第2.1讲 圆的方程（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第2.1讲 圆的方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 由圆心半径求圆的方程 题型2 求过已知三点的圆的方程 题型3 圆的一般方程与标准方程的互化 题型4 二元二次方程表示圆的条件 题型5 判断点与圆的位置关系 题型6 根据点与圆的位置关系求参 题型7 圆过定点问题 题型8 圆有关的轨迹问题 题型9 圆有关的对称问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 由圆心半径求圆的方程 已知圆心坐标和半径，直接写出标准方程。易错：半径需取正值，圆心坐标符号代入时易反。 2. 求过已知三点的圆的方程 设一般式代入三点坐标，解方程组求系数；或利用几何法（两条中垂线交点定圆心）。易错：三点共线时无解，需先判断。 3. 圆的一般方程与标准方程的互化 通过配方法完成互化，标准方程直接显示圆心和半径。易错：配方时常数项计算错误，或一般式缺少x²与y²系数相等条件。 4. 二元二次方程表示圆的条件 需满足：x²与y²系数相等且不为零，无xy项，且半径平方大于零。易错：漏掉半径平方大于零的检验，或未化为标准形式直接判断。 5. 判断点与圆的位置关系 比较点到圆心距离与半径大小：小于则在圆内，等于在圆上，大于在圆外。代入标准方程也可直接判断。易错：距离计算时坐标代入错误。 6. 根据点与圆的位置关系求参 利用点到圆心距离与半径的不等关系列不等式或等式，解参数范围或值。易错：忽略点在圆上时距离等于半径，或半径需为正的条件。 7. 圆过定点问题 将含参圆方程按参数整理，令参数系数为零，解方程组得定点。或取两个特殊参数求出交点，再验证。易错：漏解或未验证定点恒满足方程。 8. 圆有关的轨迹问题 利用几何关系（如到定点距离为定值、到两定点距离之比为常数等）转化为圆的方程。常用直接法、定义法、代入法。易错：忽略轨迹的完整范围或限制条件。 9. 圆有关的对称问题 圆关于点或直线对称，对称后圆心对称、半径不变。易错：对称中心或对称轴确定有误，或仅对称圆心而漏掉半径不变。 学习重点：掌握圆的标准方程与一般式，并能熟练互化；理解点与圆位置关系的判断方法；掌握求圆的方程的两种途径（标准式与一般式）；了解圆过定点与轨迹问题的基本处理思路。 学习难点：含参圆过定点问题中参数的整理与方程组求解；轨迹问题中几何条件转化为代数方程时，容易遗漏限制条件（如范围、特殊点）；圆关于直线对称时，圆心对称的坐标计算易错；二元二次方程表示圆的条件中半径平方大于零的检验易被忽略。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的方程 1、圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 2、圆的标准方程：. 方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程 3、圆的一般方程: ，化作标准式为, 圆心坐标：，半径： 注意： 1 的系数相同且都不为0 2 方程中无项 3 对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 4、直径圆方程:以 为直径的圆的方程为 5、求圆的方程的方法 1 待定系数法：设圆的一般方程或者标准方程 2 几何法：利用圆的性质（1）圆心在任意弦的垂直平分线上（2）圆关于直径对称，则圆心在圆的对称轴上（3）圆心在过切点且与切线垂直的直线上 即时即练（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【方法总结】 求圆的方程，关键是确定圆心坐标和半径，根据题目条件选择标准式或一般式。若已知圆心与半径，直接写标准式；若已知三点，用一般式代入解方程组；若已知直径端点，利用中点得圆心、半距离得半径。注意验证条件是否满足圆的定义（如三点不共线）。 知识点02 点与圆的位置关系 点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合： 1、若在圆外 或 ，则， 2、若在圆上 或, 则， 3、若在圆内 或 ．则， 即时即练（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【方法总结】 点与圆的位置关系，比较点到圆心距离与半径大小：小于半径在圆内，等于在圆上，大于在圆外。若点与圆心重合，则距离为0，肯定在圆内。 知识点03 求圆的轨迹 1、直接法 根据题目给出的条件设动点坐标列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。 2、定义法 1 到定点的距离等于定长 2 到两定点距离的平方和为定值 3 到两定点的夹角为 4 定边对定角、对角互补、数量积为定值 5 阿氏圆：到两定点距离之比为定值，设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线；圆的半径 （用角分线原理来证明） 3、相关点法：利用已知点与动点关系代入已知方程中，注意求谁设谁。 即时即练（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（   ） A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线 【易错提醒】 求轨迹时注意等价变形，避免因平方或去分母引入不满足条件的“增点”；定义域限制不能丢（如分母不为零、根号内非负），且要检查轨迹是否“完整”（如是否只是圆的一部分）。若用参数方程，需确保参数范围与动点运动范围一致。 知识点04 圆的对称性问题 一、圆的对称性 1、轴对称性：圆关于任意一条过圆心的直线对称。 2、中心对称性：圆关于圆心对称。 二、对称性的应用 1. 求对称圆的方程 点关于点对称：圆心关于某点对称，半径不变。 点关于直线对称：求圆心关于直线的对称点，半径不变；若直线不过圆心，则圆变为另一位置相同的圆。 2. 判断两圆是否关于某直线对称 两圆关于某直线对称的充要条件：半径相等，两圆心关于该直线对称。因此，若已知两圆半径相同，只需验证圆心连线被对称轴垂直平分。 即时即练（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【方法总结】 对称轴必须过圆心：任意过圆心的直线都是对称轴，但不过圆心的直线不是圆的对称轴。 圆关于某点对称：关于任意点对称后，半径不变。 题型1 由圆心半径求圆的方程 【例1】（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1、若有圆心与半径，直接可求出圆的标准方程。 2、若知道直径的两个端点，还可以用直径式圆的方程。 【变式1-1】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（多选）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【变式1-2】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 题型2 求过已知三点的圆的方程 【例1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 求过三点的圆，采用一般式，将三点坐标代入建立三元一次方程组，解出 D,E,F 即可。注意三点不能共线，否则无解；计算时建议用加减消元法简化，避免出错。 【变式2-1】（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 【变式2-2】（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 题型3 圆的一般方程与标准方程的互化 【例1】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【例2】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【技巧归纳】 化一般式为标准式，用配方法将 项分别配方成完全平方式，常数项移项到右边并合并，得到形式。化标准式为一般式，直接展开平方项并整理成形式。注意配方时保证右边为正数，且 x,y 系数相同。 【变式3-1】（25-26高二上·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 【变式3-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）若圆的面积为，则实数的值为__________. 题型4 二元二次方程表示圆的条件 【例1】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【技巧归纳】 二元二次方程表示圆需满足三个条件：①的系数相同且都不为0 ② 不含 交叉项③对于D、E、F的取值要求： 【变式4-1】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5 判断点与圆的位置关系 【例1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【例2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【技巧归纳】 判断点与圆的位置关系，通过比较点到圆心距离与半径大小：距离小于半径则点在圆内，等于则在圆上，大于则在圆外。也可直接将点坐标代入圆方程左边，与0比较（标准式下小于0在内，等于0在上，大于0在外）。 【变式5-1】（2026·吉林·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 题型6 根据点与圆的位置关系求参 【例1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 根据点与圆位置关系求参，核心是用点距公式或代入法建立不等式：点在圆内⇔点距小于半径（或代入标准式左边<0），在圆上⇔（或代入标准式左边=0），在圆外⇔（或代入标准式左边>0）。注意含参时需考虑半径为正及圆方程表示圆的条件，并验证端点是否满足题意。 【变式6-1】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型7 圆过定点问题 【例1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【例2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【技巧归纳】 圆过定点，可将含参圆方程按参数整理成关于参数的恒等式，令参数系数为0、常数项为0，解方程组即得定点坐标。若方程为一般式，也可直接代入定点坐标使其恒成立。注意定点可能不止一个，且需验证圆心和半径是否符合条件。 【变式7-1】（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 题型8 圆有关的轨迹问题 【例1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【技巧归纳】 求圆的轨迹，关键是找圆心和半径，根据动点满足的几何条件（如到定点距离恒定、垂直关系等）建立等式。常用方法有定义法（直接套圆定义）、直接法（设动点坐标列方程）和相关点法（利用已知点与动点关系代入）。注意排除不满足条件的点（如分母为零或轨迹不完整）。 【变式8-1】（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【变式8-2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 题型9 圆有关的对称问题 【例1】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 【例2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【技巧归纳】 圆相关的对称问题，抓住圆心是关键：圆关于点、直线对称后仍为圆，半径不变，只需将圆心进行相应的对称变换（点关于点、点关于直线），再写出新圆方程。若涉及圆上点对称，则利用对称关系转化坐标；若圆关于自身对称，则对称轴必过圆心。注意对称变换时半径平方不变。 【变式9-1】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【变式9-2】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·期末）若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11． 