精品解析：山东省新泰市第一中学2025-2026学年高二下学期第二次质量检测数学试题

新泰一中2024级高二下学期第二次质量检测 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 600种 6. 设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，不相互独立 B. C. D. 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 定义方程的实数根叫做函数的“驻点”．若函数，的“驻点”分别为则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上，全对得6分，漏选得部分分，错选不得分） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量，其相关性越强，则样本相关系数的值越接近1； B. 依据小概率的独立性检验推断两个分类变量与之间是否有有关联，经计算，可以推断两变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05 C. 随机变量，若，，则 D. 用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则， 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. 函数有一个极大值点 B. 函数在上存在对称中心 C. 若当时，函数的值域是，则 D. 当时，函数恰有6个不同的零点. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的横线上） 12. 定义域为的可导函数的导函数，满足且的解集为___________________． 13. 某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中________次的可能性最大． 14. ，若不等式在上恒成立，则正数 的取值范围是__________. 四、解答题（本大题5小题，共77分，解答应写出文字说明，演算步骤） 15. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极值点但不是零点，求的单调区间. 17. 现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 （1）某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； （2）有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 18. 已知函数． （1）若在区间上单调递增，试求k的取值范围； （2）若，求证：当时，； （3），求m的最小值． 19. 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为． （1）求，和，； （2）求的数学期望（用含有的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰一中2024级高二下学期第二次质量检测 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，即，所以， 所以. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布关于对称的性质，结合已知概率推导所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，因此正态曲线的对称轴为， 由对称性可知，， 已知，可得， 对称性知， 所以. 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 4. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，​成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有 ，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 5. 某校举行“数学文化节”活动，有6个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 480种 D. 600种 【答案】A 【解析】 【分析】先排4个节目，再按照定序插空排列即可求解. 【详解】先把除了舞蹈节目和合唱节目的4个节目排列有种排法， 舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻， 插空有种，总共有种. 6. 设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，不相互独立 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据，，的关系，求出，依据独立事件的定义判断即可． 对于B，利用条件概率公式求解即可． 对于C，根据求出，和比较即可．对于D，求出，，利用条件概率公式计算即可． 【详解】对于A，已知，即 ，所以， 因，所以事件，相互独立，A错误． 对于B，根据条件概率公式得，B错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，，． 根据条件概率公式，D正确． 7. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 8. 定义方程的实数根叫做函数的“驻点”．若函数，的“驻点”分别为则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“驻点”的定义，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可确定驻点的范围，即可判断选项. 【详解】，则，设，，恒成立， 所以单调递增，，，所以， ，则，设，，得或， ，，的变化情况如下表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ，， 所以， ，则，得，得，即， 所以. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“驻点”的定义，并根据方程构造函数. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上，全对得6分，漏选得部分分，错选不得分） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若两个具有线性相关关系的变量，其相关性越强，则样本相关系数的值越接近1； B. 依据小概率的独立性检验推断两个分类变量与之间是否有有关联，经计算，可以推断两变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05 C. 随机变量，若，，则 D. 用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关系数和独立性检验相关知识可判断AB；利用二项分布的期望和方差公式以及和等公式可判断C；取对数将非线性方程化为线性方程可判断D. 【详解】A. 若两个具有线性相关关系的变量，其相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近1，故A错误； B. 依据独立性检验相关知识可知B正确； C. 随机变量，则， 则，， 解得，故C正确； D. 由得，又因，则，，得，故D正确. 故答案为：BCD. 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过赋值法判断ABC，由二项式定理判断D. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则1，故B正确； 对于C，令，则，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列关于函数说法正确的是（ ） A. 函数有一个极大值点 B. 函数在上存在对称中心 C. 若当时，函数的值域是，则 D. 当时，函数恰有6个不同的零点. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究当时，函数的单调性，画出函数图象，一一判断即可； 【详解】解：当时，，易知函数在，上单调递增，在上单调递减，，. 对于A.如图可知，函数有一个极大值点1，故A正确； 对于B.由图象可知，函数在上不存在对称中心，故B错误； 对于C.由，结合图象易知C正确； 对于D.由，可得，即或.由图像可知与有2个公共点，当时，与有4个公共点，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的横线上） 12. 定义域为的可导函数的导函数，满足且的解集为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，结合题干条件推知的单调性，然后根据单调性解不等式. 【详解】由，可变形为, 令，则， 因为，所以,单调递增， 且，故， 所以不等式等价于 由的单调性可知，的解集为. 13. 某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中________次的可能性最大． 【答案】8 【解析】 【分析】本题为二项分布的典型问题，设出最可能命中的次数为m次，即命中m次的概率最大，列出不等式组，命中m次高于前一次且高于后一次，解不等式取整数即可. 【详解】∵ 射箭命中次数， ∴ ， 设最有可能命中m次，即命中m次的概率最大，则 解得， ∵ ，∴. 故答案为：8. 14. ，若不等式在上恒成立，则正数 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证时，故原不等式恒成立等价于在上递增，求导后分离参数得，构造函数，求得函数值域即可得 的取值范围. 【详解】设，则， ∴在上单调递增，∴，∴， ，∴，又在上恒成立， ∴需要在上为增函数，即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得正数． 四、解答题（本大题5小题，共77分，解答应写出文字说明，演算步骤） 15. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案； （2）求出，得到为的真子集，从而得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由得：，解得：，即， 当时，， 解得：，即； 故； 【小问2详解】 由（1）知：； 由得：， 即， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集. 或，解得， 即实数 的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极值点但不是零点，求的单调区间. 【答案】（1）切线方程：. （2）单调递增区间：，单调递减区间：. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定，求出和导数，根据求出切线斜率，从而得到切线方程; （2）求函数的导数，结合是的极值点但不是零点判断出 值，再根据函数单调递增，函数单调递减，解不等式求出相应单调区间. 【小问1详解】 当时，，则. 求导：. 切线斜率. 则切线过点，斜率为1，方程为：. 【小问2详解】 已知，导数为： . 已知是极值点，则： 或. 又不是零点： 若，则，矛盾，舍去; 若，则，符合条件. 所以. 当，即时，函数递增： 解得：； 当，即时，函数递减： 解得： 故函数的单调递增区间：，单调递减区间：. 17. 现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 （1）某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； （2）有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数， 表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出 关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】（1）分布列见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可； （2）设，则回归方程为，根据所给数据和公式，求出的值，再代回，即可得答案. 【小问1详解】 由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 【小问2详解】 设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以 ， 所以 ． 所以回归方程为 ， 又因为， 所以回归方程为. 18. 已知函数． （1）若在区间上单调递增，试求k的取值范围； （2）若，求证：当时，； （3），求m的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数求出，即可得解； （2）利用导数说明函数的单调性，即可得证； （3）由（2）可得，，从而得到，在利用对数的运算性质及裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 设，则， 故当时，即在上单调递减； 当时，即在单调递增； 所以， 故，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，则． 令，，则， 所以（即）在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，故． 【小问3详解】 由（2）知对于，有， 取为有，则，， 取，从而有， 于是 ， ． 所以m的最小值为4. 19. 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为． （1）求，和，； （2）求的数学期望（用含有的式子表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合独立事件乘法公式求出，，再利用全概率公式求，. （2）当乙口袋中有个黄球时，甲口袋中有个黄球，乙口袋中有个红球，甲口袋中有个红球．先求一次操作后乙口袋黄球数的条件期望，再取期望得到递推关系． 【小问1详解】 依题意，，， ， . 【小问2详解】 设某次操作前乙口袋中有个黄球，其中． 则甲口袋中有个黄球，乙口袋中有个红球，甲口袋中有个红球． 一次操作中，乙口袋中黄球数增加的概率为，乙口袋中黄球数减少的概率为． 因此，在已知的条件下， 两边取期望，得． 令，则．又，所以，即． 故，从而． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $