暑假收心卷01（暑假测试）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 北师大版八年级暑假收心卷，以无人机灯光秀、赵爽弦图等科技文化情境融合知识，梯度设计适配复习需求 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、坐标、统计量|第6题以无人机烟花运输考二元一次方程组，体现模型意识| |填空题|6/18|一次函数性质、重心、方差|第15题网络速率方差分析，培养数据观念| |解答题|8/72|几何证明、函数应用、模型拓展|21题洋葱运输租车方案综合方程与优化，24题数形结合求最值发展几何直观与创新意识|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 暑假收心卷 01 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 训练范围：新教材，北师大版八年级上册第一~六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列是最简二次根式的是() A.⑧ B.22 C.0.5 o. 2.如图，五角星盖住的点的坐标可能为() ☆ A.（-3,-2) B.(1-2) c.（-3,4) D.(2,2) 3.某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，7位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低 分后，剩下的5个评分与原始的7个评分相比一定不发生变化的是() A.中位数 B.加权平均数 C.算术平均数 D.众数 2x+y=8 4.二元一次方程组 y=2x 的解是() x=3 x=2 x=4 B y=6 C.y=4 D.y=2 5.下列各式计算正确的是() A.5+2=万 B.25-V3=2 C.5x5=√6 D.√6÷√2=√5 6.在粤港澳大湾区科创文化展演中，某表演团队打造了沉浸式无人机方阵灯光秀.某无人机方阵由A、B 两种型号组成，每架A型可携带1束烟花，每架B型可携带4束烟花.所有无人机共携带50束烟花，且A 型数量是B型数量的2倍.设A型有X架，B型有y架，则下列方程组正确的是() 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ x=2y y=2x x=2y x=2y A.1 4x+y=50 B x+4y=50 C. x+y=50 D.{x+4y=50 7.如图，一次函数y=ar+b与y=cX+d的图象交于点P,下列结论：①b<0;②aC<0;③当x>1时， ar+b>cx+d;④a+h=c+d;⑤c>d.所有正确结论的序号为() y=ax+b y=cx+d -10 A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.②④⑤ 8.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD1BC于D,若AB=3,BC=5,则DC的长度是() 4 D 8 6 A.5 C.5 D. 2 9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦 图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）·设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为b.若ab=8,EF=3W2,则大正方形ABCD的面积为() D 图1 图2 A.25 B.16 C.20 D.27 10.如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆O1,半圆O2,半圆O3,半圆O4…,组成 217 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一 条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒兀个单位长度，则第2026秒时， 点P的坐标是() A.(4052,2) B.4052,0 C.(4050,2) D.(4050,0) 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算：2026°+-27= 12.一次函数y=m-1x+3的图象经过第一、第二、第三象限，则m的取值范围是 「2x-3y=3a 13.若关于x,y的二元一次方程组3x-2y=8-口的解满足x-y=4:则常数。的值是 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是△ABC的重心，如果BC=8,DG=2,那么AB- G A 15.某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用500M宽带网络速率（单位：MpS)进行了5次测 试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 480 485 485 网络速率方差 9.5 17.2 4.2 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定.若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选 择的通信公司是 一·（填“甲”“乙”或“丙”） 16.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点-1,1，第2次 接着运动到点-2,0，第3次接着运动到点-3,2，…，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点 P的坐标是 317 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-7,2) (-3,2) (-5,1) (-1.1) (-8,0)(-6,0)(-4,0)（-2,0)0 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分：共8小题，共72分） 山，+源-5， x+y=1 (2)解方程组： x+2y=4 18.如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13 D B (1)求证：∠ACB=90° (2)作CD⊥AB,D为垂足，求CD的长. 19.小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）·已知邮 局的坐标是2,0，书店的坐标是-1,1. 学校 书店 邮局 ·家 (1)请在图中画出平面直角坐标系： (2)小明家的坐标是_，学校的坐标是； (3)在图中标出超市-2，-2，水果店(4，)的位置. 20.如图所示，y=x+b的图象经过点B(1,1),与x轴交于点C,并与函数y=-3x的图象交于点Pm,3. 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=kx+b y=-3x (1)求y=+b的函数解析式： (2)求C到直线OP的距离. 21.某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐.现欲将一批洋葱运往外 地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱 次可运走11吨.现有洋葱32吨，计划同时租用A型车α辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载 满洋葱.根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (②)请你帮该物流公司设计租车方案： (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次.请选出费用最少的租车方案，并求出最少 租车费. 22.为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分)进行统 计分析，并绘制了不完整的箱线图 积分 100 90 80 75 0 60 七年级 八年级 七年级积分：55,58,70,80,80,85,86,88,92,95,97,100： 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 八年级积分：70,72,77,83,86,88,90,91,91,3,94,96 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 之 80 八年级 85.9 之 (1)统计表中m= n= P= (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生 晨读打卡积分更集中、更稳定，请说明理由。 23.在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 1 已知a 2+3求2a2-8a+1的值，他是这样解答的： 1 2-V3 q= 2+V32+32-V3 =2-3. a-2=-93. a-22=3,a2-4a+4=3, .a2-4a=-1, .2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1. 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： ()3+2 1 1 y (2)化简： 十…+ 2+1V3+V29V4+93 9V196+9V195 1 (3)若a=10-3:求a-6a3-6a+5的值。 24.【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然 后解答后面的问题， 例：求代数式x2+32+V02-x)+2的最小值. 分析：√2+3？和V2-x)+2很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“ 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √2+32”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“V2-x)+22”表示直角边分别是 (I2-)、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角△ABC和△DEF,并使直 角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时 CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？” B(E)12-x B 2 图1 图2 图3 D 备用图 (1)根据：两点之间」 得到：线段AD就是AB+DB的最小值，如图3连接AD,延长AC至H, 使CH=FD=2,连接HD,可证：四边形CHDF是矩形，AH= 一，DH= 一，在 RtAAHD中，由勾股定理可求得AD的长，Vx2+32+V2-x+2的最小值是 【模型应用】 (2②)代数式Vx2+4+√⑤-x)+1的最小值是 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数X满足√36-x2+V64-x2=10,求x的值 717 暑假收心卷 01 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，北师大版八年级上册第一~六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义：最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即可求解． 【详解】解：对选项A，，8含能开得尽方的因数4，故A不是最简二次根式． 对选项B，的被开方数22不含分母，分解因数为，无开得尽方的因数，故B是最简二次根式． 对选项C，，被开方数含分母，故C不是最简二次根式． 对选项D，的被开方数含分母，故D不是最简二次根式． 2．如图，五角星盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由图可知，五角星位于第二象限， 第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 该点的坐标符号为， A. 在第三象限，不符合题意； B. 在第四象限，不符合题意； C. 在第二象限，符合题意； D. 在第一象限，不符合题意． 3．某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（     ） A．中位数 B．加权平均数 C．算术平均数 D．众数 【答案】A 【分析】根据各统计量的定义判断变化情况即可求解． 【详解】解：将7个评分从小到大排序，设为， ∵原始7个数据的中位数为排序后第4个数，即，去掉最高分和最低分后，剩余5个数据排序为，其中位数为第3个数，仍为， ∴中位数一定不发生变化， 加权平均数和算术平均数的总和与数据个数都改变，因此可能发生变化， 众数可能因去掉数据后发生改变． 4．二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用代入消元法解方程组，然后根据方程组的解结合各选项即可解答． 【详解】解：， 将代入中，得，解得， 将代入，得， ∴方程组的解为． 5．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式加减乘除的计算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能求和运算，该选项错误； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项正确． 6．在粤港澳大湾区科创文化展演中，某表演团队打造了沉浸式无人机方阵灯光秀．某无人机方阵由A、B两种型号组成，每架A型可携带1束烟花，每架B型可携带4束烟花．所有无人机共携带50束烟花，且A型数量是B型数量的2倍．设A型有架，B型有架，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设A型有架，B型有架． ∵A型数量是B型数量的倍， ∴． ∵每架A型可携带束烟花，每架B型可携带束烟花，所有无人机共携带束烟花， ∴A型共携带束烟花，B型共携带束烟花， ∴． 综上可得方程组． 7．如图，一次函数与的图象交于点P，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．所有正确结论的序号为（     ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象并结合一次函数的性质逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：一次函数与轴交于正半轴，则，故①说法错误； 一次函数的图象经过第一、二、四象限，则；一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，故，②说法正确； 当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方，即，故③说法错误； 当时，，故④说法正确； 一次函数的图象与轴交于负半轴，即，故，⑤说法正确； 综上所述，说法正确的有②④⑤． 8．如图所示，中，，于，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用三角形面积求，最后运用勾股定理求即可． 【详解】解：，，，， ， ， ， ． 9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 10．