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 9．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 10．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.1讲 圆的方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 由圆心半径求圆的方程 题型2 求过已知三点的圆的方程 题型3 圆的一般方程与标准方程的互化 题型4 二元二次方程表示圆的条件 题型5 判断点与圆的位置关系 题型6 根据点与圆的位置关系求参 题型7 圆过定点问题 题型8 圆有关的轨迹问题 题型9 圆有关的对称问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 由圆心半径求圆的方程 已知圆心坐标和半径，直接写出标准方程。易错：半径需取正值，圆心坐标符号代入时易反。 2. 求过已知三点的圆的方程 设一般式代入三点坐标，解方程组求系数；或利用几何法（两条中垂线交点定圆心）。易错：三点共线时无解，需先判断。 3. 圆的一般方程与标准方程的互化 通过配方法完成互化，标准方程直接显示圆心和半径。易错：配方时常数项计算错误，或一般式缺少x²与y²系数相等条件。 4. 二元二次方程表示圆的条件 需满足：x²与y²系数相等且不为零，无xy项，且半径平方大于零。易错：漏掉半径平方大于零的检验，或未化为标准形式直接判断。 5. 判断点与圆的位置关系 比较点到圆心距离与半径大小：小于则在圆内，等于在圆上，大于在圆外。代入标准方程也可直接判断。易错：距离计算时坐标代入错误。 6. 根据点与圆的位置关系求参 利用点到圆心距离与半径的不等关系列不等式或等式，解参数范围或值。易错：忽略点在圆上时距离等于半径，或半径需为正的条件。 7. 圆过定点问题 将含参圆方程按参数整理，令参数系数为零，解方程组得定点。或取两个特殊参数求出交点，再验证。易错：漏解或未验证定点恒满足方程。 8. 圆有关的轨迹问题 利用几何关系（如到定点距离为定值、到两定点距离之比为常数等）转化为圆的方程。常用直接法、定义法、代入法。易错：忽略轨迹的完整范围或限制条件。 9. 圆有关的对称问题 圆关于点或直线对称，对称后圆心对称、半径不变。易错：对称中心或对称轴确定有误，或仅对称圆心而漏掉半径不变。 学习重点：掌握圆的标准方程与一般式，并能熟练互化；理解点与圆位置关系的判断方法；掌握求圆的方程的两种途径（标准式与一般式）；了解圆过定点与轨迹问题的基本处理思路。 学习难点：含参圆过定点问题中参数的整理与方程组求解；轨迹问题中几何条件转化为代数方程时，容易遗漏限制条件（如范围、特殊点）；圆关于直线对称时，圆心对称的坐标计算易错；二元二次方程表示圆的条件中半径平方大于零的检验易被忽略。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的方程 1、圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 2、圆的标准方程：. 方程 称为圆心，半径为的圆的标准方程 3、圆的一般方程: ，化作标准式为, 圆心坐标：，半径： 注意： 1 的系数相同且都不为0 2 方程中无项 3 对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 4、直径圆方程:以 为直径的圆的方程为 5、求圆的方程的方法 1 待定系数法：设圆的一般方程或者标准方程 2 几何法：利用圆的性质（1）圆心在任意弦的垂直平分线上（2）圆关于直径对称，则圆心在圆的对称轴上（3）圆心在过切点且与切线垂直的直线上 即时即练（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 【方法总结】 求圆的方程，关键是确定圆心坐标和半径，根据题目条件选择标准式或一般式。若已知圆心与半径，直接写标准式；若已知三点，用一般式代入解方程组；若已知直径端点，利用中点得圆心、半距离得半径。注意验证条件是否满足圆的定义（如三点不共线）。 知识点02 点与圆的位置关系 点与圆：或 的位置关系，若为圆直径的两个端点，且与M不重合： 1、若在圆外 或 ，则， 2、若在圆上 或, 则， 3、若在圆内 或 ．则， 即时即练（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【方法总结】 点与圆的位置关系，比较点到圆心距离与半径大小：小于半径在圆内，等于在圆上，大于在圆外。若点与圆心重合，则距离为0，肯定在圆内。 知识点03 求圆的轨迹 1、直接法 根据题目给出的条件设动点坐标列方程，整理简化后得出轨迹方程，这个方法在圆锥曲线中通用。 2、定义法 1 到定点的距离等于定长 2 到两定点距离的平方和为定值 3 到两定点的夹角为 4 定边对定角、对角互补、数量积为定值 5 阿氏圆：到两定点距离之比为定值，设为平面上相异两定点，且，为平面上异于的动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线；圆的半径 （用角分线原理来证明） 3、相关点法：利用已知点与动点关系代入已知方程中，注意求谁设谁。 即时即练（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（   ） A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标运算建立等式，然后通过配方法即可. 【详解】设动点，则，， 因为，所以， 则，即， 所以点的轨迹就是以圆心为，半径为2的圆. 故选：B 【易错提醒】 求轨迹时注意等价变形，避免因平方或去分母引入不满足条件的“增点”；定义域限制不能丢（如分母不为零、根号内非负），且要检查轨迹是否“完整”（如是否只是圆的一部分）。若用参数方程，需确保参数范围与动点运动范围一致。 知识点04 圆的对称性问题 一、圆的对称性 1、轴对称性：圆关于任意一条过圆心的直线对称。 2、中心对称性：圆关于圆心对称。 二、对称性的应用 1. 求对称圆的方程 点关于点对称：圆心关于某点对称，半径不变。 点关于直线对称：求圆心关于直线的对称点，半径不变；若直线不过圆心，则圆变为另一位置相同的圆。 2. 判断两圆是否关于某直线对称 两圆关于某直线对称的充要条件：半径相等，两圆心关于该直线对称。因此，若已知两圆半径相同，只需验证圆心连线被对称轴垂直平分。 