第一章勾股定理◆章节过关检测 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版新初二数学衔接突围 第一章勾股定理◆章节过关检测 解析版 一、单选题 1．（20-21八年级下·湖南张家界·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．5，4，3 B．5，12，13 C．6，8，10 D．6，4，7 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理，只要验证两较小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵， ∴5，4，3可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴6，8，10可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，4，7不可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形的三边长，只要利用勾股定理逆定理加以判断即可． 2．（20-21八年级下·河南许昌·期中）在下列各组数中，是方程解的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】将各选项的值代入方程验证即可． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，符合题意； C：，不符合题意； D：，， ，不符合题意； 故答案选B． 【点睛】此题主要考查了方程的解，涉及了勾股定理和勾股数的有关知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 3．（21-22八年级下·广西梧州·期中）一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】根据三边比例关系，可以发现两条边的平方和第三边的平方，满足勾股定理，据此可以判断． 【详解】解：因为三角形三边之比为3：4：5，设三边长分另为3x、4x、5x， 则， 即：两条边的平方和等于第三条边的平方，符合勾股定理逆定理条件， 所以这个三角形是直角三角形， 故选 B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键． 4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（   ） A．6，7，8 B．5，6，7 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：选项A（6，7，8） 最长边为8，验证和： ，，和为，而． ∵， ∴不能组成直角三角形． 选项B（5，6，7） 最长边为7，验证和： ，，和为，而． ∵， ∴不能组成直角三角形． 选项C（，，） 化简为（，2，），最长边为，验证 和： ，，和为，而． ∵， ∴不能组成直角三角形． 选项D（5，12，13） 最长边为13，验证 和： ，，和为，而． ∵， ∴能组成直角三角形． 故选D． 5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）有4组小棒，长度分别为：①2，3，4；②；③；④（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，则此三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：①，不能搭成直角三角形； ②，能搭成直角三角形； ③，不能搭成直角三角形； ④，能搭成直角三角形； 即恰好能搭成直角三角形的是②④， 故选：B． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺，退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺． 因此方程为：， 整理得：， 故选：C． 7．（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 8．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在中，．若，，则的长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，证明，再由勾股定理得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理计算判断即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴最大角是，∴能构成直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题 11．（20-21九年级下·甘肃金昌·期中）已知a，b，c为三角形的三边，且满足，这个三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】根据非负数的性质求出a，b，c的值，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了非负数的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用非负数的性质求出a，b，c的值． 12．（23-24八年级上·广东茂名·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请你写出一组“勾股数” ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】根据勾股数的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴这一组“勾股数”为6，8，10． 故答案为：6，8，10（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）正方体盒子的棱长为3，M是棱BC上一点，且，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ； 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理；把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，利用勾股定理可求得． 【详解】解：如图1所示，将正方体展开，连接，     根据两点之间线段最短，． 如图2所示，将正方体展开，连接， 根据两点之间线段最短，； ∴一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为， 故答案为：． 14．（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为2.4，高CD为0.6，则这个轮子的半径长为 ． 【答案】1.5 【分析】连接OB，由垂径定理得出BD的长；连接OB，再在Rt△OBD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接OB，如图所示： 由题意得：OC⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝1.2， 在Rt△OBD中，根据勾股定理得： ， 即 ， 解得：OB＝1.5， 即这个轮子的半径长为1.5， 故答案为：1.5． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 15．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 三、解答题 16．（20-21八年级下·湖北宜昌·期末）判断以12，16，20为边长的三角形的形状． 【答案】直角三角形 【分析】勾股定理的逆定理：在三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可. 【详解】解： 以12，16，20为边长的三角形是直角三角形. 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键. 17．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 【答案】（1）；；（2）见解析． 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，求得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中， ∴ ∵在中， ∴ （2）证明：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理的表达式是解题关键． 18．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）小亮在跨学科学习中，想要通过数学知识计算到底要登上多少层楼才能“穷千里目”．如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，为站在楼顶处的视线，与地球半径构成了．设（即1000里），取地球半径为． (1)求建筑的高；（参考数据：） (2)若建筑每层高约．楼有多少层？ 【答案】(1) (2)6250层 【分析】本题考查了勾股定理的应用： （1）根据勾股定理可求出的长，即可求解； （2）用的高除以，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， （2）解：楼的层数为：（层）． 答：楼有6250层． 19．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． (1)求BC的长； (2)求∠BCD的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求出CD，BD的长度，利用勾股定理的逆定理证明三角形BCD是直角三角形，可得∠BCD等于90度． 【详解】（1）解：如图，可知，，， ∴ ． （2）解：如图， 由勾股定理可得，， ， 由（1）知， ∵ ， ∴， ∴BCD是直角三角形， ∴∠BCD． 【点睛】本题考查勾股定理与勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 20．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用三角形的面积即可求解； （2）由已知可得，再分别在、和中，利用勾股定理可得，据此即可求解． 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， 解得． 21．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先利用勾股定理求出和，得到，再利用勾股定理的逆定理进行证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，，． ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 22．（20-21九年级上·浙江温州·期末）如图，在矩形中，为边中点，的中垂线分别交，，，的延长线于点，，，，延长交的延长线于点． （1）证明：． （2）连结，当时，求的度数． （3）当时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）45°；（3） 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）证明是等腰直角三角形即可； （3）证明后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴． 在矩形中，， ∴，， ∴，， ∴． （2）如图1，连结， ∵，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴． ∵是的中垂线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）如图2，连结交于点， ∵是的中垂线， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形，线段的垂直平分线，勾股定理，熟练运用三角形的相似是解题的关键． 23．（24-25八年级下·广东广州·期中），求的长. 【答案】的长为 【分析】本题考查了勾股定理.由题意可知，，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版新初二数学衔接突围 第一章勾股定理◆章节过关检测 一、单选题 1．（20-21八年级下·湖南张家界·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．5，4，3 B．5，12，13 C．6，8，10 D．6，4，7 2．（20-21八年级下·河南许昌·期中）在下列各组数中，是方程解的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（21-22八年级下·广西梧州·期中）一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（   ） A．6，7，8 B．5，6，7 C．，， D．5，12，13 5．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）有4组小棒，长度分别为：①2，3，4；②；③；④（单位：cm），小颖分别用各组中的三根小棒首尾相接搭成三角形，其中恰好能搭成直角三角形的是（    ） A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（  ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在中，．若，，则的长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．13 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 10．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列以a，b，c为边的三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（20-21九年级下·甘肃金昌·期中）已知a，b，c为三角形的三边，且满足，这个三角形是 三角形． 12．（23-24八年级上·广东茂名·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请你写出一组“勾股数” ． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）正方体盒子的棱长为3，M是棱BC上一点，且，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ； 14．（21-22九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为2.4，高CD为0.6，则这个轮子的半径长为 ． 15．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 三、解答题 16．（20-21八年级下·湖北宜昌·期末）判断以12，16，20为边长的三角形的形状． 17．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B=∠D=90°，若AB=4，BC=3，CD=8，DE=6，AE2=125． （1）求AC、CE的长； （2）求证：∠ACE=90°． 18．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）小亮在跨学科学习中，想要通过数学知识计算到底要登上多少层楼才能“穷千里目”．如图，圆弧代表地球剖面的一部分，圆心为O，为直立于地面的某高层建筑，为站在楼顶处的视线，与地球半径构成了．设（即1000里），取地球半径为． (1)求建筑的高；（参考数据：） (2)若建筑每层高约．楼有多少层？ 19．（21-22八年级下·安徽合肥·期末）如图，网格是由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上． (1)求BC的长； (2)求∠BCD的大小． 20．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 21．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，垂足为，且．求证：是直角三角形． 22．（20-21九年级上·浙江温州·期末）如图，在矩形中，为边中点，的中垂线分别交，，，的延长线于点，，，，延长交的延长线于点． （1）证明：． （2）连结，当时，求的度数． （3）当时，求的值． 23．（24-25八年级下·广东广州·期中），求的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$