如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意易得半圆，半圆，半圆，半圆的周长都为，然后得出点走完半圆所需的时间为，此时点的坐标为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知：半圆，半圆，半圆，半圆的周长都为， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点走完半圆所需的时间为，此时点的坐标为， ∵， ∴第2026秒时，点的坐标是，即为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 12．一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象经过第一、第二、第三象限， 对于一次函数，当图象经过第一、二、三象限时，满足且， ， 不等式恒成立， 解不等式， 得． 13．若关于，的二元一次方程组的解满足，则常数的值是_____． 【答案】6 【分析】把两个方程相加得到，进而得到关于a的一元一次方程求解． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得． 14．如图，在中，，点G是的重心，如果，那么______． 【答案】 【分析】根据重心的性质，可得，再用勾股定理求出，进而得到即可． 【详解】解：点G是的重心， ，则， ， ， ． 15．某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 网络速率方差 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】根据平均网络速率反映速度的快慢，方差反映数据的波动程度，方差越小，稳定性越好，进行判断即可． 【详解】解：根据表格数据， ∵甲、乙、丙的平均网络速率最快的是乙、丙， 但比较乙和丙的网络速率方差：丙的方差更小，稳定性更好， ∴应选择的通信公司是丙. 16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， ，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，动点的坐标是__________． 【答案】 【分析】由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环，由，可得动点的坐标是． 【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… 第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标为1个循环， ， 动点的坐标是． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及解二元一次方程组． （1）先利用二次根式的性质化简，求立方根，计算二次根式的乘法，最后再计算二次根式的加减运算． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1）原式 （2）， 由②①，得 把代入①，得 所以原方程组的解为：． 18．如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴． 19．小明在学习了平面直角坐标系的相关知识后，绘制了一幅家附近建筑的平面示意图（如图）．已知邮局的坐标是，书店的坐标是． (1)请在图中画出平面直角坐标系； (2)小明家的坐标是 ，学校的坐标是 ； (3)在图中标出超市，水果店的位置． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见解析 【分析】（1）根据邮局的坐标是，书店的坐标是画出坐标系即可； （2）根据象限点的坐标特征写出小明家、学校的坐标； （3）在图中标出超市，水果店的位置即可． 【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示； （2）解：小明家的坐标是，学校的坐标是； （3）解：标出超市与水果店的位置如图所示． 20．如图所示，的图象经过点，与轴交于点，并与函数的图象交于点． (1)求的函数解析式； (2)求到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间距离公式以及点到直线的距离： （1）先求点的坐标，再用待定系数法求解； （2）先求点的坐标，再计算，利用等面积法求距离． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：， ， 将、代入函数中， 得， 解得：， 的函数解析式． （2）解：令， 得， 解得：， ， ， ．， 设到直线的距离为， ， ， 即， 解得：． 21．某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱32吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨 (2)该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用8辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆B型车 (3)费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元 【分析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B 型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）根据一次运送32吨洋葱，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）分别计算两种方案的租车费用，然后比较解答即可. 【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨； （2）解：依题意得：， ∴ 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用8辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆B型车； （3）解：方案1所需租车费为（元）； 方案2所需租车费为（元）． ∵， ∴费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元． 22．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，58，70，80，80，85，86，88，92，95，97，100； 八年级积分：70，72，77，83，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 m 80 八年级 85.9 n p (1)统计表中_______，______，_______； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) 八年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，理由：八年级的箱体比七年级的箱体短． 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）先求七年级积分的下四分位数、上四分位数，然后补全箱线图，最后比较两个箱线图作出判断即可． 【详解】（1）解：七年级的中位数， 八年级的中位数，众数； （2）解：七年级的最大值为，最小值为，上四分位数为，下四分位数为， 补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图如答图． 23．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案； （3）分母有理化得到，则可证明，把所求式子变形为，进一步可变形为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）设n为正整数， 则 ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 24．【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $