暑期综合提升测试01【范围：第一章 勾股定理】-2025-2026学年八年级数学上册暑假提升试题（北师大版2024）

2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（北师大版2024） 第一章 勾股定理综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 2．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 3．（本题3分）如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 4．（本题3分）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）在棱长为1的正方体中，顶点，的位置如图所示，处有一小虫，它沿正方体表面爬到点处，则小虫爬行的最短距离是（    ） A．3 B． C． D． 6．（本题3分）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的竖直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 10．（本题3分）如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，，，，则 ． 12．（本题3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 13．（本题3分）如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 14．（本题3分）如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 15．（本题3分）如图，在中，，分别以边，向外作正方形，其面积分别为11，7，则 ． 16．（本题3分）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 17．（本题3分）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 18．（本题3分）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 20．（本题8分）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？ 21．（本题10分）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 22．（本题10分）为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形区域进行改建，将四边形全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量，，，，，． (1)求两点间的距离； (2)求铺设草坪的费用． 23．（本题10分）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 24．（本题10分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 25．（本题10分）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个后，测得米，米，米，米．    (1)求的长度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求图中阴影部分土地的面积． 第2页，共7页 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（北师大版2024） 第一章 勾股定理综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 2．（本题3分）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负性． 由非负数的和为0可得各边长，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可判断形状． 【详解】解：由方程可知，每个非负数项均为0，得： ，，， 解得：，，， 三边分别为9、12、15， 验证勾股定理的逆定理： 满足，故该三角形为直角三角形， 故选：A． 3．（本题3分）如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在中，米，米， ∴（米）， 故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）． 故选：C． 4．（本题3分）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为、，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出，然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 5．（本题3分）在棱长为1的正方体中，顶点，的位置如图所示，处有一小虫，它沿正方体表面爬到点处，则小虫爬行的最短距离是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题．把此正方体的侧面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如图，展开后可知： ，，， ∴在中， ， ∴蚂蚁所爬行的最短路线的长是． 故选：D． 6．（本题3分）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的竖直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的竖直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得：． 故选：B． 7．（本题3分）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 8．（本题3分）如图，在中，，，，是边上的高，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，先根据勾股定理算出，以及三角形面积公式得，再结合是边上的高，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴ 解得， 故选：B 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴负半轴于点，则的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用， 解此题的关键是求出的长． 根据勾股定理求出的长，再由进而求出的长，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：点的坐标分别为， ， ， ， ， 则的面积为； 故选：C． 10．（本题3分）如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，结合图象先求出筷子在杯子里面的部分，即可计算得出结论． 【详解】解：如下图，当筷子斜放在杯中时，筷子露出杯口部分长度最小， 由题意得：， ， 则筷子露出杯口部分长度的最小值为， 故选：D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，利用勾股定理，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， 故答案为：4 12．（本题3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 m 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，勾股定理求出的长，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理定理，得：， ∴旗杆折断之前的高度是； 故答案为：18． 13．（本题3分）如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 14．（本题3分）如图，中，， 以的三边为边向外作正方形， 其面积分别为 ， 且,则 ． 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积公式可得，再根据勾股定理可求得的值，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 故答案为：2． 15．（本题3分）如图，在中，，分别以边，向外作正方形，其面积分别为11，7，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理即可求出，进而可求出，即可求出面积． 【详解】解：∵在中，，分别以边，向外作正方形，其面积分别为11，7， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 17．（本题3分）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 【答案】9 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”．首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 故答案为：9． 18．（本题3分）在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的证明，勾股定理的灵活运用，本题中证明三角形全等得到相邻两个正放的正方形面积和等于这两个正方形间斜放的面积是解题的关键．由正方形的性质证明，则可得，同理得，，由此即可求解． 【详解】解：如图，由题意知，； ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 同理得，， ∴； 故答案为：4． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）在中，于点D， 故在中， ． 20．（本题8分）如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？ 【答案】10cm 【分析】将正方体侧面展开图展开，由勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示． ∵BC＝2cm，棱长为6cm， ∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm 由勾股定理得， AB＝＝10（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm． 【点睛】此题考查了平面展开一最短路径问题，利用勾股定理是解题的关键． 21．（本题10分）如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由垂直得到，进而得到，证明，即可得到； （2）根据勾股定理得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）证明：，， ． ，． ． 在和中， ． ； （2）解：在中， ， ， ． 22．（本题10分）为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形区域进行改建，将四边形全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量，，，，，． (1)求两点间的距离； (2)求铺设草坪的费用． 【答案】(1)15m (2)22800元 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理的公式是解题的关键． （1）连接，在中，由勾股定理即可求解； （2）先由勾股定理逆定理证明，再由求出面积，即可求出费用． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ． 答：，两点间的距离为． （2）解：，，， ，． ， ， ， 则（元）． 答：铺设草坪的费用为22800元． 23．（本题10分）如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 24．（本题10分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)此时物体C升高了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 25．（本题10分）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个后，测得米，米，米，米．    (1)求的长度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)5米； (2)直角三角形； (3)24； 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （3）由，结合三角形面积公式解答； 【详解】（1）（米）， （米）； （2）是直角三角形， ， ， ， 是直角三角形； （3） （平方米）；　 即阴影部分面积为24平方米． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，勾股定理逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形；勾股定理：直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方；是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 第20页，共20页 第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$