即时即练（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 【方法总结】 对称轴必须过圆心：任意过圆心的直线都是对称轴，但不过圆心的直线不是圆的对称轴。 圆关于某点对称：关于任意点对称后，半径不变。 题型1 由圆心半径求圆的方程 【例1】（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 【例2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 【技巧归纳】 1、若有圆心与半径，直接可求出圆的标准方程。 2、若知道直径的两个端点，还可以用直径式圆的方程。 【变式1-1】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）（多选）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【分析】分析可知圆心在线段的中垂线上，将线段的中垂线方程与直线方程联立，可求出圆心的坐标，可判断A选项；利用两点间的距离公式求出圆的半径为，可判断B选项；写出圆的标准方程，并化为一般方程，可判断C选项；求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 【变式1-2】（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 题型2 求过已知三点的圆的方程 【例1】（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 【技巧归纳】 求过三点的圆，采用一般式，将三点坐标代入建立三元一次方程组，解出 D,E,F 即可。注意三点不能共线，否则无解；计算时建议用加减消元法简化，避免出错。 【变式2-1】（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 【答案】 【分析】设圆的一般方程，用待定系数法可得圆的方程. 【详解】设圆的方程为，由圆经过点，得； 由圆经过，得，即①； 再由圆经过，得，即②； 联立①②解得，所以圆的方程为， 故答案为： 【变式2-2】（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 【答案】 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 题型3 圆的一般方程与标准方程的互化 【例1】（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________． 【答案】 【分析】化为标准方程得到半径求解. 【详解】圆的方程可化为， 则直径． 故答案为： 【例2】（25-26高二上·北京朝阳·期末）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 【技巧归纳】 化一般式为标准式，用配方法将 项分别配方成完全平方式，常数项移项到右边并合并，得到形式。化标准式为一般式，直接展开平方项并整理成形式。注意配方时保证右边为正数，且 x,y 系数相同。 【变式3-1】（25-26高二上·山西·阶段检测）若方程表示圆心在直线上的圆，则该圆的半径为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心坐标，根据圆心在直线上求得参数，然后可得圆的半径. 【详解】由题意，得圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为． 因为圆心在直线上，所以，解得，所以半径. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）若圆的面积为，则实数的值为__________. 【答案】2 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再根据圆的面积推出半径，列出方程即可得解. 【详解】由题意得圆的方程可以化为， 又因为圆的面积为，所以圆的半径为3， 可得，解得. 故答案为：2. 题型4 二元二次方程表示圆的条件 【例1】（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 【例2】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 【技巧归纳】 二元二次方程表示圆需满足三个条件：①的系数相同且都不为0 ② 不含 交叉项③对于D、E、F的取值要求： 【变式4-1】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 【变式4-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 题型5 判断点与圆的位置关系 【例1】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 【例2】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 【技巧归纳】 判断点与圆的位置关系，通过比较点到圆心距离与半径大小：距离小于半径则点在圆内，等于则在圆上，大于则在圆外。也可直接将点坐标代入圆方程左边，与0比较（标准式下小于0在内，等于0在上，大于0在外）。 【变式5-1】（2026·吉林·二模）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 【变式5-2】（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 题型6 根据点与圆的位置关系求参 【例1】（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 【例2】（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 【技巧归纳】 根据点与圆位置关系求参，核心是用点距公式或代入法建立不等式：点在圆内⇔点距小于半径（或代入标准式左边<0），在圆上⇔（或代入标准式左边=0），在圆外⇔（或代入标准式左边>0）。注意含参时需考虑半径为正及圆方程表示圆的条件，并验证端点是否满足题意。 【变式6-1】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 【变式6-2】（25-26高二上·江西·阶段检测）已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，将点坐标代入圆方程列出不等式，求解即可． 【详解】由题知，解得， 故选：A． 题型7 圆过定点问题 【例1】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 【例2】（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【分析】变形得到，求出定点A，B的坐标，得到答案. 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 【技巧归纳】 圆过定点，可将含参圆方程按参数整理成关于参数的恒等式，令参数系数为0、常数项为0，解方程组即得定点坐标。若方程为一般式，也可直接代入定点坐标使其恒成立。注意定点可能不止一个，且需验证圆心和半径是否符合条件。 【变式7-1】（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由见解析 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 题型8 圆有关的轨迹问题 【例1】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 【例2】（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 【技巧归纳】 求圆的轨迹，关键是找圆心和半径，根据动点满足的几何条件（如到定点距离恒定、垂直关系等）建立等式。常用方法有定义法（直接套圆定义）、直接法（设动点坐标列方程）和相关点法（利用已知点与动点关系代入）。注意排除不满足条件的点（如分母为零或轨迹不完整）。 【变式8-1】（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）利用中点公式表示的坐标，代入曲线的方程求解即可. 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 【变式8-2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积. 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 题型9 圆有关的对称问题 【例1】（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据题意知直线必过圆心，求出参数m的值，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】由题意可知，直线必过圆心，所以有， 解得，所以坐标原点到直线的距离． 故选：B． 【例2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为. 因圆关于对称，则过圆心，从而. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 【技巧归纳】 圆相关的对称问题，抓住圆心是关键：圆关于点、直线对称后仍为圆，半径不变，只需将圆心进行相应的对称变换（点关于点、点关于直线），再写出新圆方程。若涉及圆上点对称，则利用对称关系转化坐标；若圆关于自身对称，则对称轴必过圆心。注意对称变换时半径平方不变。 【变式9-1】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 【变式9-2】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）圆关于原点对称的曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的一般式的判定条件可求出；再利用两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变，可求出所求圆的方程. 【详解】由 表示一个圆，因此需满足圆的判别条件： 和 的系数相等且不为零， 即，得方程 ， 解得 或 ， 当 时，方程为 ， 配方得 ，不表示实圆， 当 时，方程为 ， 配方得 ，表示圆心为 ，半径为 5 的圆. 因此 是唯一有效解，原圆方程为 . 两圆关于点对称，等价于两圆的圆心关于点对称，半径不变， 圆心 关于原点对称点为 ，半径不变为 5， 故所求方程为 . 故选：C 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为， 故选：B 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 4．（25-26高二上·贵州·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为. 故选：A. 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 6．（25-26高二上·北京·期末）若存在，使得点在圆外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆外建立不等式，再由辅助角公式化简后转化为，解不等式即可得解. 【详解】因为点在圆外， 所以， 即存在，使得（其中）， 所以只需， 故，即， 解得， 故选：B 11． 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 8．（25-26高二上·北京·期中）已知圆：与直线：，则圆心的坐标为______，若圆关于直线对称，则______. 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，再根据圆心在直线上，代入求出的值. 【详解】圆：，即， 所以圆心为， 若圆关于直线对称，则点在直线上，即，解得 故答案为：； 9．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据直线是圆的对称轴可知，直线过圆心，进而可求出结果. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：D． 10．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $