山东泰安市新泰一中北校2025-2026学年高二下学期第一次阶段性考试数学试卷

新泰一中北校高二下学期第一次阶段性考试 数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每个题目只有一个正确答案，答对答案得5分，共计40分） 1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极小值点有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法（    ） A．72种 B．36种 C．144种 D．108种 6．当是函数的极值点，则的值为 A．-2 B．3 C．-2或3 D．-3或2 7．某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（    ） A．18 B．21 C．36 D．42 8.已知函数，则使不等式成立的最小正整数x为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题（每个题目有多个正确答案，选对部分答案得部分分，选错得零分，共计18分） 9．已知函数，则（    ） A．恒成立 B．是上的减函数 C．在得到极大值 D．在区间内只有一个零点 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 11．已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 三、填空题（每个题目5分，共15分） 12．一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，不同的取法共有________种． 13．已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 14．若函数有2个零点，则m的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）（1）解关于x的不等式． （2）求等式中的n值． 16．（本题15分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 17．（本题15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 18．（本题17分）如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 19．（本题17分）已知函数，，令函数． (1)当a为正数时，讨论函数的单调性； (2)若不等式对一切都成立，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《数学月考一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A C B D A CD ACD 题号 11 答案 BD 8．【详解】根据题意，函数，其导数， 当时，可以看成是以1为首项，为公比的等比数列的前5项和， 则有，则函数在R上为增函数. 又由，， 知函数在上存在唯一的零点， 设其零点为t，则， 又由，知，则，即或， 故使不等式成立的x的最小正整数为 12．120 13． 14． 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多1个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， 而当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大；当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有两个不同的零点，当且仅当函数的图象与x轴有两个不同的交点，因此，解得，所以m的取值范围是. 15． 【详解】（1）由，得，-----------------------------------------2分 ，---------------------------------------------------4分 于是，整理得，解得，所以.-----6分 （2）原方程变形为，即，显然， 因此，-------------10分 化简整理，得，而，解得，--------------------------13分 16．（1）每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为；---------------------------------------5分 （2）甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为.-------------------------------------------------------------10分 （3）甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，而丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为.------------------------------15分 17．（1）解：由函数，可得， 所以，且，即切点坐标为，切线的斜率为，------2分 所以曲线在点处的切线方程为，即.---4分 （2）证明：由函数，可得函数的定义域为， 由不等式，即， 要证，即证，即证，--------------8分 令， 可得，其中，-----------------10分 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，---------------------------------12分 当时，取值最大值，所以， 即在恒成立，所以．----------------------15分 18．（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次，---------------------------------------------------------------------------------------------3分 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．-----------------------4分 （2） 由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条，----------------------8分 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条．故所求路线有条．---------------10分 （3）设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线；---------------------------12分 ②，有条最近路线；-------------------------------14分 ③，有条最近路线．------------------------------------------------------16分 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条．---------------17分 19．【详解】（1）因为，， 则，------------------2分 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为.------------------4分 当时，在上恒成立，所以在上单调递增.-------6分 当时，在，上为正，上为负， 所以的单调增区间为，，单调减区间为，综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减.------------8分 （2）由，，变形为，令，则在上单调递增，-------------------------------------------------------------10分 其中，， 则， 若，此时在上恒成立，即在上单调递增，满足要求.-----------------------------------------------------------------------------------------------------12分 若，此时要满足在上恒成立，--------------------14分 令，对称轴为， 故要满足，解得， 综上：，即的取值范围是．--------------------------------------------------17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $新泰一中北校高二下学期第一次阶段性考试 数学试题 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每个题目只有一个正确答案，答对答案得5分，共计40分） 1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则 函数(x)在开区间(a,b)内的极小值点有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.函数fW的部分图象大致为() Q 3.若函数hwW=lnx-2r-2x在22)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围 为() A.[-1,+o B.（-1,+o) C.[0+o) D.(0,+o) 4.若函数f(x)=-2cs(2x+-ox在R上单调递减，则a的取值范围为() A.[4+oo) B.[-4+o) C.[2,+o) D.[-2+∞) 试卷第1页，共3页 5.甲，乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙相邻，丙、丁不相邻，共有排法() A.72种 B.36种 C.144种 D.108种 6.当x=1是函数f(x)=x2+2ax-c2-3a+3)e*的极值点，则a的值为 A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2 7.某学校需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加 活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需 要选派1人.则不同的选派方法的种数是（) A.18 B.21 C.36 D.42 8已知医数f=1+x号+苦号号则使不等式代-×-0：0成立的小正 整数x为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题（每个题目有多个正确答案，选对部分答案得部分分，选错得零分， 共计18分) 9.已知函数f(x)=-x1nx,则() A.f(X≤0恒成立 B.f(X)是(0，+o)上的减函数 C.f(冈在x=e得到极大值石 D.f凶在区间后内只有一个零点 0.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设 “礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门， 连续开设六周，则下列说法正确的是（) A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B.课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 C.课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D.课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 11.已知函数f(x)=e-e-x有两个极值点x,2(x<2),则() 试卷第2页，共3页 A.a<-2或a>2 B.x2<0 C.存在实数a,使得f(2)>0 D.f-fx2-。 X2-X 三、填空题（每个题目5分，共15分） 12.一张餐桌上有6盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜， 不同的取法共有种 13.已知磷数9)-号式号+2x41,若9冈在12)内不单调.则实数a的取值花同是 14.若函数f(x)=lnx-3+1有2个零点，则m的取值范围是 四、解答题 15.(本题13分)(1)解关于x的不等式Ag<6A82. 2）求等式c2+C3=5中的n值 Ch-3 16.(本题15分)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A,B,C三个智力竞赛项 目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 17.(本题15分)已知函数fx)=nx-1」 (1)求曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线方程； (2)求证：f(x)≤2x-3. 试卷第3页，共3页 18.（本题17分)如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段. D F G ()由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线有多少条？ (2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C,任意两次向上行走都不连续且最近的 路线有多少条？ (3)由点A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线有多少条？ 19.(本题17分)已知函数g(x)=ax2-(a+2)x(aeR),h(x)=lnx,令函数 f(x)=g(x)+h(x). (1)当a为正数时，讨论函数f(的单调性； 2)若不等式f-f-2对一切0<x<%都成立，求a的取值范围. ×-X2 试卷第4页，共1页 《数学月考一》参考答案 题号 1 2 2 4 6 6 8 9 10 答案 0 D B CD ACD 题号 11 答案 BD 8.【详解】根据题应，函致f侧=1x号+号号+号，其导数0=1+×-4 当×≠0时，()可以看成是以1为首项，-x2为公比的等比数列的前5项和， 则有fW=1+×-女+火计≥0，则函数fX在R上为增5数 又曲-10写号90.水2》-1(0写高：号多0. 知函数f(X)在(-2，-1）上存在唯一的零点， 设其零点为t,则f(x2-x-1)≥0三x2-x-1≥t=xX2-x≥t+', 又由-2<t<-1,知-1<t+1<0,则x2-x≥0，即x≥1或x≤0， 故使不等式f(x2-×-1)≥0成立的x的最小正整数为1. 12.12013.22到1.@号 【详解】函数f()=nx-mx2+1的定义域为(0，+o,求导得fW-13m2-1-3md X 当m≤0时，f'(x)>0,函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，最多1个零点，不符合题意； 当m>0时，由f'(x)>0,得x1(0, 1 3m 由f'(x)<0,得xe V3m'too), 质散因在品上单锅莲 1 在(3m +∞)上单调递减， 而当×从大于0的方向趋近于0时，()趋近于负无穷大；当×趋近于正无穷大时，(x)趋 近于负无穷大，函数f(x)=lnx-x3+1有两个不同的零点，当且仅当函数f(W的图象与x 精有两个不同的交点，因比号n3n>0,解得0<m< e 所以m的取值范围是(0 e 15.【详解】(1)由Ag<6A82,得3≤x≤8，x∈N, -2分 8×7ש×(8-x+1)<6×8×7ש×(8-x+3), -4分 答案第1页，共5页 于是(8-X+2(8-x+1)<6,整理得x2-19x+84<0,解得7<x<12,所以×=8.--6分 (2)原方程变形为念+1-即c2,治c显然n:6neN, 个3 n-3 因此n-n-2Xn-3n-4n-5)_14.(n-3n-40n-5) 分 -10分 3 化简整理，得n2-3n-54=0,而n≥6，解得n=9, -13分 16.(1)每个同学都有3种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为3=81； --- -5分 (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，则丙、丁各有3种选择， 所以不同的报名方法种数为 2×32=18.- -10分 (3)甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为3， 丙不报A项目，则丙有2种选择，而丁有3种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为 3×2×3=18. -15分 17.(1)解：由函数f(x)=hx1,可得f'(x)=2-nx X x2Γ 所以f'(1=2,且f(1)=-1,即切点坐标为(1-1)，切线的斜率为k=2,---2分 所以曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线方程为y+1=2(x-1),即2x-y-3=0--4分 (2)证明：由函数f(x)=1nx-1 可得函数的定义域为(0，+)， 由不等式：2x3,印2-3. 要证lnX-1s2x-3,即证1nx-1s2x2-3x,即证1nx-2X+3x-1s0, -----8分 g(x)=Inx-2x2+3x-1,x>0. 可得g0)-又431-443x--1.其中x0 -10分 X 当x∈(0,1)时，g(x)>0,当x∈(1，+o)时，g(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 答案第2页，共5页 -12分 当x=1时，g(x)取值最大值g(1)=0,所以g(x)≤g(1)=0 即Ix-2x2+3x-1≤0在(0，+oo)恒成立，所以f(x)≤2x-3.-- --15分 18.(1)由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线需要向上移动2次，向右移动 3次， --3分 则由点A出发，沿着图中的线段到达点F的最近路线有CC=10 条 4分 (2)由点A出发，沿着图中的线段到达点C的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， -----6分 则由点A出发，沿着图中的线段到达点C的最近路线有CC哈=28条， -8分 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条.故所求路线有28-7=21 条 --------10分 (3)设H,K的位置如图所示， D F K B 则由A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线可分为以下三种情况： ①A→F→D,有CC3CC=10×1×10×1=100条最近路线； --12分 ②A→H→D,有CCCC子=5×1×10×1=50条最近路线； ----14分 ③A→K→D,有CCC4=5条最近路 答案第3页，共5页 线 -16分 故由A出发，沿着图中的线段到达点D的最近路线有100+50+5=155 条 -17分 19.【详解】(1)因为f(x)=x2-(a+2)x+lnx,x>0, 则f()-2x-(o+2)+1-20x-(a+2x+1_(2x-1x-1) ----2分 当0co<2时fw在o引(g上为E 所以f凶的年河区间为)-（后网：卓两碳区写为名》 -4 分 当a=2时，f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，所以(x)在(0，+o)上单调递增.----6分 当o>2,fx在)（侵上为正，g》上为旋 所以（的单润增区间为0日》·（侵+） (11 单调减区间为。2 综上：当0<a<2时， f凶在o》:(日上单隆塔，在[2日)上单测遥该： 当a=2时，f(X)在(0，+o)上单调递增； 当o>2时。f冈在(0日)，（侵+上单调递培，在日）上单调造成 -8分 (2油f-f-2.0<x≤%，变形为fX)+2x<f+2%,令F冈=fx)+2x. X-3 则F(x)在(0，+oo)上单调递增， 10分 其中F(X=x2-ax+lnx,X∈(0，+oo), 则F'(X=2ax-a+ +1_2ax2-ax+1 X 若a=0,此时F'(X)>0在(0，+o)上恒成立，即F(X)在(0，+o)上单调递增，满足要 求- ---12分 若a≠0，此时要满足2ax2-ox+1≥0在(0，+oo)上恒成立， -14分 答案第4页，共5页 令r(X=2@-以+1，对称轴为x=484 a>0 故要满足 (1 1 1 +1≥0' 解得0<a≤8， 4 4 综上：0≤a≤8，即a的取值范围是 [0,8] -17分 答案第5页，共5页