第一章 勾股定理（暑假单元自测）新八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学勾股定理单元自测卷，90分钟120分，覆盖勾股定理核心知识点，通过基础辨析、实际应用及跨学科探究题，培养数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|勾股数（题1）、折叠问题（题5）|结合《算法统宗》古题（题3）体现文化传承| |填空题|6题18分|月牙形面积（题12）、折叠求线段长（题14）|考查几何直观与运算能力| |解答题|8题72分|赵爽弦图证明（题22）、蚂蚁爬行路径（题24）|通过建模思想（题23）提升创新应用能力，适配暑假巩固需求|

第一章 勾股定理 单元自测卷 【新教材，北师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．7，8，10 B．8，24，25 C．3，4，5 D．5，10，13 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，需验证三个正整数中，两较小数的平方和是否等于最大数的平方，由此判断即可． 【详解】A、，，，故不是勾股数，不符合题意； B、，，，故不是勾股数，不符合题意； C、，且三个数均为正整数，故是勾股数，符合题意； D、，，，故不是勾股数，不符合题意； 2．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 3．我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩．设长方形田的宽为步，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据勾股定理列方程，先根据题意表示出长方形对角线的长度，再利用直角三角形勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设长方形田的宽为步，宽与对角线的和为步， 则对角线长为步， ∵长方形中长，宽，对角线构成直角三角形，符合勾股定理，且已知长为步， ∴根据勾股定理可得 ，C选项符合题意． 4．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号的航行方向是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏东 【答案】A 【分析】先根据航行速度和时间求出、的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，最后结合方位角计算出“海天”号的航行方向。 【详解】解：依题意， “远航”号航行一小时的路程：(海里)， “海天”号航行一小时的路程：(海里)， 已知海里， 在中：，， 即， 根据勾股定理的逆定理，， 已知“远航”号沿北偏东方向航行，即， ， 因此，“海天”号的航行方向是北偏西。 5．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得 ，利用折叠的性质得，设，则，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 6．如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 7．如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义和等腰直角三角形的定义可推出，利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 8．如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出木块展开后的平面图，对角线即为所求最短路径，用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 9．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 10．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 12．如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 13．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 【答案】 【分析】由方向角的定义可得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， 即此时两艘轮船相距． 14．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 【答案】3 【分析】设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ∵将折叠，使点C与点A重合， ∴， ∵， ∴， 解得：．即 15．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 16．如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 【答案】 【分析】先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，再在和中用勾股定理得，，最后将数据代入化简即可． 【详解】由题意可知，，，，． 是的边上的高， 在和中，由勾股定理得，， 即，， 可得，， ，， ，即． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边； （2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：，，，， ， ， 解得． 18．如图，在四边形中，，，，，连接． (1)求的长度； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理得，即可求解； （2）由勾股定理逆定理得，由即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ． 19．如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的求解，熟练掌握解决翻折图形的方法为解题关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再有折叠性质得到：，设，再由勾股定理求出x的值，进而求出最后结果； （2）由勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得：， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：， ； （2）解：在中，， ． 20．如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ， ． (2) 22 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到，得出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ∴， 的面积． 21．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点，河边有两个入口，通过道路，可前往观景点，且．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点在上）．经测量：，，． (1)判断是否为从到河边的最近道路，并说明理由； (2)新修的路比原来的路近多少千米？ 【答案】(1)是从到河边的最近道路，理由见解析 (2)新修的小路比原来的路近 【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知，根据垂线段最短判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 是从到河边的最近道路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ， 解得， ， 故新修的小路比原来的路近． 22．在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． (1)【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； (2)【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2)13 (3)元 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【详解】（1）略 （2）解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． （3）解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 23．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1) (2)25 (3)x的值为7.2 【分析】（1）仿照题干给定的方法进行求解即可； （2）将点A向上平移得到，连接，，则，，得到当三点共线时，此时的最小值为，此时总路程最短，进行求解即可； （3）构造，，垂足为D，，进而得到，勾股定理逆定理结合等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 24．综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的取3） 素材1  如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物． 素材2  如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 5 11 10.3 4 10 9.85 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米．将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)， (3) 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为，底面半径为6，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （3）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为， 此时最短路程是厘米， ∵ 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解：， ∵， ∴表格中b表示的大小关系是； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章勾股定理单元自测卷 【新教材，北师大版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各组数中，是勾股数的是（) A.7,8,10 B.8,24,25 C.3,4,5 D.5,10,13 2.在Rt△ABC中，斜边BC=4,则AB+BC2+AC2的值为() A.12 B.22 C.32 D.无法计算 3.我国古代数学典籍《算法统宗》记载了这样一道题，其大意是：昨日丈量田地回到家，记得长方形田 的长为30步，宽与对角线的和为50步，不知田有几亩.设长方形田的宽为X步，则可列方程为() A.30+x=50-x B.302+(50-x)}=x2 C.302+x2=(50-x)月 D.x2+(50-x)}=302 4.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固 定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一小时后分 别位于点Q,R处，且相距20海里.如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号的航行方向 是() P A.北偏西40°B.北偏西50 C.北偏东40° D.南偏东50° 5.如图，一张三角形纸片ABC,∠C=90°，BC=6cm,AB=10cm.将纸片沿直线DE折叠，使点A与 点B重合，则CD的长是() 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 9 7 A.cm B.2cm C.cm D.3cm 6.如图，在△ABC中，ABBC:CA=3:4:5,且△ABC周长为36cm.点P从点A开始沿AB边向点B以 1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发，那么 经过3s,△BP的面积为() 个 A P>B A.12cm2 B.18cm2 C.24cm2 D.36cm2 7.如图，点E在△ACD的高AB上，且△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若BE=3,AC=5,则 CD的长为() A B A.7 B.8 C.9 D.10 8.如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一个长方体的木块.己知AD=8米，AB=T米，该木块的较 长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米， 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.17 B.517 c.V113 D.19 9.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”·如图是由 八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MWKT的面积分别为S, S2,S3.若正方形EFGH的边长为2，则S+S2+S的值为(). D 夕 A.6 B.8 C.12 D.16 10.如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20的长方体表面从顶点A爬到上表面的边上的点B处，点 B离点C的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是() B 20 10 15 A.25 B.5V29 C.5w37 D.35 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.在△ABC中，∠A=90°，a=10,则a2+b2+c2= 12.如图，直角三角形ABC两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个 月牙形图案（阴影部分）的面积之和为 B 13.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号 以每小时l6 mile的速度沿北偏西50°方向航行，“海天”号以每小时20 nmile的速度沿北偏东40°方向航 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 行，它们离开港口半小时后分别位于R,Q处，此时两艘轮船相距nmile. P E 14.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=8,将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为 DE,则BE= E 15.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.若AC⊥BD,AB=4,CD=V5,则 BC2+AD2=」 16.如图，AD是△ABC的边BC上的高，分别以线段AB,AC,BD,CD为边向外作正方形，正方形的 面积分别为S,S2,S,S4.若S=4,S,=7,则S3与S4之间满足的数量关系为 S2 S B S D S 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分：共8小题，共72分） 17.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.若AB=5cm,BC=3cm, 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)求AC的长度： (2)求CD的长度. 18.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=V2,CD=V5,DA=1,连接AC. D (1)求AC的长度； (2)求四边形ABCD的面积. 19.如图，△ABC是一张纸片，∠C=90°，AC=6,BC=8,先将其折叠，使点B与点A重合，折痕是 DE, E B (1)求CD的长： (2)求重叠部分的面积. 20.如图，在△ABC中，AD⊥BC.垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA,连接AE. E D C (1)求证：∠B=∠ACB, (2)若AB=5,AD=4,求△ABE的面积. 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A,河边有两个入口B,C,通过道路BA,CA可前往观 景点A,且BC=AC.因景区改造，需要关闭通道AC,为方便游客观景，分散人流，决定新修道路AD (点D在BC上).经测量：AB=1.5km,AD=1.2km,BD=0.9m D (I)判断AD是否为从A到河边的最近道路，并说明理由； (2)新修的路AD比原来的路AC近多少千米？ 22.在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略。 a 6 2 B C B D 图1 图2 图3 ()【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角 三角形的两直角边长分别为，b,斜边长为c,观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积 即可完成勾股定理的证明.请你结合图形尝试证明：a+b2=c; (2)【结论运用】如图2，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°.若BC=5,AB的长比AC的长大1，求 AB的长： (3)【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃ABC,其中AB=13米，BC=14米，AC=15米， 计划在这块花圃中起一道栅栏AD,将其分隔成两块花圃，并使得栅栏AD与三角形边BC互相垂直，预计 栅栏每米的造价为50元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 23.“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题， 素 【提出问题】求代数式 材 2+32+V12-x+2的最小 值. 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【建立模型】如图1，V2+32可看 作直角边分别是x和3的直角三角 形的斜边， V(12-x}+2是直角边 素 分别是12-x和2的直角三角形的斜 3 材 边.构造两个直角三角形， 使它们 B(E)12-x F 二 的一个顶点重合、各有一条直角边 图1 在同一直线上，这时 CF =x +12-x =12 AC =3 DF ,问题就转为“在CF上求点B, 使.AB+BD最小”问题. 【解答过程】如图2，连接AD,交 CF于点B,此时，AB+DB的值最 小，将AC延长至点H,使得 CH=DF=2,连接HD.: 素 AH=AC+CH=3+2=5,HD=CF= 材 ,∴.在Rt△ADH中， B 三 AD=V52+122=13, 图2 4B+DBmin AD=13, V2+32+V12-x)}+22的最小值 是13. B 图3 (任务一：【解决问题】代数式V2+22+V(4-x)}+32的最小值为· 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽8km,村庄A点到河岸的垂直距离为3km,村 庄B点到河岸的垂直距离为5km,且点A,B到河岸的垂足之间的水平距离为l5km.现计划在河上建一座 垂直于河岸的桥PQ,使得从A到P,过桥PQ,再从Q到B的路程最短，则最短路程为km. (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足V81-x2+V144-x2=15,求x的值 24.综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π取3） 测量路径 调节圆柱高 的细线 度的橡皮筋 圆柱底面 底面圆直径为6cm 直径 高为10cm的圆柱 图1 图2 图3 素材1如图1，圆柱形纸盒的高AC为12厘米，底面直径BC为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只 蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物 素材2如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线 (借助细线来反映爬行的路线)、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，(1)中两 种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小 11 10.3 x>Y 10 9.85 x>y 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12+6=18厘米.将 圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时 最短路程是 厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 (用“一”或“二”填空) (2)填空：表格中a的值是 一；表格中b表示的大小关系是 (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r,圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与 圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 8/8