精品解析：山东省青岛第九中学2025-2026学年高二第二学期适应性检测数学试题

2025-2026学年度第二学期2024级高二适应性检测数学试题 2026.06 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷共2页，有单选题和多选题，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合 ,再结合集合的运算即可求解. 【详解】解得或，即, 则，则. 2. “或 ”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得 ， 所以“或 ”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 3. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近1，所以 ； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近 ，所以 ， 综上可得，． 4. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标 ；代入切线方程解得 . 【详解】对求导得，当时， ， ， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得 ， 将切点代入切线方程得，解得 . 5. 若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设球与球的半径分别为，， 球的体积为，表面积为， 球的体积为，表面积为， 所以，，所以， 因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上， 所以，则， 所以球的表面积为. 6. 将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线．若直线 是曲线的一条对称轴，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数的图像变换得到的解析式，再根据三角函数的对称性即可求出的最小值． 【详解】依题意可得， 又直线 是曲线的一条对称轴， 则，，解得，， 所以的最小值为． 7. 如图，双曲线 ：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得 ，故. 设， 在中，有，即， 所以 的离心率. 8. 已知函数的导函数为 ，和 的定义域均为，若，，，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设等式和函数值，对进行赋值，依次求出，…，推得是以0为首项， 为公差的等差数列，即可计算；再由条件推出，依次赋值求出，…，计算，即得答案. 【详解】由求导得， 又，两式相减可得， 令，可得， 在中，取，可得，解得， 在中，取，可得，所以， 在中，取，可得， 所以，再取，可得， 则得，…，故是以0为首项， 为公差的等差数列， 所以； 由得，则， 取，可得，故，即， 又，所以，则， 因为，，则，， ，， ，，， 即， 所以． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的下四分位数是2 D. 若事件 满足，且，则事件 独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据二项分布的概率公式计算即可判断；对于B，根据正态分布的对称性求解即可判断；对于C，先排序，再计算对应下四分位数判断即可；对于D，利用独立事件的定义可判断． 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，因为随机变量，所以， 则 ， 所以为定值，故B正确； 对于C，将数据从小到大排序：1，2，4，5，7，11，16，21，由， 所以该组数据的下四分位数为，故C错误； 对于D，由，所以相互独立，因此 也相互独立，故D正确． 10. 已知斜率为的直线经过抛物线 的焦点，且与抛物线交于 两点．点 是圆（）上的任意一点，使得 的重心在轴上．线段与轴的交点为 ．则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 三角形的面积是斜率的函数 C. 当时，的最大值为6 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用重心坐标公式结合韦达定理得到，再利用圆上点的性质得到参数范围判断A，举反例并结合函数的定义判断B，结合题意得到直线和圆的位置关系，进而得到不等式，求解参数范围判断C，将表示为一元函数，再利用换元法与二次函数的性质求解最值判断D即可. 【详解】结合题意，可设， 对于A，设直线的方程为，则， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，， 由重心坐标公式得， 因为在轴上，所以，解得， 则，由题意得圆心坐标为，半径为， 因为点 是圆上的任意一点，所以，解得， 则，得到斜率的取值范围为，故A正确， 对于B，当时，此时，此时，直线方程为， 此时，将代入中， 解得或，则或， 设 到的距离为，由点到直线的距离公式得，， 而，则，而此时，， 由弦长公式得，为定值，即得到， 可得三角形的面积不可能是斜率的函数，故B错误， 对于C，由题意得的斜率为，的斜率为， 因为，所以，解得， 此时点 在直线 上，而点 是圆上的任意一点， 可得直线与圆相交或相切，得到，解得， 则的最大值为6，故C正确， 对于D，由三角形面积公式得， 由线段共线的性质得，， 则， 由题意得，则，而， 可得， ， 则， 令，则，得到，则， 令，，当时，符合题意， 由二次函数性质得，当时， 取得最大值，且， 则，可得，即的最小值为，故D正确. 11. 正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点P的轨迹是椭圆B C. 存在点P，使 D. 棱长为 的正四面体能够被整体放入内 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据几何体特征结合四棱锥体积公式计算判断A，应用曲线特征判断B，C，应用正方体及正四面体的外接球性质计算判断D. 【详解】设于 ，， 对A，，即选项A正确． 对B，曲线所在平面斜截圆柱，故为椭圆，选项B正确． 对C，当时，在以为直径的圆上，显然椭圆上这样的点不存在，选项C错误． 对D，设 内部有一个正四面体，该正四面体内接于球， 内部的球的最大半径为1， 设半径为1的球是边长为的正方体的外接球，所以，所以， 半径为1的球是边长为正四面体的外接球，所以正四面体的边长是正方体的面对角线，所以， 故此正四面体的棱长最大为，而比1.6大，故选项D正确． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的常数项是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 13. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形曲线 ，并画出曲线 的图象，再根据直线 恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线 为； 当 时，曲线 为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线 与曲线 恰有三个公共点，即的取值范围为． 14. 不透明的盒子中装有大小质地相同的3个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球n次后游戏结束的概率记为，则________；在数列中，若，A为常数，现游戏进行了n次，n趋近于无穷大，游戏结束后，总得分记为X，则X的数学期望________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空利用相互独立事件的乘法公式可求解；第二空利用离散型随机变量的期望公式，再借助错位相减法求和进行求解即可. 【详解】根据题意可知，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 摸球3次后游戏结束，意味着前两次摸到红球，第三次摸到白球， 因为每次摸球相互独立，所以； 根据题意，的可能取值为2，3，4，⋯，，⋯，且， 则， 则， 则， 则 ， 即， 又，故． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在 中，，. （1）求证：； （2）若边上的中线的长为1，求 的面积. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，再结合题意得，整理得，即，再根据内角和定理即可证明结论； （2）结合（1）得，再结合二倍角公式得，进而得，，根据余弦定理，结合得，再根据正弦定理求得 外接圆半径，最后计算面积即可. 【小问1详解】 解：因为，， 所以，即， 所以， 因为，即 因为， 中至少有一个为锐角， 所以， 所以， 即 所以， 所以，即， 因为， 所以，即. 【小问2详解】 解：由（1）知，即， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，， 所以，， 因为，所以， 所以，由余弦定理得，即， 所以 设为 外接圆半径， 所以， 所以，解得，即， 所以， 所以 16. 如图，在三棱台中， 平面， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）在三棱台中，， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以, 所以， 即， 因为 平面， 平面， 所以， 因为 ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ； 所以平面 平面 ； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明 平面 ，结合面面垂直的判定即可证明； （2）以 为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，求出平面 与平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 又 平面， 平面， 所以 ， 以 为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量 ，平面的法向量为 ， 则，令 ，解得：，， 则平面 的法向量 由，解得：，令 ，， 则平面的法向量 设平面 与平面的夹角为， 所以 所以平面 与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知，分别是椭圆C：（ ）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1． （1）求椭圆C的方程及其离心率； （2）已知A，B为椭圆C的左右顶点，若点P满足，当M与A，B不重合时，直线MP交椭圆C于另一点N，直线AM，BN交于点T． （ⅰ）证明：点T在一条定直线上； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） ，离心率为 （2） （ⅰ）由（1）得，由，得点， 设， 显然直线不垂直于，设其方程为， 由消去，得， ，， 直线的方程为，即， 同理直线 方程为， 联立消去得， 整理得， 因此，即， 所以点T在一条定直线上. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理及椭圆定义求出 即可； （2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点的横坐标即可；（ⅱ）利用斜率坐标公式及差角的正切公式求解. 【小问1详解】 令椭圆C：的半焦距为， 由的最大值为，得， 由，的面积为1，得，， 而，因此， 即，， 解得，所以椭圆C的方程为 ，离心率为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由对称性不妨令点在上方，设， 则， 因此， 当且仅当时取等号，而为锐角，所以的最大值为. 18. 已知函数，，. （1）当 时，讨论的单调性； （2）若 ，令（其中表示，中的较小值），若存在，，使得恒成立. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，，证明：. 【答案】（1）在单调递增； （2）（i）1；（ii）若在内有两个不相等的实数根，不妨设，当时，，所以， 由（ⅰ）得，在单调递增，单调递减，所以，， 要证，只需证，又，且在单调递减， 所以只需证，又，即证， 令，， 由（ⅰ）得在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以， 又当时，， 则， 即在单调递增，， 故，得证. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后利用导数研究单调性可判断单调性； （2）（i）通过研究单调性，结合，可比较与的大小，从而得到解析式，然后通过研究，的单调性可得单调性，据此可得答案； （ii）由（i）可将所证命题转化为证明：，然后通过研究，的单调性可完成证明. 【详解】（1）当 时，，， 令，，令，得， 当 时，，单调递减，当 时，，单调递增， 所以，即， 所以在单调递增. （2）（i）先比较与的大小，当 时，， 所以， 令，，所以在单调递增， 又，（ 又，则） 所以存在唯一，使得，即， 所以当时，，即，当时，，即， 即，又，令，得， 当时， ，单调递减，当时，，单调递增； ，令，得， 当 时，，单调递增，当 时，，单调递减. 结合，的单调性可得，在单调递减，单调递增，单调递减， 注意到当 时，，且，所以，结合，所以的值为1. （ⅱ）略 19. 某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． （1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； （2）求该顾客的奖金不低于元的概率； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 【答案】（1） （2） （3）174元． 【解析】 【分析】（1）结合排列组合的有关计算公式求对应的概率； （2）列出奖金的可能情况，分析如何获得对应的奖金数，求出对应概率即可. （3）求出抽取银券可获得的奖金的期望，再利用给出的公式，求该顾客获得奖金的期望. 【小问1详解】 游戏停止时共抽取5次，即前四次抽到2金2银，且第五次抽到金券， 故所求的概率为； 【小问2详解】 奖金不低于270元，则可能为300元，290元，280元，270元． ①若奖金为300元，即连续抽到3次金券，其概率为； ②若奖金为290元，即前三次抽到两张金券和一张－10元银券，且第四次抽到金券，其概率为； ③若奖金为280元，即前三次抽到两张金券和一张－20元银券，且第四次抽到金券，同②知； ④若奖金为270元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张－30元银券，且第四次抽到金券，同②知其概率为； 另一种情况是前四次抽到两张金券、一张－10元银券和一张－20元银券，且第五次抽到金券，其概率为， 所以； 综上所述，奖金不低于270元的概率为. 【小问3详解】 方法一：记银券分别为，，…，，对应面值－10元，－20元，…，－60元． 记， 银券与4张金券被抽到的先后次序是等可能的，表示在与4张金券一起排列时，排在了前三个位置上，所以，， 所以，， 因为奖金， 所以， 即奖金的期望为174元． 方法二：记为停止时抽到银券的张数，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且. 由已知得，，， ，， ，， 计算得． 又因为，所以， 因为每张银券被抽到是等可能的，所以，， 所以， 即奖金的期望为174元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期2024级高二适应性检测数学试题 2026.06 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷共2页，有单选题和多选题，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. “或 ”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上各点的横坐标先缩短至原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到曲线．若直线 是曲线的一条对称轴，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，双曲线 ：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数的导函数为 ，和 的定义域均为，若，，，，则（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的下四分位数是2 D. 若事件 满足，且，则事件 独立 10. 已知斜率为 的直线经过抛物线 的焦点，且与抛物线交于 两点．点 是圆（）上的任意一点，使得的重心 在轴上．线段与轴的交点为 ．则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 三角形的面积是斜率 的函数 C. 当时，的最大值为6 D. 的最小值为 11. 正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点P的轨迹是椭圆B C. 存在点P，使 D. 棱长为 的正四面体能够被整体放入内 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 若的展开式中的常数项是________． 13. 若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数 的取值范围为____________. 14. 不透明的盒子中装有大小质地相同的3个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球n次后游戏结束的概率记为，则________；在数列中，若，A为常数，现游戏进行了n次，n趋近于无穷大，游戏结束后，总得分记为X，则X的数学期望________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，，. （1）求证：； （2）若边上的中线的长为1，求的面积. 16. 如图，在三棱台中， 平面， ， ． （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面的夹角的余弦值． 17. 已知，分别是椭圆C：（ ）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1． （1）求椭圆C的方程及其离心率； （2）已知A，B为椭圆C的左右顶点，若点P满足，当M与A，B不重合时，直线MP交椭圆C于另一点N，直线AM，BN交于点T． （ⅰ）证明：点T在一条定直线上； （ⅱ）求的最大值． 18. 已知函数，，. （1）当 时，讨论的单调性； （2）若 ，令（其中表示，中的较小值），若存在，，使得恒成立. （ⅰ）求 的值； （ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，，证明：. 19. 某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． （1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； （2）求该顾客的奖金不低于元的概率； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $