小练34 数列的综合应用(二)-【衡水金卷·先享题】2026年新高考数学拿满基础分自主小练

拿满基础分自主小练·数学 班级： 姓名： 小练34数列的综合应用（二） (考试时间：30分钟满分：90分) 1.(13分)记数列{an}的前n项和为Tm,且3.(15分，教材改编题)将正整数数列1,2,3， a=9a=8T.1≥2. 4,5,…的各项按照上小下大、左小右大的 原则写成如下的三角形数表： (1)求数列{am}的通项公式； 1 2)改R.=+名+…十品，证明： 23 a az 456 0。 R<部 (1)写出数表的第5行、第6行； (2)写出数表中第10行的第6个数； (3)设数表中每行的第1个数依次构成数 列{an},数表中每行的最后一个数依次构成 数列{bn},试分别写出数列{an},{bn}的递 推公式，并求出它们的通项公式. 2.(15分)设数列{an}的前n项和为Sm,a1 1,且Sn=(n+1)a 2 (1)求数列{an}的通项公式； (②若么-品数列6的前项和 为Tm,Vn∈N*,Tn<m恒成立，求实数m 的最小值. 67 4.(15分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全6.(17分)在不大于”(k,n∈N",k≥2)的正 年销售额均为a万元，由于经营方式不同， 整数中，所有既不能被2整除也不能被3整 甲超市前n年的总销售额为号(n一n十2) 除的数的个数记为Fk(n). (1)求F2(4),F3(3)的值； 万元，乙超市第n年的销售额比前一年销 (2)对于m,n,p∈N,m<n<p,是否存在 售额多知（侵）万元。 m,n,p,使得F。(m)十F6(n)=F6(p)?若 存在，求出m,n,p的值；若不存在，请说明 (1)求甲、乙两超市第n年销售额的表 理由； 达式； (3)记[x]表示不超过x的最大整数，且 (2)若其中某一超市的年销售额不足另 超市的年销售额的50%，则该超市将被另 8-会F高求灯sHs]+s 一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？ …+[S1oo]的值. 如果有这种情况，至少会出现在第几年？ 5.(15分，教材改编题)已知等比数列{an}的 前n项和为Sm,且am+1=2Sm十2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； an-anti (2)设6，=aa1Tafa1+n∈N） 求数列{bn}的前n项和Tm. 68数学 所以满足S,>100的最小整数n的值为100.(13分) 11.解：(1)因为等差数列{an}满足a1=1,a=2√2十1， 所以d=a,二4=2，所以a.=2m十1-2，(3分) 3-1 所以5，=u+2"4-号e+(1-号)m 2 所以6，=S 号+(1-号)加 2 -竖+(1-号) (6分) 则6.1-6=竖(n+1)+(1-号) - (1-9)-, 即么，}为公若为号的等若数列， (8分) (2)设数列{an}中任意三项am=1十√2(n-1), am=1十√2(m-1),a4=1十√2(k-1), 则an≠am≠ak, 假设an,am,ak成等比数列， 则[1十√2(m-1)]=[1+√2(n-1)][1+√2(k- 1)], 即2(m-1)2-2(n-1)(k-1)=2(n十k-2m). (12分) 因为m,n,k∈N”, 以4-n 所以(k-n)2=0,即k=n,与a≠a矛盾， 所以数列{am}中的任意三项均不能构成等比数列. (15分) 12.解：(1)在甲公司连续工作第n年的月工资是1500 +230(n-1)=230n+1270, (3分) 在乙公司连续工作第n年的月工资是2000X (1十5%)m-1=2000×1.05m-1. (6分) (2)在甲公司连续工作10年，得到的工资之和为 10×(1500+230×10+1270)×12=304200, (10分) 在乙公司连续工作10年，得到的工资之和为 2000×(1-1.0502×12=40000×(1.050-1)× 1-1.05 12≈301872304200， (14分) 所以从甲公司得到的报酬较多： (15分) 小练34数列的综合应用（二） 16 1.解：(1)因为a=3a,=3T-1(n≥2)， 所以a2=3a1=16. (2分) 当n≥2时，3an=3Tm-3Tm-1=am+1一aa, 故am+1=4am, 6 参考答案及解析 所以an=16·4a-2=4(n≥2)， (4分) 而a,=号不满足上式， 16 故数列{a,}的通项公式为a,=3,n=1, (6分) 4",n≥2. 则当1时成一名留部 (8分) 当m≥2时，R=是十是+是十+朵， 故品++是+…++品 于是R-品+（++…+）=+ (1点) 55 3n+4 1- 4+=1923·4’ 553n+455 整理可得R.=4一g·4<144 (12分) 等上R<部 (13分) 2.解：(1)因为S.=m+1)a 2 ①， 所以当n≥2时，S1=ma,二 2 ②， 由0-②得到a.=+4-, 2 整理得到na,-1=(n-1)an, (3分) 又a4=1.所以a,0,得到品片 所以当n≥2时，a=a·8.2…2,a1= an-an2 an-3 al 马×号×x×1= 当n=1时，满足an=n,所以an=n. (7分) (2)由(1)知b,=。十al=2m十1 ai·a+1n2(n十1) =1 n2(n十1)2' 所以T.=b十b十…+6.=1一2京+交一 11 11 7一(m+1)=1-(n+1, (11分) 1 因为(m+1)>0,且6>0， 所以{T}是关于n的递增数列， 由Hn∈N”,T.<m恒成立，得到≥1， 所以实数m的最小值为1. (15分) 3.解：(1)数表中的第5行为11,12,13,14,15. 数表中的第6行为16,17,18,19,20,21. (4分) 参考答案及解析 (2)前10行中每一行的第一个数分别为1,2,4,7,11， 16,22,29,37,46, 所以数表中第10行的第6个数为46十5=51.(7分) (3)a2-a1=1,a3-ag=2,a4-a3=3,…, 所以数列{am}的递推公式为an一an-1=n一1(n≥2， n∈N*), 则an=a1十(a2一a1)十(a-a2)十…十(an一a-1) =1+1+2+…+(n-1) =1+1+n-1)(n-1)=--n+2 2 2 (11分) 由数表可得b2一b1=2,b-b=3,b-b3=4,…, 所以数列{bn}的递推公式为bm一b-1=n(n≥2，n∈ N), 所以b.=b+(b2-b)+(b-b2)+…+(bn 6.-1)=1+2+3+…+n=n(n+1) (15分) 2 4.解：(1)假设甲超市前n年总销售额为Sm,第n年的 销售额为am, 则S.=号（m-n+2), 当n=1时，a1=a: 当n≥2时a,=S-S.1=受(-n+2)-号[(n 1)2-(n-1)+2]=a(n-1), 放a=e空2 (4分) 设乙超市第n年的销售额为bn,则b=a, 当≥2时6-么=（号）广a, 故bn=b十(b2-b)十(b3-b2)+…十(bn-bn-1) =a+号a+(号)a+…+(号)）厂a -[+号+（学》*+（号》1-二（导） 1-号 -[3-2(号)]a, 显然n=1也适合， 故6.=[3-2（号）》]a(m∈N) (8分) 5 (2)当n=2时，a:=a,be=3a,有a:>乞be: 19 当n=3时，a3=2a,b三号a,有aa之2b9 当n≥4时，am≥3a, 而bm<3a,故乙超市有可能被甲超市收购.(11分) 当n≥4时，令2a,>b., 则a-1Da>[3-2(号)， 即-1>6-4（号）即n>7-4(号)》. ·64 数学 又当m≥7时，0<4·（号）<1， 故当eN且≥？时，必有心？-4·（层）厂， 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市年销售额的 一半，乙超市将被甲超市收购. (15分) 5.解：(1)由题意知，当n=1时，a1q=2a1十2①： 当n=2时，a1g2=2(a1十a1q)十2②， 联立①②，解得a1=2,g=3, 所以数列{am}的通项公式为an=2×3-1,(7分) an-axtl (2)因为6=a.a千a,十a1打 (am+1)-(a+1+1)_ 1 Ca.十1)(a+1+1)-a,+i+1a+万n∈N), 所以Tm=b十b+…十b ati a)-stiai 1 1 1 2X3"+1-3 (15分) 6.解：(1)在不大于2的所有正整数中，所有既不能被2 整除也不能被3整除的数为1,5,7,11,13，共5个，所 以F2(4)=5. (2分) 在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除 也不能被3整除的数为1,5,7,11,13,17,19,23,25， 共9个，所以F3(3)=9. (4分) (2)因为在不大于6”的所有正整数中，能被2整除的 数有号个，能被3整除的致有号个，能被6整除的数 个 所以ra)=6-号-号+名-号-26 63 (7分) 若F6(m)十F6(n)=F6(p), 侧鸟+等一皆即6r+6=: 因为m<n<p,所以1十6m=6°-m, 易知1十6”-m是奇数，6m是偶数，上式不成立， 故不存在，n,p,使得F6()十F。(n)=F:(p). (10分) 5 5 (3)由(2)知，当n=1时，S=)2=5, 所以[S]=5, 5 5 6-1 当m≥2时F(7可2,6-2.6< 6 3 2·6m7-6气， (13分) （上式变换注意用到不等式，若a>b>0,c>0,则 bb+c aa+c 所以当n≥2时，S。=】 数学 是+…+)=5+号(1-品) 所以当n≥2时，5<Sn<5.6,[S.]=5, 所以[S]+[S:]+[S]+…+[S]=5×100= 500. (17分) 小练35基本立体图形、简单几何体 的表面积与体积 1.D【解析】对于A,正四棱柱的底面是正方形，故A 错误；对于B,平行六面体中任意两个相对的面一定 可以当作它的底面，故B错误；对于C,平行六面体的 侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故C错 误；对于D,棱柱中至少有两个底面互相平行，故D正 确.故选D. 2.B【解析】因为球的半径为2，所以圆柱的底面半径为 2,高为4，所以圆柱的体积V=π×2×4=16元.故选B. 3.C【解析】如图，建立直角坐标系xOy,在x轴上截 取OD=OD1=1,OC=OC1=2,在过点D且与y轴 平行的直线上截取DA=2D1A,=2,在过点A且与x 轴平行的直线上截取AB=AB=2,连接BC,得到 原图形ABCD,易知原四边形ABCD是直角梯形， 上、下底分别为AB=2,CD=3,直角腰为AD=2,所 以其面积为S=23×2=5.故选C. 2 D O 4,B【解析】设圆锥的底面半径为，则子×2X3=8, 所以，=兽，所以米堆的体积为子×号×3×() ×5=80立方尺，故推放的米约有碧0÷1.62≈2 9 斛.故选B. 5.C【解析】连接DE,DF,EF,当D,E,F三点共面 时，容器可盛的水最多.因为SD:DA=SE:EB=2: 4 1,所以SaDE=SASAB,因为CF:FS=2:1,所以点 F到平面SDE的距离是点C到平面SAB距离的 子，所以V,E=易Vsm,所以这个容器最多可盛 原来水的号故选心 S D 66 参考答案及解析 6.A【解析】如图，设球的半径为Rcm,由题意可知， 正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm, 球心到截面圆的距离为(R一2)cm,所以由4十 (R一2)=R,得R=5,所以球的体积V=号R= 号xX5-500=cm.枚选A 4 3 R-2、R 8 7.B【解析】如图，设上、下底面边长分别为a,b,内切 球半径为，过内切球球心作轴截面， b 2A b B 由切线性质可得，∠1=∠2，∠3=∠4，OC⊥AB,所 以∠1十∠4=∠2十∠3=90°，故利用射影定理可得 号·合-广=1，则6=4，结合选顶可知，只有B选 项满足.故选B. 8.A【解析】如图，连接BE,CE,因为平面FBC⊥平面 ABCD,平面FBC∩平面ABCD=BC,FH⊥BC,FH C平面FBC,所以FH⊥平面ABCD,又EF∥AB, ABC平面ABCD,EFE平面ABCD,所以EF∥平面 ABCD,所以点E到平面ABCD的距离为FH=2,又 正方形ABCD的面积S=AB=9,所以四棱锥 E-ABCD的体积VEn=号S·FH=号×9X2= 6.因为FH⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以 FH⊥AB,又AB⊥BC,FH∩BC=H,FH,BCC平面 FBC,所以AB⊥平面FBC,则EF⊥平面FBC,又 SaC=之BC·FH=3,所以三棱锥F-EBC的体积