数学（二）-【T8联考】2026年冲刺新高考压轴训练卷

冲刺新高考·2026届高考压轴训练 数学（二） 参考答案及多维细目表 题号 1 2 3 5 7 8 9 10 11 答案 B A B D B AB ABD ACD 1.【答案】B 【解析】依题意得M={-1,1,2},∴.其非空真子集的个数为23-2=6. 2.【答案】A 【解析】z+22|=|-1+4i+2(-1-4i)|=|-3-4i=5. 3.【答案C 【解析】0<a<1,可知椭圆的焦点在y轴上，长半轴长为1，半焦距为√1-a2,∴.离心率e=√1-a2 心1 部每a-识 4.【答案】C 【解析】由经验回归直线经过样本中心(2022,4059)求得a=15,∴.回归直线方程为y=2x+15,令x =2026,得2026年营业额的预测值为4067万元. 5.【答案】B 【解折I:PA)·PB1A)+1-P(A)》P(BA)=P(B)=分，P(A)- 21 6.【答案】A 【解折】在△ABC中，esinA+b=2bc0sS+cosB, esinAcs Cccos B,csin A=bcos C+ccos B=a. 2 由正弦定理得sin Asin C=sinA..A∈(0，π)，∴.sinA>0,∴.sinC=1l. 结合C∈(0，x),可得C-受∴△ABC一定为直角三角形. 7.【答案】D 【解析】不妨设△ABC的腰长为1，则A店·AC-=1X1×cos120=-】 21 a.A店=(xAi+yAC)A店-2 又Ap2=(xAB+yAC)2=x2-xy+y2,AP1=Vx2-xy十y. 1 x一 -+ 4 ,∴.c0sa= 红=xv+w,则c0sax2=yyI osia8 数学（二）参考答案第1页共9页 当号=4时限等9e的最大值为7公 8.【答案】B 【解析】令n=2k-1(k∈N*),得a2=8k-6十a2-1; 令n=2k(k∈N'),得a2+1=8k-2-a2. .a2张+1=8k-2-(8k-6+a2-1),即a2+1十a2k-1=4. .a1十a3+…十a99=25X4=100. a2=8k-6十a2-1, 2a4=82k-6X50+2.11=8×4+50×50-30+10=1000. 2 ÷2。.=1000+10=1010. =1 9.【答案】AB 【解析们：函数gx)=2sn(-）+看)2sin3x一）的最小正周期T-2。 g+到=g选项A正确 “g(）=2n)=2sn受-2为最大直可知-行是函数gx)的图象的对称轴， 9 e+）=侣-小选项B正确： “g+到=g-小，令x=0可得g阁-（赁}函数gx在区间0，）上不单调， .选项C错误； :g图)-2n(得看）-2sinx=0,函数g《c)的图象关于点（得0中心对称透顶D错误。 10.【答案】ABD 【解析】设M(xoyo)为曲线T上一个动点，关于直线y=一x对称的点为M1(一yo,一xo),代入曲线 T的方程，仍然成立，可知点M1仍在曲线T上，选项A正确； ,当x=0时，y=0,且(x2十y2)2=4xy≥0，.曲线T的图象过原点且分布在第一、三象限，∴.选项 B正确； 设⊙Q的方程为x2十y2-Dx十Ey,联立 (x2+y)2=4y,得(Dx+Ey2=4x. x2+y2=Dx+Ey, 当y=0时，x=0,∴.有交点(0,0). 当y≠0时，整理得D2 依题意，除去原点后，还有且仅有一个交点A,∴.方程只有唯一解，即△=(2DE一4)2一4DE2=0,解 得DE=1. 又易知B(D,0),C(0,E),由∠BOC=90°可知BC为⊙Q的直径， ∴So8-子BC-}x(D+E)≥2xDE-,当且仅当D=E=1时，取等号. 数学（二）参考答案第2页共9页 “圆面积有最小值分，∴选项C错误； 易知Sea=号0B·0C=3∴选项D正确 11.【答案】ACD 【解析】如图，连接BD,交AC于点M,取BT中点N,连接MN,.易知TD=2MN. 在正因面体TABC中，易知AMB=MT-写MNLBT,MN=√BM-BN- 21 TD=2×号-包，选项A正确， D 6 易知正四面体的商为力一合直线D与平面AC夹角的正弦值为常念号资项B 错误； :QP-AP-AQ=zAB-(1-z)AT,QR-QT+TR-xAT+(1-z)TC Qp.Q求-[xAB-(1-x)AT]·[xA卞+(1-x)TC]=x2AB.AT+x(1-x)AB.T心- x(1-x)A-(1-x)2A卞.TC 易知A店.A=号，A店，T元=A店.(AC-A)=A店，AC-A店，A疗=0，A=1,A,T心= -Q驴.a成=7-x1-z)+21-x0=2x-2x+2 在△APQ中，由余弦定理，得PQ2=x+1-x)-2·2x(1-x)=3x-3x+1. 同理，QR|2=3x2-3x+1. 故cos∠PQR= Q2.Q求2.x2-2x+ ∠PQR<,选项C正确， 设TA=a,Ti=b,T心=c,Ti=d,易知a十c=b十d. XTQ-za,TR-(1-z)c,TP-TA+AP-a+x(b-a)-a+x(c-d), :.QR-TR-TQ=(1-x)c-xa,QP-TP-TQ-a+x(c-d)-xa-(1-x)a+xe-xd. 又E产∥平面PQR,故存在入，μ∈R,使得E-AQR+uQP, “i-i+萨-26+e)+A1-x)ea]+a[1-xa+e-d]-[2+a1-)a+ 数学（二）参考答案第3页共9页 [1+Aa-z)+r1e-(2+x4, 而点F在直线TD上，故存在y∈R,使T?=yd. 5-λx+1-x)=0 x+1 消去入，得u=一22x2-2x+1)1 1+λ(1-x)+u.x=0, ∴y=-(（+a=4z+2e[01. -x2+3x-1 记f(x)= x-3x+1) -4x2+2x+1 2(22x+1)则f'(x)=22x-2x+1 易知了在区同,1+上单，在区同+5，小上单递放 :f(0)=- +-==a=a, .当x从0增加到1时，点F运动的路程为√2 得-（》引-区，-四透项D 正确. 12.【答案】14 【解析】数据从小到大排列为10,12,14,15,17,20,23,30,39,9×25%=2.25，.下四分位数为14. 13.【答案】13 1 4 【解析】由一元二次方程实根的分布得△=2-8m>0,:m,k为整数，8m十1≤2≤(m十1)，解 m-k+2>0, m>0. 得m2≥6m,.m≥6.当m=6时，k=7,∴.m十k的最小值为13. 【解析】当x=0时，命题显然成立，a∈R. 当x>0时，要使sinz十az2-x≥0恒成立，只需使a≥一sn工恒成立. 设g(x)=-sin工，则g'(r)=-x(cosx+1)+2sin 2cos 2sin 2-xcos 2 2 23 先考虑x∈(0,2π)，g'(π)=0， 2cos2 x 2 2tan 当x≠π时，g'(x)= 2,i记hx)=2an豆-x,则h'(x)=1 -1>0. ∴.h(x)分别在区间(0，x),(π，2π)上单调递增. h(0)=0,h(2x)=-2π，故x∈(0，π)时，h(x)>0,x∈（π，2π）时，h(x)<0. 数学（二）参考答案第4页共9页 六8x)在区间0，)上单调递指：在区间(x,2上单漏递减，有极大值)-是 再考虑x∈[2π，十o∞)时，g(π)-g(x)= 1x-sinx>1z十11_2m+1_2r10. 元 x2 πx2π-4x2 4π2 “g(x)的全局最大值为】，a的取值范围为 元，+∞. 15.解：(1)设{an}的公比为q,.a1q=a1十2，a1(q-1)=2, …2分 又a1q2=9,…3分 六两武相除，得，2-92g-9g十9=0， …4分 3 解得9=)，或9二3.…严 …6分 3 (2)记Sm为{am}的前n项和，当q= 时，由a1(g-1)=2得a1=4,…8分 3)” 此时S。=a1-g”) 1 =4X ≥8Y 1-q 2 ………10分 1一9 当g=3时，由a1(g-1)-2得a1=1, …11分 此时Sn=a11一g）=1-33-1 1-91-3 2 …13分 16.(1)证明：如图，取AD的中点H,连接OH,BH,BD. 由于四边形ABCD为菱形，∠ADC-∠DAB=行AB=AD,△ADB为等边三角形， 又H为AD的中点，OA=OD,∴.AD⊥BH,AD⊥OH,.AD⊥平面OBH. ,OB二平面OBH,AD⊥BO.…3分 在菱形ABCD中，，P为BC的中点，.PB⊥DH,.四边形PBHD为平行四边形，.PD∥BH. 又P,Q分别为CB,CO的中点，则PQ∥BO. AD⊥BH,AD⊥BO,∴AD⊥PD,AD⊥PQ. …5分 又PQ∩PD=P,PQC平面DPQ,PDC平面DPQ,AD⊥平面DPQ.…7分 (2)解：如图，以DA为x轴，DP为y轴，过点D且垂直于底面的直线为之轴，建立空间直角坐标系. 由1)得平面PDQ的一个法向量n=(10,0),易知B1,3,0。 20P0,√3,0A1,0,0),D(0,0,02 …10分 由OB-,OH=VOA-A-号，BH-可知08=OF+BH,∴OHLBH. 数学（二）参考答案第5页共9页 og号）i-go小励-，- …13分 设BM=λBO(0≤A≤1)，DM=-DB+BM= 131-A),7A ………………14分 2’2 记MD与平面DPQ所成的角为0，则 sin 0=Icos(DM,n)=In DM] 1 sv310 |n·|DM1W/10x2-6入+4 哥+ 31 当且仅当入=时，s9取得最大值， 31 …15分 17.解：设n个冰淇淋按从大到小的顺序记作x1,x2,…,xm, 记事件A:第一个提供的冰淇淋是x4i=1,2,3,,m,易知P(A,)=壳 记事件B,:最终选到的冰淇淋是x;,j=1,2,3,…,n,易知P(B,)=Pn().…3分 (1)若第一个冰淇淋是x1,则x1被拒绝，最后选到x2,x3,x4是等可能的， 1 则P(BA=0,P(B2A)=P(BA)=P(B4A1)=3…4分 若第一个冰淇淋是x2,则x2被拒绝，最后仅选到x1, 则P(B1|A2)=1,P(B2|A2)=P(B3A2)=P(B4A2)=0.…5分 同理，P(B:A,)=P(B,A,)=2,P(B,A,)=P(B,A)=0,P(B:A)=P(B,A)=P(B A)=,P(BA,）=0. ……6分 因此由全概率公式得P,)-名PB.A,)PA,)-0+1X}+×+日×-是 同理P,(2)=24P.(3)=6P,(4)=2 …7分 (2)由全概率公式得P.(1)=P(B1)=∑P(B1A:)P(A:). 由(1)知当i=1时，P(B1A1)=0;当i=2时，P(B1A2)=1；…10分 当3≤i≤n,i∈N*时，若A,发生，由对称性，最终取到x1,x2,…,x:-1是等可能的， .P(B IA)-P(B IA)-P(AP(AP(A]-0X+1X 日（图）×容 ………………………14分 缘上所述B.=PB)-号空d=1,2m …15分 18.解：（1离心率e=@十6-2，代人a=22,解得6=22.3分 ,x2y2 心双曲线的标准方程为8一81……4分 数学（二）参考答案第6页共9页 2)由e=,得到c=4,左焦点坐标F(-4,0).…6 设直线AB:x=my-4,A(x1,y1),B(x2y2). ①由AF=3FB,得y1=-3y2. 联立二加y一4， 消去x,得(m2-1)y2一8y十8=0.……7分 1x2-y2=8, y1+y,8m m2-1' -2y2=8m m2-1’ 把y1=-3y2代入，得 8 及专懈得士号 7 y1y2= m2-1' .直线1的方程为√7x一y十4√7=0或√7x十y十4√7=0.……9分 ⑧根据A,P坐标，得到直线AP方程为y一2-十红十4.当=-2时，得点Q的坐标为 -2,2x1十2y,+4 x1+4 .…11分 2x1+2y1+4 k,-k2=当-2 x1十4 y:_(x2y1-x1y2)+4(y-y)+2(x1-x） x1+4 …13分 -2-x2 x1x2+2x1+4x2+8 由A.F,8三点共线可知汁4二千4即91-13十401一）=0，…14分 2(x1-x2) 2m(y1+y2)-4x2-16 k1-k:=8+x1x2+2(x1+x2)+2x2=-2m(y1+y2)+m2y1y2+2x2+8 16m2 m2-1-4x2-16 =m274x2-16 16m2 =一2， m-1m-1+8+2z:-8m -16m2,8m2 m2-1+2x2+8 1一尼2=一2，为定值。…17分 19.(1)①解：f'(x)=1+lnx+x+a,g'(x)=x-ae. hz）=f'+1D-g'）=2+hz+1+a十ae,k'(x)=克tae.1分 当≥0时，h'(x)E十+ae>0恒成立，h(z)在区间(-1，十∞)上单调递增，最多一个零点 不符合要求； 当a<0时，hx)=十1十ae在区间(-一1，十四)上单润递减，且x一1计时，A'x)十∞，x 十∞时，h'(x)→一∞， .存在x∈（一1，十∞）使得h'(x)在区间(-1，xo)上大于零，在区间(xo,十∞)上小于零， 即he)在区间(-一1，上单调递指，在区间+o)让单调通减，且A'(,)-中十e=0,得 a=一 ……………………3分 e20(x0十1) 函数(x)=f'(x+1)-g'(x)有两个零点，则h(x)>0,即1n(x,十1)+2-e(x,+)一(x十D 1 1 数学（二）参考答案第7页共9页 >0. 11 记p(x)=n(x+1)+2-e(z+a+)则b(x)在区间(-1，+o)上单调递增，且力(0)=0， ∴x0>0. 1 又gx)=e(z十D在区间(-1，+∞)止也单调递增，a=gx)>g0)=e0十)-1. .实数a的取值范围为（一1,0）.…5分 ②证明：由①中的分析知要证x2>2十2a,只需证h(2十2a)>0, 而h(2+2a)=ln(2a十3)十a+2+ae2a+2,a∈(-1,0).…6分 2 记Ha)=ln(2a+3)+a+2+ae+,a∈(-1,0)，则H'a)=2a+3十1+(2a+1De2at+.…8分 2 记t=2a+2e(0,2),g(t)=+1+1+(t-1)e,又μ(t)=(t-1)e,k(t)=te>0,t∈(0,2)， )>(0)=-1,p>,名>0，即Hra)>0,Ha)在区间(-1,0)上单调递增。 .H(a)>H(-1)=0,证毕.…10分 (2)解：易知a<0时，两导函数必有零点，令f'(m)=1+lnm十m十a=0,则a=-(1十lnm十m). 1 1 afm)=mnm士2m2+am=mnm土2m2-+lnm+mm三2m3m,…12分 令g'(n)=n-ae=0,则n=ae.由于a<0,则n<0,g(m)= 2n2-ae*= 2n2-n. f(m)g()-m =2(m+n)(n-m-2)=0,…14分 (1+Inm+m+a=0, 而n-m-2<0,.m十n=0,消去n有 消去a得1+lnm+m-mem=0. -m=ae m, 即1+lnm+m-em+m=0,而1+lnm+m-eam+m≤1+lnm+m-(1+lnm+m)=0,当且仅当 lnm十m=0时取等. .a=-(1十lnm十m)=-1.…17分 数学（二）参考答案第8页共9页 多维细目表 学科素养 预估难度 题型 题号 分值 必备知识 数学逻辑数学直观数学数据 易 中 难 抽象推理建模 想象运算分析 选择题 集合的运算 选择题 2 5 复数的运算 选择题 3 5 椭圆的几何性质 / 选择题 经验回归方程 选择题 5 概率与条件概率 选择题 6 5 解三角形 选择题 平面向量与不等式 选择题 8 5 数列奇偶项求和 选择题 9 6 三角函数的图象和性质 选择题 10 6 高次曲线的性质 选择题 11 6 空间线面关系与角度 填空题 12 5 中位数 √ √ 填空题 13 5 二次函数、根的分布 填空题 14 5 导函数与恒成立问题 L 解答题 15 13 等比数列 解答题 16 15 立体几何 解答题 17 15 概率与全概率公式 解答题 18 17 双曲线的几何性质 解答题 19 17 导数的运用、函数的零点 数学（二）参考答案第9页共9页冲刺新高考·2026届高考压轴训练 数学（二） 满分：150分 用时：120分钟 注意事项： 1.答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知全集U={一1,0,1,2}，且CM={0},则集合M的非空真子集的个数是 A.5 B.6 C.7 D.8 2.若之=一1十4i,则|之十22|= A.5 B.√35 C.6 D.37 B.若椭圆C光+y白10<a<D的离心率为则QE A日 号 A 4.某单位近七年内的营业额如下表所示，记x为年份，y(单位：万元)为营业额. x 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 y y1 y2 y3 ya ys y6 y7 已知y=4059,根据表中数据用最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x十à，则预测 2026年的营业额为 A.4065万元 B.4066万元 C.4067万元 D.4068万元 .已知事件A,B清足P(B)=2,P(BA)=号，P(BA)-号则P(A) A c 6,在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a6,c若cinA-b=26 cooB,则 △ABC一定为 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 数学（二）第1页共4页 7.已知P为等腰三角形ABC所在平面内的一点，∠A=120°，向量AP=xAB+yAC,且 x,y [日，2设问量a正产与A过的夹角为e,则osa的最大值为 A月 8? 3 C.71 D. 8.已知数列{am}满足am+1=4n一2十（一1）”+1am,则{am}的前100项之和为 A.10000 B.10100 C.10200 D.10300 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=2sin3x+ 6,将其图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图 象，则 2π A.g 3 =g(x) B. C函数g)在区间0，写上单调递增 D.函数g(x)的图象关于直线x-7低对称 10.已知曲线T:(x2+y2)2=4xy上有一异于原点的动点A,经过原点和点A的⊙Q与曲 线下有且仅有两个公共点.若⊙Q分别交x轴于点B,交y轴于点C(点B,C不与原点 重合)，则 A.曲线T关于直线y=一x对称 B.曲线Γ过原点且分布在第一、三象限 C.⊙Q面积的最大值为 D.△OBC的面积为定值2 11.如图，在边长为1的正四面体T-ABC中，D是点B关于AC的对称点，点P,Q,R分别 在棱AB,AT,TC上，且满足AP=TQ=CR=x(0≤x≤1).若E为BC的中点，点F 在直线TD上，且满足直线EF∥平面PQR,则下列说法中正确的有 A.线段TD的长为√2 B直线TD与平面ABC所成角的正弦值为 C当x从0增加到1时，≤∠PQR≤ D.当x从0增加到1时，点F运动的路程为丽 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.样本数据17,23,14,10,20,30,12,15,39的下四分位数为 13.已知m,k为整数，若方程2x2一kx+m=0在区间(1，+∞)上有两个不相等的实数根， 则m+的最小值为 14.已知函数f(x)=sinx十ax2-x,当x≥0时，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围为 数学（二）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等比数列{an}满足a2=a1十2，a3=9. (1)求{an}的公比； (2)求{an}的前n项和. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥0-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC=2 3,0A= OD=√2，P,Q分别为BC,OC中点. (1)求证：AD⊥平面DPQ: 专QB=)O,M是线段OB上的一个动点，求直线MD与平面DPQ所成角 值的最大值 D 17.(本小题满分15分) 现有个尺寸不同的冰淇淋，店家将一个个冰淇淋按随机顺序提供给我，我需要选定其 中的一个冰淇淋，尺寸越大越好我的策略是：直接拒绝第一个随机提供的冰淇淋，然后 在后面随机提供的冰淇淋中，选定第一次比第一个冰淇淋大的，如果第一个冰淇淋是最 大的，那么无论最后一个冰淇淋多小，我都将选择最后一个冰淇淋. 设P(k)表示我最终选到的冰淇淋是第及大的. (1)求P4(1),P4(2),P4(3),P4(4); (2)求Pm(1)的表达式. 数学（二）第3页共4页 18.(本小题满分17分) 色知双曲线上：乙-1的离心率为，2，右顶点的坐标为(22,0 (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左焦点为F,过点F作直线1与Γ的左支相交于A,B两点. ①若AF=3FB,求直线l的方程； ②若点P(一4,2)，直线AP与直线x=一2相交于点Q.设直线QA,QB的斜率分 别为k1,k2,求证：k1一k2为定值. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xlnE+号+a,g(2)-号-aea∈R (1)若函数h(x)=f'(x十1)一g'(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2. ①求实数a的取值范围； ②求证：x2>2十2a. (2)若a<0时，f(x),g(x)的导函数f'(x),g'(x)分别有零点m,n,且f(m)十 g(n)=0,求实数a的值 数学（二）第4页共4页■■■ 冲刺新高考·2026届高考压轴训练 数学（二）答题卡 学校 学号 姓名 填涂 正确填涂： 缺考 缺考标记 贴条形码区域 样例 标记 由监考员填涂 1.答题前，请将自己的学校、姓名等填写在规定的位置，核准条形码上的信息与本人相符并 注 完全正确后，将条形码粘贴在规定的位置。 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹 事 清楚。 项 3.必须在答题卡各题日的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 选择题（每小题5分，共40分） 1 IaM四 5W0BW0四 2 [A 1B C 6田团M四 3I四 7田aD 4 A B C 8 LA B C ◆ 选择题（每小题6分，共18分） 9田aM四 10刀0BI四 11刀B C 填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) C M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效