第16讲 比较线段的长短（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第16讲比较线段的长短 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1两点之间线段最短 题型2线段的数量问题的应用 题型3线段的和与差 题型4作线段（尺规作图） 题型5线段中点的有关计算 题型6线段n等分点的有关计算 题型7与线段有关的动点问题 04过关检测一练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握比较线段长短的两种方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（放 到同一直线上比较端点位置)。 度量法、叠合法、线 2.理解线段中点的概念，掌握中点将线段分成两条相等的线段，能进行相关 段中点、尺规作图、 计算和推理。 等分点、数形结合。 3.能用尺规作图作一条线段等于已知线段，并作线段的和与差。 4.体会几何图形中数量关系和位置关系的相互转化，培养逻辑思维和几何直 观。 学习重点：用度量法和叠合法比较线段长短，理解线段中点的概念及作用，能用尺规作线段的和与 差。 学习难点：叠合法中“重合端点”的操作与判断，以及用线段中点进行比例计算和符号表达（如 AM=MB=AB),尺规作图的基本操作规范。 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识|框引架 用刻度尺量出长度 度量法 叠合法方向判断错误 线段长短的比较方法 数值大的线段长 中点表达式符号混淆 高频易错点 将一条线段移到另一条上 叠合法 距离与线段概念混淆 一个端点重合看另一端点位置 线段长短比较方法 定义 将线段分成两条相等线段的点 中点计算问题 高频考点 比较线段的长短 线段的中点 中点把线段平分 性质 线段和差作图 中点只有一个 表示 若M为AB中点则AM=MB=AB/2 连接两点间线段的长度 定义 和 两点之间线段最短性质 两点之间的距离 两条线段长度相加 线段的和与差 差 两条线段长度相减 求最短路径问题 应用 作图 用尺规作线段的和与差 知1识I精I讲 知识点01线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点 之间的距离， 【易错提醒】 线段性质易错警示：两点之间线段最短。注意：是“线段”最短，不是直线或射线。两点间距离指线段长 度，非线段本身。比较线段长短可用度量或叠合法，勿与“直线无限延伸”混淆。中点定义需准确。 即时即练1.高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道 穿过，把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是() A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.平行线之间的距离最短 D.垂线段最短 知识点02线段大小比较 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.比较线段大小的方法：(1)目测法；(2)度量法；（3)叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端 点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短.如下图： D B AB=CD AB>CD AB<CD 【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法， 【易错提醒】 线段大小比较易错警示：可用度量法（统一单位）或叠合法（一端对挤，看另一端位置）。注意：叠合法 需考虑线段方向，比较的是长度而非位置。单位不一致时先换算。勿仅凭视觉判断（如弯曲线段）。中点 将线段分为相等两部分。 即时即练1.如图，点E、F在线段AB上，点M、N分别是AE、BF的中点，AB=12,且 AE:EF:FB=1:2:1,那么线段MN的长是 A E 知识点03尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图 【说明】(1)只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题， (2)直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以 在上面画刻度. (3)圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度. 【易错提醒】 尺规作图易错警示：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹。注意：直尺只能画直线，不能量长度；圆 规画弧或截取等长。作图后需写结论。基本作图（作相等线段、角、垂直平分线等）步骤要清晰，勿随意 增加刻度尺测量。 即时即练1.作图题：如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图： 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A .B D c ()做射线BC: (2)取一点P,使点P既在直线AB上又在直线CD上： 3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A,B,C,D四点距离之和最短.画 出点M的位置，并写出该最短距离和是 知识点04线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C,则AC+BC=AB;AC=AB·BC:BC=AB·AC, 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. C A B 【易错提醒】 线段和差易错警示：线段的和差是长度运算，结果仍为线段。注意：作图时需截取相等长度，并用圆规或 刻度尺准确。计算时注意单位统一，如AB+BC=AC需验证点B是否在AC上。勿与角度运算混淆。 即时即练1.如图，点C,E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB=6,CD=1. A E D C (1)图中共有 条线段： (2)求BC的长： (3)若AE:EC=13,求EC的长 知识点05线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，如下图所示，点C是线段AB的中 1 点，则AC-CB=2AB,或AB=2AC=2BC.A C 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上. 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 线段中点易错警示：中点将线段分为两条相等的线段(AM-MB-2AB)。注意：点必须在线段上，且满 足等距。若只知AM=MB而点不在线段上，则不是中点。中点公式在数轴上为&+x)/2,勿漏除以2。 即时即练1.线段AB上，M为AC的中点，N为DB的中点，AB=a,CD=b,MN=() A M C D B A.a+b 1 11 B.a- C.za-zb 1+1b 2 D.2a+2 2.如图，A,B,C,D是直线I上的四个点，M,N分别是AB,CD的中点. 1有MBC衣D (1)如果MB=2cm，,NC=1.8cm,BC=5cm,则AD的长为 (2)如果MN=10cm,BC=6cm,则AD的长为 (3)如果MN=a,BC=b,求AD的长，并说明理由， 03 题型突破 题型1两点之间线段最短 【例1】如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周 长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 【例2】小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩.他通过导航软件发现有三条可 选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里.能解释这一现象的数学知识是 5/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 天竺山森林公园 18.4公里 15.8公里 15.4公里 小海家 【技巧归纳】 最短路径问题：化曲为直， 利用两点之间线段最短。如蚂蚁在几何体表面爬行，展开成平面后连接两点。 实际中修路选最短。也可作对称点转化折线为直线。验证时，若路径为折线，则直接线段更短。结合三角 形两边之和大于第三边。常见于最短距离。 【变式1-1】安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形较为复杂.如图，在A村与B村之间有一座大山， 原来从A村到B村，需沿道路A→C→B绕过村庄间的大山，打通A,B间的隧道后，就可直接从A村到 B村，缩短A村到B村的路程其中蕴含的数学道理是 【变式1-2】锦州市开展冬季研学活动，从市府广场出发，开车去东方华地城，打开导航，显示两地直线 距离为41.8km,但导航提供的三条可选路线长却分别为57km,59km,62km.能解释这一现象的数学知识是 市府广场 41.8km 东方华地城 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2线段的数量问题的应用 【例3】如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光 明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票. 深港高关 广州 线培图 广州南站 虎门站 东莞 ● 庆盛站 深圳 广深港高 (内地段) 深圳北站 福田站 香港 深港高铁 (香港段) 西九龙站 【例4】如图，点A,B,C在直线I上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线 B 【技巧归纳】 若一条直线上有n个点（含端点），则线段总数=C,2)=n血-1)/2。若只数部分区间，按端点分类计数。也 可用“基本线段”累加法：先数最短的，再数长的。注意重复计数，按从左到右顺序。如4个点有6条。 适用于计数题型， 【变式21】如图，图中有线段 条，分别是线段 图中有射线。 条，分别是射线 【变式22】湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营.一张云巴票就能领略沿途10余个景点，感受大王山 人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过7个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站， 观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种 01山 02欢乐 03欢 04华谊电 05大 06桐溪 07植物 08学 09观 塘站 雪域站 乐城站 影小镇站 王山站 公园站 公园站 士站 音港站 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3线段的和与差 【例5】如图，线段AB=16,点C是线段AB上一点，且AC=3BC,点D为线段AC的中点，则线段CD= A D C B 【例6】已知线段AB,在AB的延长线上取一点C,使BC=2AB,在AB的反向延长线上取一点D,使 DB=3AB,则线段AC的长度是线段DA的长度的一倍. 【技巧归纳】 线段和：AC-AB+BC(B在A、C之间)。差：AB=AC-BC。利用等量代换求未知线段。若给出比例，设 x表示。注意中点：AM=MB=AB/2。结合图形，用线段和差表示目标线段。如AB=AC+CD+DB。常设未 知数列方程。折叠问题中利用相等关系。 【变式3】如图，CDE为线段N上的三个点，DE-号W=3,线段y的长为 M 【变式32】若点A,B,C在同一条直线上，如果线段AB=7cm,线段BC=4cm,那么A,C两点之间 距离是 题型4作线段（尺规作图） 【例7】如图，已知线段a,b(a>b),用直尺和圆规画出线段c,使它等于2a-b.(只写出作法) a b 解：(1)画射线OA: (2)在射线OA上顺次截取OB=BD= (3)在线段OD上截取OC=」 线段 即为所求。 【例8】如图，平面上有四个点A,B,C,D,根据下列语句画图： A. B D c 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画线段AC,BD交于E点： (2)作射线BC: B)反向延长BC至F,使得BF=3BC-BD.(不写作法，保留作图痕迹) 【技巧归纳】 用无刻度直尺和圆规。作线段等于已知线段：画射线，在射线上截取等长。作线段和差：依次截取或从长 线段中截取。作中点：作垂直平分线。注意保留作图痕迹，写清步骤。圆规截取长度不变。尺规作图不能 测量刻度，只能转移长度。用圆孤确定交点。 【变式41】如图，已知线段AB,请用尺规按下列要求作图： A B (I)延长线段AB到C,使BC=AB; (2)延长线段BA到D,使AD=AC 3)如果AB=2cm,那么AC= cm.BD= cm.CD= cm 【变式42】(1)如图，已知线段a、b.请用尺规按要求作图： a b ①作线段AB=a: ②在线段AB的延长线上截取BC=b;(不要求写画法，保留作图痕迹) (2)若点D是线段AC的中点，用含a、b的式子表示线段BD的长. 题型5线段中点的有关计算 【例】如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm,CB=8cm,DE分别是ACAB的中点.求： D E C B (1)求DE的长度； (2)若M在直线AB上，且MB=6cm,求EM的长度 【例10】如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点 B M (1)如果AB=22cm,AM=5cm,求NC的长 (②)如果MN=7cm,求AB的长 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 中点将线段分为两等份。若M是AB中点，则AM=MB=AB/2。已知AB求AM;已知AM求AB=2AM。 多个中点：依次取半。也可用方程思想：设AM=x,则AB=2x,结合其他条件求x。注意中点必须在线段 上。分类讨论：若点在延长线上，则不是中点。常用”一半”关系。 【变式51】如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=13cmBC=3cT A C B D (1)图中共有条线段： ②)求AC的长： 3)若点E在直线AD上，且EA=4Cm,求BE的长， 【变式52】(1)如图1，点C为线段AB上一点，AC与CB长度之比为3：5，D为线段AC中点. B AMD C N B 图1 图2 ①若AB=16,求BD的长 ②点E为线段BD的中点，若CE=m,求AB的长（用含的代数式表示）， (2)如图2，点M为线段AD中点，点N为线段BC中点，若AB=a,CD=b,请用含a,b的代数式直接 表示出MW的长. 题型6线段n等分点的有关计算 【例11】已知线段AB=30,延长BA至点C,使CB:AB=4:3,点D、E均为线段BA延长线上两点，且 BD=3AE,M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为 【例12】二等分点：又叫线段的 把线段分成 的两部分. B 即：如图，若点P是线度B的中点，则4P=PB或B=24P=2肥 三等分点：把线段分成 的三部分.以此类推 【技巧归纳】 n等分点将线段分成n等份。若点P是AB的m等分点(AP:PBm:n-m),则AP=m/'AB。已知比例可 设每份为x,列方程。注意等分点位置：从A起第k个分点，AK=k/:AB。多个等分点时，用比例关系转 10/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 化。常设份数法，避免分数运算。验证总和等于全长。 【变式6-1】如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，己知AD=10,AC=6, A C B D (1)求BC的长： (2)若点P是线段AC上靠近点A的三等分点，求BP的长. 【变式6-2】已知线段AB=90Cm,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合）. M B (1)若M,N分别是AC,BC的中点，求MN的长度： 回若M-写4C,BN-号BC,求N的长： 3 (3)在(2)的条件下，若BC=30cm且G点在直线AB上，GB=15cm,求MG的长度. 题型7与线段有关的动点问题 【例13】已知线段AB,点C为线段AB上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是AC和 BC的中点 (1)若DE=5cm,求AB的长； (2)若点C恰好是AB的中点，且AD=6cm,求DE的长 【例14】已知点C为线段AB上一动点，点D,E分别是线段AC和BC的中点. E B (1)如图，若线段AB=10cm,AC=4cm,求线段DE的长： (2)若线段AB的长为a,则线段DE的长为_（用含a的代数式表示）· 【技巧归纳】 设运动时间为t,用t表示动点位置（如P从A出发速度为V,则AP-vt)。根据线段和差或中点条件列方 程。注意方向：向B运动则AP+PB=AB;若往返需分段。解方程求t,检验是否在运动范围内。常用数轴 表示，设坐标法更简便。分类讨论相遇、追及。 【变式7-1】如图，已知线段AB=20cm,点M从点A出发以lcm/s的速度沿A→B的方向运动，同时点 N从点B出发以3Cm/s的速度沿B→A的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运 动时间为s. 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 水B 根据题意回答下列问题： (1)当t=3s时，MW=」 -:当t=6s时，MW= (2)若C为线段AB上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点D. ①若4D-号4C,求线段BC的长： 3 ②若BD=4CD,求线段AC的长. 【变式7-2】如图，已知数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,满足la-16+b+12=0.动点P从 点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为‘秒 B 0 A (I)数轴上点A表示的数是 一，点B表示的数是 BA+BP 2)若点p从4点出发向左运动，点Q为p的中点，在点p到达点B之前，求证：B0为定值。 04 过关检测 一、单选题 1.如图，A、B两点之间的距离指的是() A B A.线段AB B.射线AB C.线段AB的长度 D.△ABC中∠C的对边 2.如图，A,B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度， 其中蕴含的数学道理是() 12115 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.经过一点可以作无数条直线 B.经过两点有且只有一条直线 C.两点之间，有若干种连接方式 D.两点之间，线段最短 3.已知线段AB=10cm,AC+BC=12cm,则点C的位置可能会出现以下的()种情况. ①在线段AB上： ②在线段AB的延长线上； ③在线段BA的延长线上： ④在直线AB外， A.0 B.1 C.2 D.3 4.如图，点C在线段AB上，线段AC=6,BC=8,点M、N分别是AC、BC的中点，则MN=() A M B A.6 B.7 C.8 D.9 5.如图，数轴上O,A两点的距离为24，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中 点A处，第2次从A点跳动到AO的中点A处，第3次从A点跳动到A,O的中点A处.按照这样的规律继 续跳动到点A,4,A,…,A,(n≥3，n是整数)处，问经过这样2026次跳动后的点A6与原点的距 离是() P O As A A A 1 1 A.3× C.3x 1 22024 B.3× 22023 22022 D.3× 22021 二、填空题 6.下列三个日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上：②植树时，只要定出两个树坑的位 置，就能使同一行树坑在一条直线上：③把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，其中，可以用“两点之间， 线段最短”来解释的现象是 (填序号)， 7.如图，在直线上顺次取A,B,C,D四点，则AC= +BC=AD- AC+BD-BC= A B C D 8.如图，AB=6,C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD=3AC,则线段BD的长为 B 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6,动点P从点A出 发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，MN始终为AP,BP的中点，设 运动时间为>0)秒，则下列结论中正确的有 ①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，t=2;④在点P的运动过程中，线段MN的 长度不变， 2 N←-PMA 0 4 10.