小练24 解三角形及其应用(二)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

数学 ,△ABC为锐角三角形， 0<A<受， 0<B=要-A<受， 3 “晋<A<受， <2A-<晋 ∴sin(2A-晋)e(分，1]， 则号<4CD<12, @<CD≤， 3 即中线CD的取值范周是（石5] (17分) 6.解：1)由A=2R得sinA=, 因为△ABC为锐角三角形，所以A=30°，(1分) 连接AB,AC,如图所示， 由等边三角形中心的位置可知∠B:AC=∠CAB= 30°，故∠B1AC1=90°， 又546-9BC=5。 4 则aG=2,且AB=号×96-号6 同理AC, 由AB+AC=B1C9,得6十c2=12. (4分) 又a2=b+c2-2 bccos30°=6，则bc=2√3， 所以B,C.CB=(AC-AB)·(AB-AC) =AC.AB-AC.AC-AB·AB+AB·AC =bcc0s30°-6.Ec 3ccos60 3bccos60°+0 (7分) (2因为BC=2,AB=号AC-号，且BC- ABi+ACi-2ABL.AC cos(A+60), 所以62+c2-2 bccos(A+60°)=12， 又a2=b+c2-2 bccos A=6, 所以2 bccos A-2 bccos(A+60°)=6， 4 参考答案及解析 则bc= 6 (10分) cosA+√3sinA 所以S△Bc= 子osin A=-于 3sin A cosA+√3sinA 3 1 tanA十3 a6 由iA=2R,a=6,得sinA=录-泉， 因为R∈[55]：所以mA[合，号]a3分) 又△ABC为锐角三角形，所以A∈[30°，45°]， 所以anAe[91]: 则+B∈1+5,2]. 「35-D 所以S∈· 2 即△AC面积的取值范用为[夸，3》].17分) 小练24解三角形及其应用（二） 1.B【解析】如图所示，由题意知，∠CAB=30°， ∠ABC=120°，所以∠ACB=30°，则AB=BC=4,因 为BD=2,∠CBD=60°，则∠CDB=90°，则CD= √/4-2严=2√5.故选B. A B 2.A【解析】由题意，在△BCD中，∠CBD=180°-75 -5一加，由正张定理可知0一0，即碧 50 3 2 BC,所以BC=50, 3 2.在△ABC中，易知AB⊥BC, 2 ∠ACB=60,所以AB=BCXtan60°=506X,5= 3 50√2.故选A. 3.C【解析】如图，过点P作PM⊥AC,垂足为M, p AD M EB C 由题意可知∠PAM=∠PBM=45°，则△PAM, △PBM均为等腰直角三角形，可得AM=BM=PM, 且∠PCM=30°，可得MC=√3PM,因为BC= 参考答案及解析 200(5-1),则√3PM-BM=(5-1)BM= 200(5-1),解得BM=200,所以DE=AB-AD EB=2BM-AD-EB=350,即隧道DE的长度为 350米.故选C. 4,B【解析】在△ABP中，∠APB=45°-30°=15°， ∠ABP=180°-∠BAP-∠APB=180°-(45° AP AB 159)-15°=135，因为n2ABm=sn2APB,且 sin15°=sin(60°-45°)=sin60cos45°-cos60°sin45 62 Ap-ABsinABP 90sin 135 4 sin∠APB sin 15 90×号 =90(√3+1)，在Rt△PAQ中，PQ= -② 4 APsin46°=906W5+1D×号=456+2).故选B. 2 5.D【解析】由题意可知，BC⊥AB,又因为∠CAB= 45°，则△ABC为等腰直角三角形，故AC=√2BC= 200√2，在△ACM中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，则 ∠AMC=5,由正弦定理品=0，可得 AM=ACsin6o° 20vE×号 sin 45 =200√5，由题意可 号 知，MN⊥AN,因为∠MAN=60°，则MN= AMsin60°=200V3×5 =300.故选D. 6.BCD【解析】对于A,在△ACD中，由正弦定理得 AC CD Sin。sing)所以AC-sin米，故A错 误：对于B,在R△ABC中，A=ACn产g号 米，故B正确：对于C,在△ACD中，由正弦定理得 m把n罗。所以AD=学名米，故 sin(B-a) C正确：对于D,在Rt△ABC中，BC=h tan 8 sin米，所以BD=a[1+sin acos]米，故D sin (B-a) sin(B-a) 正确.故选BCD. 7.AC【解析】如图， 48 数学 由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD= 30°，AB=12√6，AC=8√3，所以B=180°-60°-75 =45°，对于A,在△ABD中，由正弦定理得AD sin B sin∠ADB,所以AD AB 126x 2 =24(n mile),故A 2 正确：对于B,在△ACD中，由余弦定理得CD= √/AC+AD-2AC·ADcos∠CAD= √85)+2f-2x85×2×-8(amik),故 B错误；对于C,因为CD=AC,所以∠CDA=∠CAD =30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°方向，故C正 确；对于D,由∠ADB=60°，可知D在灯塔B的北偏 西60°方向，故D错误.故选AC. 8.ACD【解析】对于A,由CD=m,∠BCD,∠BDC可 以解△BCD,又AB=BC·tan∠ACB,可求塔高度 AB;对于B,在△BCD中，由CD=m,∠BCD无法解 三角形，在△ACD中，由CD=m,∠ACD无法解三角 形，在△ABC中，已知两角∠ACB,∠ABC无法解三 角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度 AB;对于C,由CD=m,∠ACD,∠ADC可以解 △ACD,可求AC,又AB=AC·sin∠ACB,即可求塔 高度AB:对于D,如图，过点B作BE⊥CD于点E, 连接AE,由as∠ACB=瓷ms∠BCE-宽， o∠ACE-表，可知ms∠ACE=os∠ACB· cos∠BCE,故可知∠ACD的大小，由∠ACD, ∠ADC,CD=m可以解△ACD,可求AC,又AB= AC·sin∠ACB,即可求塔高度AB.故选ACD. D 9.没有【解析】过点B作BD⊥AE交AE于D,由已 知AC=8,∠BAC=15°，∠ACB=150°，所以 ∠ABC=15°，AC=BC=8.在△BCD中，∠BCD= 30°，BD=BC·sin∠BCD=4>3.8.所以该军舰没有 触礁的危险. 75% 60° D E 数学 10.100√15【解析】由题意，∠DCB=30°，∠CDB= 60°，所以∠CBD=90°，所以在Rt△CBD中，BD= CD=30,BC=9cD=0.又∠DCA=75, 1 ∠CDA=45°，所以∠CAD=60°，在△ACD中，由正 弦定理得A=0所以AC-×号 3 2 2 200√6，在△ABC中，∠ACB=∠ACD-∠BCD= 75°-30°=45°，由余弦定理得，AB2=AC2十BC 2AC·BCcos,∠ACB=(200√6)+(300√3)2-2× 200V6×3005×5=150000,所以AB= 2 100√/15. 11.解：①需要测量的数据有：A点到M,N点的俯角 a1,B;B点到M,N点的俯角a2,B2:A,B间的距离 (4分) B a( ②第一步：计算AM.由正弦定理得AM= dsin a2 sin(a1十am)i (7分) 第二步：计算AN.由正弦定理得AN= dsin B2 sin(B-B) (10分) 第三步：计算MN.由余弦定理得MN= √/AM+AN2-2AM·ANcos(a1-B).(13分) 12.解：(1)依题意，得PA-PB=1.5×8=12(km), PC-PB=1.5×20=30(km), 所以PB=(x-12)(km), PC=(x+18)(km). (4分) 在△PAB中，AB=20km, 由余弦定理，得cOS∠PAB=PA+AB-PB 2PA·AB 2+202-(x-12)2_3z+32 2x·20 5x 同理在△PAC中，c0s∠PAC=2, 3x (7分) 由于cos∠PAB=cos∠PAC, 所以22-2，解得=号（km）.10分) (2)如图，作PD⊥a,垂足为D, 参考答案及解析 在Rt△PDA中，PD=PA·cOs∠APD=PA· cos∠PAB=x.3+32≈17.71(km). 5x 所以目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km. (15分) 小练25平面向量的概念与线性运算 1.C【解析】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 四边形ABCD为平行四边形，又|AC1=|BD1,所以 该平行四边形是矩形.故选C. 2.D【解析】当e1∥e时，因为e1≠0，则存在实数k, 使得e=he1,则a=e1十e1=(1+ak)e,=+达b, 2 此时a∥b:当e,e不共线时，因为a∥b,则存在实数 ,使得a=b,即e十e=2e:,所以211所以若a λ=0. 与b共线，则e1∥e2或入=0.故选D. 3.A【解析】∵BC=4CD,.AC-AB=4(AD-AC), “AD=A心-子A店故选A 4.A【解析】由向量a=e1十3e2,b=-2e1十ke2,且a 与b共线，可得e1十3e2=入(-2e1十e2),可得 二一2以·解得k=一6，故选A 13=k入， 5.C【解析】对于A,假设存在实数入，使得AB=入BC, 则A,B,C三点共线.由a十2b=λ(-5a十6b),得 (=一5入·无解，所以假设不成立，故A错误：对于 2=6以， B,假设存在实数A,使得BC=入CD,则B,C,D三点 其线由-5a+0=10-20得{6以无解，所 以假设不成立，故B错误；对于C,BD=BC+CD=2a十 4b,假设存在实数λ，使得AB=入BD,则A,B,D三点 共线由a十2=A2a十40二纵解得入=专 所以假设成立，故C正确：对于D,AC=AB+BC= 一4a十8b,假设存在实数λ，使得AC=λCD,则A,C, D三点共线.由-4a十8b=A(7a-2b),得 (一4=71'无解，所以假设不成立，故D错误.故选C, 8=-2λ， 6.A【解析】∵PA+PB+PC=AB,PA+Pi+Pd -AB=0,即PA+PB+PC+BA=0,∴.PA+PA+ P元=0，∴2PA+P心=0，点P在线段AC上，且 AC=3PA,∴.△PAB的面积与△ABC的面积之比是拿满基础分自主小练·数学 小练24解三角 (考试时间：30分 选择题（单选每题5分，多选每题6分）】 1.海中有一小岛C,一小船从A地出发由西 向东航行，望见小岛C在北偏东60°方向， 航行4海里到达B处，望见小岛C在北偏 东30°方向，若此小船不改变航行的方向继 续前行2海里，则小船离小岛C的距离为 A.12海里 B.2√3海里 C.16海里 D.4√3海里 2.(教材改编题)如图，测量河对岸的塔高 AB,可以选取与塔底B在同一水平面内的 两个测量基点C和D.现测得∠BCD= 75°，∠BDC=45°，CD=50米，在点C测得 塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为 D A.50√2米 B.100√2米 C.50√3米 D.25√3米 3.(教材改编题)盘兴铁路全长98.309公里， 是贵州省实现“市市通高铁”的最后一个项 目，盘兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是 目前贵州省高铁中桥隧比最高的线路.如 图所示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道 DE的长度，在山顶P点处测得三点A,B, C的俯角依次为a=45°，3=45°，y=30°，其 中A,B,C,D,E为山脚两侧共线的五点. 现预沿直线AC挖掘一条隧道，测得AD= 30米，BC=200(5-1)米，EB=20米，估 计隧道DE的长度为 A.200√2米 B.300米 C.350米 D.400米 E B 4.(教材改编题)鼎湖峰，矗立于浙江省缙云 县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其 峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠 积水成湖.某校开展数学建模活动，有建模 课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为 此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A 4> 班级： 姓名： 形及其应用（二） 满分：81分) 测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15° 的斜坡向上走了90米到达B点(A,B,P,Q 在同一个平面内)，在B处测得山顶P的仰 角为60°，则鼎湖峰的山高PQ为 A.45(/6-√2)米 B.45(6+2)米 C.90(3-1)米 D.90(5+1)米 5.(教材改编题)如图，为测量山高MN,选择 水平地面上一点A和另一座山的山顶C为 测量观测点.从A点测得M点的仰角 ∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45以 及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°. 已知山高BC=200m,则山高MN= M A.240√3m B.240m C.300√3m D.300m 6.(多选)某校数学兴趣小组欲对当地一唐代 古塔进行测量，如图是该古塔AB的示意 图，其中AB与地面垂直，从地面上C点看 塔顶A的仰角为B,沿直线BC向外前进a 米到点D处，此时看塔顶A的仰角为α，根 据以上数据得到塔高为h米，则 D A.AC= sin a 一米 sin(B- B.h=asin asinB米 sin(B-a) C.AD=- asin B米 n(B-a) D.BD=41+ sin gcos2]米 in(B-a) 7.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮的北 偏东75°方向，距离为12√6 n mile;在A处 看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为 8√3 n mile.货轮由A处向正北航行到D 处时，再看灯塔B在货轮的南偏东60°方 向，则下列说法正确的是 A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的南偏西30°方向 D.D处在灯塔B的北偏西30°方向 8.(多选)现某兴趣小组准备对八一南昌起义 纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方 案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔 的基座（即B在A的正下方），在广场内（与 B在同一水平面内)选取C,D两点，测得 CD的长为.兴趣小组成员利用测角仪可 测得的角有∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADC, ∠BDC,则根据下列各组中的测量数据，能 计算出纪念塔高度AB的是 A.m,∠ACB,∠BCD,∠BDC B.m,∠ACB,∠BCD,∠ACD C.m,∠ACB,∠ACD,∠ADC D.m,∠ACB,∠BCD,∠ADC 9.(5分，教材改编题)如图，海中有一小岛B, 周围3.8海里内有暗礁，一军舰从A地出 发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75° 方向，航行8海里到达C处，望见小岛B在 北偏东60°方向，若此舰不改变航行的方向继 续前进，则此舰 触礁的危险，（填 “有”或“没有”) 750 160° E 10.(5分)山东省科技馆新馆目前成为济南科 教新地标（如图1），其主体建筑采用与地 形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美 嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限 48 可能和无限的科技创新.如图2，为了测量 科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶 B之间的距离，无人机在点C测得点A和 点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机 沿水平方向飞行600米到点D,此时测得 点A和点B的俯角分别为45°和60°(A, B,C,D在同一铅垂面内)，则A,B两点之 间的距离为 米. ) 图1 图2 1.(13分)为了测量两山顶M,N间的距离， 飞机沿水平方向在A,B两点进行测量， A,B,M,N在同一个铅垂平面内（如示意 图)，飞机能够测量的数据有俯角和A,B 间的距离，请设计一个方案，包括： ①指出需要测量的数据（用字母表示，并 在图中标出)； ②用文字和公式写出计算M,N间的距离 的步骤 以4 B 2.(15分)如图所示，直线a是海面上一条南 北方向的海防警戒线，在a上点A处有一 个水声监测点，另两个监测点B,C分别在 A的正东方向20km处和54km处.某时 刻，监测点B收到发自静止目标P的一个 声波，8s后监测点A,20s后监测点C相 继收到这一信号，在当时的气象条件下， 声波在水中的传播速度是1.5km/s. (1)设A到P的距离为xkm,用x分别表 示B,C到P的距离，并求x的值； (2)求目标P到海防警戒线a的距离（精 确到0.01km).