡 姓名： 班级： 第一题 选择题（请用 2B 铅笔填涂，每题 5 分，共 60 分） 1、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 5、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 9、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 2、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 6、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 3、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 7、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 4、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 8、[ A ] [ B] [ C ] [ D ] 15.（ 13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 贴条形码处 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．( 17 分) 18（ 1 7 分） 高一数学 答题卡 第 2 页 （共 2页） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 新泰中学 2024级高一下学期第二次大单元测试 数学参考答案 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B B C D C C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9 10 11 ACD ABD ACD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12． 2 13．729 14．3 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分 13分） 【解】（1）由频率分布直方图和表格中的数据可得 172 100 a  ，解得 0.085a  ， 252 100 b  ，解得 0.125b  . （2）由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生， 这名学生课外阅读时间少于12小时的频率为 6 2 21 0.9 100     . （3）由题意，样本中的100名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为  1 1 6 3 8 5 17 7 22 9 25 11 12 13 6 15 2 17 2 7.68 100 x                    （小时） 16．（15分） 【详解】（1）由题意得 2 2 2sin sin sin 2sin sinC A B A B   ， 由正弦定理 sin sin sin a b c A B C   得 2 2 2 2c a b ab  ， 2 2 2 22 cos , cos 2 c a b ab C C       ， 2 / 4   3π0, π , 4 C C   ．（5分） （2）∵ ABCV 的面积 4S  ， 1 3πsin 4 2 4 ab  ， 8 2ab  ， 2 2 2 2 2 22 cos , 2 10, 2 40c a b ab C c c a b ab         ， , 2 2, 4b a a b    ，（9分） D 为 BC的中点， 2CD  ， 在 ACD 中， 2 2 2 22 cos 16 2 2 4 2 26 2 AD AC CD AC CD C                    ， 26AD  ．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）∵ ,P Q分别为 ,AE AB的中点， ∴ / /PQ EB． 又∵ EB DC∥ ， ∴ / /PQ DC． 又 PQ不在平面 ACD内，DC在平面 ACD内， ∴ / /PQ 平面 ACD．（5分） （2）连接 ,CQ DP . Q 为 AB的中点，且 ,AC BC CQ AB   . DC  平面 ,ABC ,AC BC 平面 ABC， ∴ ,DC AC DC BC  ， ∵ EB DC∥ ， ∴ ,EB AC EB BC  ，（8分） ∵ AC BC C ， ,AC BC 平面 ABC， EB∴ ⊥平面 ABC， ∵CQ  平面 ABC， ,CQ EB  由（1）有 PQ DC∥ ， 又 1 , 2 PQ EB DC   四边形CQPD为平行四边形， ,DP CQ ∥ 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ,DP AB DP EB  ，（12分） ∵ AB EB B  ， ,AB EB  平面 ABE . DP 平面 ABE . DAP 为 AD和平面 ABE所成的角. 由 2 2, 120 ,AC BC EB DC ACB      得 15, 1 2 AD DP CQ AC    ， 在 Rt DPA 中， 1 5sin 55 DPDAP AD     ， AD 和平面 ABE所成角的正弦值为 5 5 .（15分） 18．（17分） 【解】（1） 连接CF， 因为底面为正八边形，所以 CF BC ， …………………………2分 又正八棱柱侧棱 1CC 底面 ABCDEFGH ， BC 底面 ABCDEFGH ， 所以 1CC BC ， …………………………4分 1 1, ,CC CF C CC CF  平面 1CFC ， 所以 BC 平面 1CFC ， …………………………6分 又 1C F 平面 1CFC ，所以 1BC C F . …………………………7分 （2）连接 1,OC OG ， 因为 11, 4OA AA  ， 由正八边形 ABCDEFGH 的性质可得 360 458 AOB    ， 1OC OA  ， 1GG 为 1G 到底面 AOC的距离， 1 4GG  ， 所以 1 11 1 2 2AOC S    △ ， …………………………9分 由勾股定理可得， 2 2 2 2AC AO CO   ， 4 / 4 又 2 2 2AG AC  ，所以 1 2 16 18 3 2AG     ， …………………………11分 又 2 2CG AO  ，所以 1 4 16 20 2 5CG     ， …………………………12分 因为 2 2 2 1 1AC AG CG  ， 所以 1AC AG ，即 1 1 2 3 2 3 2ACG S     ， …………………………14分 设点O到平面 1ACG 的距离为 d， 则 1 1O ACG G OACV V  ，即 1 1 1 4 3 3ACG AOC S d S      ，即3 2d  ， 解得 2 3 d  ，所以点O到平面 1ACG 的距离为 2 3 . 19．（17分）【详解】（1）因为OC OM MC     ，又M 是CD的中点，则MC MD  uuuur uuuur ， 所以OC OM MD  uuur uuuur uuuur ，又OD OM MD  uuur uuuur uuuur ，     2 2OC OD OM MD OM MD OM MD               .（6分） （2）如图，取 AB的中点 N，连接MN，ON， 由题，可知点 O在以 AB为直径的圆上， 所以 1 3 2 OM ON MN AB AD     ，（10分） 当且仅当O， N，M 三点共线时取等号． 利用（1）结论： 2 2 9 1 8OC OD OM MD        . 所以OC OD   的最大值为 8.（17分） 数学试题 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 新泰中学 2024 级高一下学期第二次大单元测试数学试题 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知向量 a  、b  的夹角为 π 6 ，且    a b a b      ，则向量 a在向量b上的投影向量是（ ） A． 1 2 b  B． 3 2 b  C． 3 2 a  D． 1 2 a  2．复数 z满足  5 12i 13iz   ，则 z的虚部为（ ） A． 12 13  B． 5i 13  C． 12i 13  D． 5 13  3． ABCV 的直观图 A B C   如图所示，其中 / /A B x  轴， / /A C y  轴，且 2A B A C     ，则 ABCV 的面 积为（ ） A． 2 2 B．4 C． 4 2 D．8 4．西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台， 上下底面的边长分别为 13m和 25m，塔身高度为 60m．则其体积约为（ ） 3m ． A．15880 B．22380 C．47640 D．67140 5．已知互不相等的数据 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x ， 6x ，t的平均数为 t，方差为 2 1s ，数据 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x ， 6x 的方差为 22s ，则（ ） A． 2 21 2s s B． 2 21 2s s C． 2 2 1 2s s D． 2 1s 与 2 2s 的大小关系无法判断 6．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在 校学生中抽取了 100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到 如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ） A．该地初一年级学生做作业的时间超过 3小时的概率估计为 35% B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过 2小时 C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为 2.25小时 D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在 2小时 数学试题 2 / 4 至 3小时之间 7．已知三棱锥 P ABC 的底面为边长为 3的正三角形，点A在侧面 PBC上的射影G是 PBC△ 的垂心，当 此三棱锥体积最大时，PA的长为（ ） A．2 3 B． 6 C． 3 2 2 D． 3 3 2 8．记钝角三角形 ABC内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 1a  ， B C ， 2AC AD   ，则线段 BD 的取值范围为（ ） A． 1 2, 2 2        B． 1 2, 2 2       C． 3 10, 4 4        D． 3 10, 4 4       二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．如图所示，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A． AD 平面 1 1ABB A B． 1 1AB ∥平面 1ACD C． 1AD 与 1BC是异面直线 D． 1B D 平面 1ACD 10．已知数据 1 2 6, , ,x x x 的平均数为 10，方差为 1，且  2 4 1,2, ,6i iy x i    ，则下列说法正确的是（ ） A．数据 1 2 6, , ,y y y 的方差为 4； B．数据 1 2 6, , ,y y y 的平均数为 24； C．数据 1 2 6, , , ,10x x x 的平均数为 10，方差大于 1； D．若数据 1 2 6, , ,x x x 的中位数为m，75%分位数为 n，则m n . 11．下列说法中正确的是（ ）． A．若 6, 45 , 2c A a  o ．则 ABCV 有两组解 B．已知非零向量 (1, 2), ( 1,3)a b     ，且 a  与 a b   的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ( 1, )  C．若 ,a b   满足 a b a b       ，则 a  与  a b  的夹角为30o D．在∆ABC 中，若 sin sinA B A B   三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．已知 z是纯虚数，    2 1 iz   是实数，那么 z  . 13．某公司利用随机数表对生产的 900支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按 000，001，…，899进行编 号，从中抽取 90个样本，若选定从第 4行第 4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第 3行至 数学试题 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 第 5行），根据下图，读出的第 5个数的编号是 ． 1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410 1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176 5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030 14．如图，在∆ABC 中，点O是 BC边上靠近C的三等分点，过点O的直线分别交射线 ,AB AC于不同的两点 ,M N．设 AB mAM AC nAN      ， ，则 2m n ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分 13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据， 整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合 计 分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18] 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的 a、b的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平 均数. 16．（15分）在∆ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c， 2 2 2sin sin sin sin sin2C A B A B- - = (1)求角C； (2)若 2 10,c D 为BC的中点，∆ABC 的面积 4S  ，且b a ，求 AD的长度． 数学试题 4 / 4 17．（15分）如图，DC 平面 ,ABC EB DC∥ ， 2 2, 120 ,AC BC EB DC ACB      ,P Q分别为 ,AE AB 的中点. (1)证明： / /PQ 平面 ACD； (2)求 AD与平面 ABE所成角的正弦值. 18．（本小题满分 17分）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支 柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图， 1O O､ 分别为 正八棱柱的上下两个底面的中心，已知 11, 4OA AA  . (1)求证： 1BC C F ； (2)求点O到平面 1ACG 的距离. 19．（17分）如图，正方形 ABCD的顶点 A，B分别在 x，y轴正半轴上滑动，M是边CD的中点． (1)求证： 2 2 OC OD OM MD       ． (2)若正方形 ABCD的边长为 2，求OC OD   的最大值．