规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成 “美丽组”.已知，数轴上点P所表示的数是-4，点O表示的数是2，数轴上另有一点N,若要使P, Q,N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为 三、解答题 11.如图，已知C,E为线段AB上的点，AE=13cm,CB=12cm,AB=28cm,D是AC的中点. B (1)求EC的长度： (2)求DE的长度， 12.如图，点C为线段AB的中点，点MN在线段AB上，已知AM:MC=1:3, AM C N BAM CN B 备用图 (1)若AM=2Cm,求线段AB的长： 2)若CN=5cm' 8-号N,来绕段B的长 13.如图，点A,B,C是不在同一条直线上的三个点.用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕 迹) A B c (I)①画直线BC: ②画线段CA,并延长线段CA到D,使得点A为CD的中点： ③画射线BA,在射线BA上截取BE=2AB (2)在(1)的条件下，若AB=AC,CD=8cm,求BE的长 14.已知点C在线段AB上，若AC=5BC或BC=5AC,则称点C是线段AB的“五美点”. 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【理解定义】 (1)若线段AB=6,C是线段AB的“五美点”，则AC=一 【解决问题】 (2)如图，E在射线OM上，OE=12」 O D K F E M 若点D、F均为线段OE的“五美点”，且OD<OF,又K为线段DE的中点，求线段KF的长度 15.如图，C,B两点在线段AD上（点C在点B左侧），点E在线段AC上，点F在线段BD上. A E CBFD A E CB FD 图1 图2 (I)如图1，点E为线段AC中点，点F为线段BD中点. ①若AD=9,BC=1,则EF的长为一： ②若AB=6,CD=4,求EF的长 包咖图2，当5C=4C,D-兮8D时，B=2CD求5的位 EF 3 16.琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣. 如图1，图2，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点.若AB=10,AC=6,求MN的长. A M C N B A M CN B 图1 图2 (I)根据题意，琪琪求得MN=: (②)琪琪在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开 始深入探究. 己知AB=a,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解 答： ①如图1，M,N分别是AC,BC的中点，则MN=-: ②如图2，M,N分别为靠近A、B的AC,BC的三等分点，即4M-号4C,BN=写8BC,求MN的长： ③若MN分别为茶近A,B的AC,BC的u等分点，即4M=月4C,BN-BC,则N=一 n 15/15 第16讲 比较线段的长短 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两点之间线段最短 题型2 线段的数量问题的应用 题型3 线段的和与差 题型4 作线段（尺规作图） 题型5 线段中点的有关计算 题型6 线段n等分点的有关计算 题型7 与线段有关的动点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 度量法、叠合法、线段中点、尺规作图、等分点、数形结合。 1. 掌握比较线段长短的两种方法：度量法（用刻度尺量长度）和叠合法（放到同一直线上比较端点位置）。 2. 理解线段中点的概念，掌握中点将线段分成两条相等的线段，能进行相关计算和推理。 3. 能用尺规作图作一条线段等于已知线段，并作线段的和与差。 4. 体会几何图形中数量关系和位置关系的相互转化，培养逻辑思维和几何直观。 学习重点：用度量法和叠合法比较线段长短，理解线段中点的概念及作用，能用尺规作线段的和与差。 学习难点：叠合法中“重合端点”的操作与判断，以及用线段中点进行比例计算和符号表达（如 AM = MB =AB），尺规作图的基本操作规范。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 【易错提醒】 线段性质易错警示：两点之间线段最短。注意：是“线段”最短，不是直线或射线。两点间距离指线段长度，非线段本身。比较线段长短可用度量或叠合法，勿与“直线无限延伸”混淆。中点定义需准确。 即时即练1．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短． 【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：两点之间，线段最短． 故选A． 知识点02 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 【易错提醒】 线段大小比较易错警示：可用度量法（统一单位）或叠合法（一端对齐，看另一端位置）。注意：叠合法需考虑线段方向，比较的是长度而非位置。单位不一致时先换算。勿仅凭视觉判断（如弯曲线段）。中点将线段分为相等两部分。 即时即练1．如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得ME=，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 知识点03 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 【易错提醒】 尺规作图易错警示：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹。注意：直尺只能画直线，不能量长度；圆规画弧或截取等长。作图后需写结论。基本作图（作相等线段、角、垂直平分线等）步骤要清晰，勿随意增加刻度尺测量。 即时即练1．作图题：如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)做射线； (2)取一点P，使点P既在直线上又在直线上； (3)若A、C两点之间的距离为4，B、D两点之间的距离为3，点M到A，B，C，D四点距离之和最短．画出点M的位置，并写出该最短距离和是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查射线，直线和线段，以及线段的性质： （1）根据射线的定义，作图即可； （2）直线的交点即为点； （3）两点之间线段最短，得到，的交点即为点，再进行求解即可． 【详解】（1）解：作射线，如图； （2）直线和直线的交点就是点P； （3）连接，交于M，点M即为所求，最短距离和是 知识点04 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 【易错提醒】 线段和差易错警示：线段的和差是长度运算，结果仍为线段。注意：作图时需截取相等长度，并用圆规或刻度尺准确。计算时注意单位统一，如AB+BC=AC需验证点B是否在AC上。勿与角度运算混淆。 即时即练1．如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据线段的定义即可求解； （）根据线段中点定义及线段和差关系即可求解； （）利用线段和差关系求出，再根据线段的比即可求解； 本题考查了线段，线段的和差，中点的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，线段共有条， 故答案为：； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 知识点05 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【易错提醒】 线段中点易错警示：中点将线段分为两条相等的线段（AM=MB=AB）。注意：点必须在线段上，且满足等距。若只知AM=MB而点不在线段上，则不是中点。中点公式在数轴上为 (x1+x2)/2，勿漏除以2。 即时即练1．线段上，M为的中点，N为的中点，，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．先由，再根据中点的性质得，，最后由线段的和差关系即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∴． 故选：D． 2．如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为________cm； (2)如果，，则的长为_________cm； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1) (2)14 (3)． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出的长，利用线段中点的性质，得出，． （1）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：14； （3）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ． 题型1 两点之间线段最短 【例1】如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短即可解答． 【详解】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【例2】小海同学计划到距家直线距离为12.9公里的天竺山森林公园游玩．他通过导航软件发现有三条可选路线，如图所示，长度分别为15.8公里，15.4公里，18.4公里．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键． 根据两点之间，线段最短求解即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【技巧归纳】 最短路径问题：化曲为直，利用两点之间线段最短。如蚂蚁在几何体表面爬行，展开成平面后连接两点。实际中修路选最短。也可作对称点转化折线为直线。验证时，若路径为折线，则直接线段更短。结合三角形两边之和大于第三边。常见于最短距离。 【变式1-1】安溪地处戴云山脉东南坡，山峦起伏，地形较为复杂．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路绕过村庄间的大山，打通，间的隧道后，就可直接从村到村，缩短村到村的路程.其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短．根据该性质即可解答． 【详解】解：蕴含的数学道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式1-2】锦州市开展冬季研学活动，从市府广场出发，开车去东方华地城，打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握线段的性质两点之间、线段最短是解题的关键． 直接运用线段的性质即可解答． 【详解】解：打开导航，显示两地直线距离为41.8km，但导航提供的三条可选路线长却分别为，能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 题型2 线段的数量问题的应用 【例3】如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票． 【答案】 10 20 【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2种票，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站， ∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5个站，且每两个站之间有一种票价， ∴图中线段的条数即为票价种类数， ∵图中有线段，共10条线段， ∴有10种不同的票价， ∵两个站之间有往返票， ∴两个站之间有2种票， ∴要准备种车票， 故答案为：10；20． 【例4】如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【答案】 3 6 1 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点， 根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线； 根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段． 故答案为：1；6；3． 【技巧归纳】 若一条直线上有n个点（含端点），则线段总数=C(n,2)=n(n-1)/2。若只数部分区间，按端点分类计数。也可用“基本线段”累加法：先数最短的，再数长的。注意重复计数，按从左到右顺序。如4个点有6条。适用于计数题型。 【变式2-1】如图，图中有线段 条，分别是线段 ；图中有射线 条，分别是射线 、 、 、 、 ． 【答案】 6 5 【分析】此题考查了线段、射线的识别，根据线段和射线的定义进行解答即可． 【详解】解：如图，图中有线段6条，分别是线段；图中有射线5条，分别是射线、、、、． 故答案为：6，，5，、、、、 【变式2-2】湖南湘江新区大王山欢乐云巴对外运营．一张云巴票就能领略沿途余个景点，感受大王山人文风情，如图，乘云巴从山塘站出发，沿途经过个车站方可到达观音港站，那么运营公司在山塘站，观音港站两站之间往返需要安排不同的车票 种． 山塘站 欢乐雪域站 欢乐城站 华谊电影小镇站 大王山站 桐溪公园站 植物公园站 学士站 观音港站 【答案】 【分析】本题考查了如何求线段的条数的问题，设首尾两站为点，点是线段上的七个点，求出之间的所有线段条数，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设首尾两站为点，点是线段上的七个点， 则图中共有线段条， ∵到与到车票不同， ∴从到的车票共有种， 故答案为：． 题型3 线段的和与差 【例5】如图，线段，点是线段上一点，且，点为线段的中点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，线段中点的定义，根据，代入数据进行计算即可求出的长；再求出的长，然后根据线段中点的定义求解即可．准确识图并掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴． 故答案为：． 【例6】已知线段，在的延长线上取一点C，使，在的反向延长线上取一点D，使，则线段的长度是线段的长度的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键．根据题意画出图形，由线段的和差倍分解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 线段和：AC=AB+BC（B在A、C之间）。差：AB=AC-BC。利用等量代换求未知线段。若给出比例，设x表示。注意中点：AM=MB=AB/2。结合图形，用线段和差表示目标线段。如AB=AC+CD+DB。常设未知数列方程。折叠问题中利用相等关系。 【变式3-1】如图，、、为线段上的三个点，，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的和差关系．根据进行计算即可； 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：15． 【变式3-2】若点，，在同一条直线上，如果线段，线段，那么，两点之间距离是 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间距离，分析两种情况求解：点可能在线段上，也可能在线段的延长线上，进而即可求解．根据题意画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】解：若点在线段上，如图， ∵，， ∴； 若点在线段的延长线上，如图， ∵，， ∴， 综上所述，，两点之间距离是或． 故答案为：或． 题型4 作线段（尺规作图） 【例7】如图，已知线段，用直尺和圆规画出线段c，使它等于．（只写出作法） 解：（1）画射线； （2）在射线上顺次截取______； （3）在线段上截取______，线段______即为所求． 【答案】（2）a；（3）b； 【分析】本题主要考查了线段之间的关系作图，根据第一二步得到，第三步截取后得，线段即为所求． 【详解】解；（1）画射线； （2）在射线上顺次截取； （3）在线段上截取，线段即为所求． 【例8】如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画线段，交于E点； (2)作射线； (3)反向延长至F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段，两点之间的距离等知识． （1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线的定义画出图形； （3）在的延长线上截取，在线段上，截取，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段，交于E点，点E即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图，线段即为所求． 【技巧归纳】 用无刻度直尺和圆规。作线段等于已知线段：画射线，在射线上截取等长。作线段和差：依次截取或从长线段中截取。作中点：作垂直平分线。注意保留作图痕迹，写清步骤。圆规截取长度不变。尺规作图不能测量刻度，只能转移长度。用圆弧确定交点。 【变式4-1】如图，已知线段，请用尺规按下列要求作图： (1)延长线段到C，使； (2)延长线段到D，使 (3)如果，那么______， ______， ______ 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析 (3)4，6，8 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差． （1）根据，可得线段； （2）根据，可得线段； （3）根据线段中点的性质，可得的长根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得的长． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示； （3）解：∵，，，     ， 故答案为：4，6，8． 【变式4-2】（1）如图，已知线段、．请用尺规按要求作图： ①作线段； ②在线段的延长线上截取；(不要求写画法，保留作图痕迹) （2）若点是线段的中点，用含、的式子表示线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】本题考查了作线段、与线段中点有关的计算、整式加减的应用，熟练掌握作线段和线段的运算是解题关键． （1）①根据作线段的方法，作线段即可得； ②根据作线段的方法，在线段的延长线上截取即可得； （2）先求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据即可得． 【详解】解：（1）①作线段，如图所示： ②在线段的延长线上截取，如图所示： （2）∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 题型5 线段中点的有关计算 【例9】如图，已知点为线段上一点，，，分别是的中点．求： (1)求的长度； (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，数形结合，注意分类讨论，是解题的关键． （1）根据线段中点定义得出，，求出即可； （2）分两种情况当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别是中点， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知，， ①当点在线段上时， ∵， ∴， ②当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴的长为或． 【例10】如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质将线段长度进行转化，结合已知条件通过和差关系求解． （1）主要关键步骤：由M是中点得求出长度；再由与的差求出长度；最后由N是中点得求出长度． （2）主要关键步骤：由M、N分别是、中点得、；根据推出，进而求出长度． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点N是线段的中点 ∴ （2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点 ∴ ∵ ∴ 【技巧归纳】 中点将线段分为两等份。若M是AB中点，则AM=MB=AB/2。已知AB求AM；已知AM求AB=2AM。多个中点：依次取半。也可用方程思想：设AM=x，则AB=2x，结合其他条件求x。注意中点必须在线段上。分类讨论：若点在延长线上，则不是中点。常用“一半”关系。 【变式5-1】如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据线段的定义，有两个端点，根据题目所给线段，枚举出所有线段即可； （2）根据点B为的中点，，即可求得的长； （3）分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在延长线上时，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：图中的线段有共6条， 故答案为：6； （2）解：∵点B为的中点，， ∴． ∵， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①如图（1），当点E在上时， ∵， ∴； ②如图（2），当点E在延长线上时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 【变式5-2】（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键． （1）①由设，，根据可求解值，即可得，的长，结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由设，，则，利用线段的和差，结合中点的定义可求解，由，进而可求解的长． （2）根据中点定义得到，即可求出． 【详解】（1）解：①由设，， ∵，， ， 解得， ，， 为线段的中点， ， ． ②解：如图所示． 由设，， ∴， 为线段的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 解得， ． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 题型6 线段n等分点的有关计算 【例11】已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 【例12】二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 【答案】 中点 相等 相等 【知识点】线段之间的数量关系、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键． 【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．     即：如图，若点P是线段AB的中点，     则或 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 故答案为：中点；相等；相等． 【技巧归纳】 n等分点将线段分成n等份。若点P是AB的m等分点（AP:PB=m:(n-m)），则AP=m/n·AB。已知比例可设每份为x，列方程。注意等分点位置：从A起第k个分点，AK=k/n·AB。多个等分点时，用比例关系转化。常设份数法，避免分数运算。验证总和等于全长。 【变式6-1】如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长； （2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以； （2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点， 所以， 则． 所以． 【变式6-2】已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 题型7 与线段有关的动点问题 【例13】已知线段，点C为线段上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是和的中点 (1)若，求的长； (2)若点C恰好是的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由计算即可得解； （2）由题意可得，，，结合计算即可得解． 【详解】（1）解：如图： ， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点C恰好是的中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴， ∴． 【例14】已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质． （1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可； （2）假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为，利用线段中点的性质即可表示出线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ； （2）解：假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ， 故答案为：． 【技巧归纳】 设运动时间为t，用t表示动点位置（如P从A出发速度为v，则AP=vt）。根据线段和差或中点条件列方程。注意方向：向B运动则AP+PB=AB；若往返需分段。解方程求t，检验是否在运动范围内。常用数轴表示，设坐标法更简便。分类讨论相遇、追及。 【变式7-1】如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 【变式7-2】如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 一、单选题 1．如图，A、B两点之间的距离指的是（    ） A．线段 B．射线 C．线段的长度 D．中的对边 【答案】C 【详解】解：A、B两点之间的距离指的是线段的长度． 2．如图，A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是（     ） A．经过一点可以作无数条直线 B．经过两点有且只有一条直线 C．两点之间，有若干种连接方式 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【详解】解：A，B两地间修建曲路与修建直路相比，增加了路程的长度，其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短． 3．已知线段，则点C的位置可能会出现以下的（    ）种情况． ①在线段上； ②在线段的延长线上； ③在线段的延长线上； ④在直线外． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差计算与两点之间的距离，分四种情况逐一讨论验证即可解题． 【详解】解：①若点在线段上 ，与矛盾，故①不可能． ②若点在线段的延长线上 设，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故②可能． ③若点在线段的延长线上 设 ，则 由得： 解得，存在符合条件的点，故③可能． ④若点在直线外 根据两点之间，线段最短，可得，即， 因此可以等于，存在符合条件的点，故④可能． 综上，②③④共3种可能情况． 4．如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义求出和的长，再利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，． ∴． 5．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，根据，两点的距离为，与点的距离是，到点的距离是，得出规律到点的距离是，即可解答． 【详解】由题知，因为数轴上，两点的距离为， 因为点为的中点，所以点与点的距离是； 因为点为的中点，所以点到点的距离是； 依次类推，点到点的距离是是； 点到点的距离是； 所以点到点的距离是， 当时，点与点的距离是， 故答案为：． 二、填空题 6．下列三个日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上：②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上：③把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是_______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了两点之间，线段最短；两点确定一条直线； “两点之间，线段最短”是指两点之间所有路径中线段最短，用于优化距离；现象③中改直公路缩短路程，应用此原理． 【详解】解：现象①用两根钉子固定木条，基于“两点确定一条直线”； 现象②定出两个树坑使树坑在一直线上，也基于“两点确定一条直线”； 现象③把弯曲公路改直缩短路程，应用了“两点之间，线段最短”． 故答案为：③． 7．如图，在直线上顺次取，，，四点，则______________，_______． 【答案】 【详解】解：由线段的关系可知， ． 8．如图，，为的中点，点在线段上，且，则线段的长为____________． 【答案】5 【详解】解：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5 ． 9．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【分析】先求出点对应的数，可判断①；再求出时对应的点的位置即可判断②；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． 10．规定：在数轴上的三个点中，其中一个点是另外两个点所构成的线段的中点，我们则称这三点形成“美丽组”．已知，数轴上点P所表示的数是，点Q表示的数是2，数轴上另有一点N，若要使P，Q，N三点形成“美丽组”，则点N表示的数为_______． 【答案】或或8 【分析】分三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 当为线段的中点时，点N表示的数为； 综上：则点N表示的数为或或8. 三、解答题 11．如图，已知C，E为线段上的点，，，，D是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线段的和差求解； （2）首先求出，然后由线段中点的性质求出，然后利用线段的和差求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 12．如图，点C为线段的中点，点M、N在线段上，已知 ， (1)若，求线段的长； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，由，可设，则，，根据，即可得出，再根据点C为线段的中点，可得，即可得出的长； 由可知，根据点C为线段的中点，由线段的中点定义可得：，再根据，即可得出，再根据已知，由可得出：，解方程求出x的值，则得的值，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点C为线段的中点， ； （2）解：由（1）可知， ∵点C为线段的中点， ， ， ， ，， ， ， ，， ． 13．如图，点A，B，C是不在同一条直线上的三个点．用尺规按下列步骤作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)①画直线； ②画线段，并延长线段到，使得点为的中点； ③画射线，在射线上截取． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段、直线、射线以及线段和差计算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）①根据直线的定义作图即可；②首先作线段，延长，并截取即可；③根据射线的定义作出射线，并在射线上截取即可； （2）首先根据线段中点的定义可知，结合易得，再根据即可获得答案． 【详解】（1）解：①②③如图所示； （2）解：因为，点为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以． 14．已知点在线段上，若或，则称点是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段是线段的“五美点”，则_____； 【解决问题】 （2）如图，在射线上，． 若点均为线段的“五美点”，且，又为线段的中点，求线段的长度． 【答案】（）或；（） 【分析】（）先根据“五美点”的定义得到与的两种数量关系，再结合线段的长度和的线段和关系，分别计算出两种情况下的长度； （）先依据“五美点”定义和的条件确定和的长度；接着计算和的长度；再利用中点的性质求出的长度；最后通过线段的差求出的长度． 【详解】（）在线段上， ， 是线段的“五美点”， 或，即或， 或， 又， 或． （）点、均为线段的“五美点”，且， ， ， 为线段的中点， ， ． 15．如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 16．琪琪在学习了比较线段的长短时对下面问题产生了探究的兴趣． 如图1，图2，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，琪琪求得 ； (2)琪琪在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊规律，于是她先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 已知，C是线段上任意一点（不与点A，B重合），琪琪提出了如下三个问题，请你帮助琪琪解答： ①如图1，M，N分别是，的中点，则 ； ②如图2，M，N分别为靠近A、B的，的三等分点，即，，求的长； ③若M，N分别为靠近A、B的，的n等分点，即，，则 ． 【答案】(1)5 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了线段中点的意义、线段的和差计算； （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； ②根据、，可知、，所以可得，从而可得； ③由，，知，，即得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）①因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ②，， ，， ， ， ； ③，， ，， ， ， ， 故答案为：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $