第1.4讲 两条直线的交点与点线对称（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第1.4讲 两条直线的交点及点线对称 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求直线的交点坐标 题型2 由直线的交点坐标求参数 题型3 经过直线交点的直线方程 题型4 三线是否能围成三角形 题型5 点关于点对称 题型6 直线关于点对称 题型7 点关于直线对称 题型8 直线关于直线对称 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 求直线的交点坐标 联立两直线方程求解，注意平行（无解）和重合（无穷解）的情况需先判断。易错：解方程时计算错误，或忽略斜率不存在的情形。 2. 由直线的交点坐标求参数 已知交点坐标，代入两直线方程求参数；或先联立用含参方程表示交点，再根据条件列式。易错：参数使直线退化或平行时需讨论。 3. 经过直线交点的直线方程 常设直线系方程（过两直线交点的直线族），再根据第三个条件（过定点、平行、垂直等）确定参数。易错：忘记排除其中一条已知直线。 4. 三线是否能围成三角形 三条直线能围成三角形需满足：两两相交且交点互不相同（无三线共点），且无平行直线。易漏判：两条直线重合或三线共点的情况。 5. 点关于点对称 对称点是两点的中点，直接利用中点坐标关系求对称点。易错：中点公式符号反了，或误将对称中心当作对称轴。 6. 直线关于点对称 利用对称直线与原直线平行，且已知点到两直线距离相等。可在原直线上取两点分别求对称点，再确定新直线。易错：平行关系或距离相等条件遗漏。 7. 点关于直线对称 利用垂直平分关系：对称点连线与对称轴垂直，且中点在对称轴上。列方程组求解。易错：垂直条件与中点条件遗漏其一，或方程解错。 8. 直线关于直线对称 分情况：对称轴平行或相交。平行时用距离相等求；相交时利用角平分线或取点法求对称直线。易错：混淆对称轴与对称直线的位置关系，或取点法时选择不合适的点。 学习重点：掌握联立方程求交点的方法；理解直线系方程的应用（过交点的直线族）；熟悉中点公式在对称问题中的使用；掌握点关于直线对称的列方程思路（垂直与中点两个条件）。 学习难点：直线关于点或直线的对称问题中，几何条件的代数转化较复杂；三线围成三角形的条件判断易漏掉平行或共点情形；直线关于直线对称时，分情况讨论（平行或相交）的边界条件处理易出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两直线的交点 1、直线 与的交点方程组的解 1 方程组有一组解 两直线相交，解为交点坐标． 2 方程组无解 3 方程组有无数解与重合 2、中点坐标：设，则的中点的坐标为（ 即时即练（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 【方法总结】 两直线交点问题的核心就是联立方程求解，但需注意斜率不存在的特殊情况，此时不能简单用斜截式。 知识点02 关于点对称 1、点关于点的对称 设点关于点的对称点为（根据点式中点可求） 2、直线关于点的对称 若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行 方法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 方法二：（一般性方法）设所求直线上任一点,求出它关于点A的对称点，该点在直线上，将该对称点代入到直线方程，即可得出所求的直线方程 即时即练（多选）（25-26高二上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 【方法总结】 点关于点对称用中点公式；直线关于点对称，利用对称点坐标转化或取直线上两点分别求对称点，再确定新直线。 知识点03 关于直线对称 1、点关于直线的对称 设点关于直线对称的点为，根据 ①直线垂直于直线，有 ②的中点在直线上，有 可解出即可求得对成点坐标． 2、直线关于直线的对称 转化为点关于直线的对称问题来解决 ①若两条直线相交，则求出交点，然后再任取一点，求该点关于直线的对称点，根据交点与对称点，就可以求出直线方程。 ②若两条直线平行，则对称的两条直线到对称轴的距离相等，则可以求出该直线方程。 ③若两条直线关于轴或轴或与轴轴平行的直线对称，这时两条直线的斜率互为相反数 ④若两条直线关于对称，则把一条直线的方程中与互换即可得到对称的直线方程 即时即练（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 【方法总结】 点关于直线对称，利用“垂直平分”列方程：中点在对称轴上，连线与轴垂直；直线关于直线对称，可在原直线上取两点分别求对称点，或利用到角公式求对称直线斜率，注意斜率不存在或对称轴为特殊直线时需单独验证。 题型1 求直线的交点坐标 【例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 【例2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 【技巧归纳】 求直线交点坐标，直接联立两条直线的方程组成方程组，解这个二元一次方程组即可。若方程组有唯一解，即为交点坐标；若无解则两直线平行，有无穷多解则重合。 【变式1-1】（25-26高三上·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线方程求出倾斜角的正切值，再利用两角差的正切公式求出直线的斜率，然后根据直线过点，求出其方程，最后令求出点的坐标即可. 【详解】由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点， 所以， 又直线绕点顺时针方向旋转得到直线， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，令，可得，所以. 故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点后，根据点在的高线上，且的中点在的中线所在直线上，列出两个方程，求解即可. 【详解】 设点,线段的中点为,则. 因为点必在的高线上，故有； 因为边的中线所在直线方程为上,即点在该直线方程上,故有. 联立,解得. 即点. 故选：B. 题型2 由直线的交点坐标求参数 【例1】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【例2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先可得，再联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列不等式组求实数的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 【技巧归纳】 由交点坐标求参数，核心是将交点坐标代入含参直线方程，直接解出参数。若交点未给出，则先联立不含参的直线求出交点，再代入含参直线；注意排除使直线退化为不成立（如两线重合或平行导致无唯一交点）的参数值。 【变式2-1】（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 【答案】 【分析】先联立方程得交点，再代入求解即可. 【详解】根据题意，联立方程，解得， 所以与相交于点， 因为三条直线与相交于一点， 所以点在上，即，解得 所以. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 题型3 经过直线交点的直线方程 【例1】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线与的交点，再利用垂直直线的斜率关系求得斜率，代入点斜式方程求解即可. 【详解】联立与， 将的代入得， 整理得， 化简得，所以.再将代入得，即交点为. 直线的斜率为，由垂直关系得直线斜率. 所以过点且斜率为的直线点斜式为，即. 故选：D 【例2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程组得交点坐标，再由直线过原点即可求解. 【详解】由题，解得，则交点为， 又因直线过原点，所以直线斜率为，则直线方程为，即，故B正确. 故选：B. 【技巧归纳】 求经过直线交点的直线方程，可以用直线系方程或者求出交点坐标再求方程两种方式。 【变式3-1】（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知直线过和的交点，且横截距等于纵截距，则直线的一般式方程为__________. 【答案】或 【分析】先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解． 【详解】由方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为， 因为直线在两坐标轴上的截距相等， 当直线与两坐标轴的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 所以直线的方程为； 当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 即直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或． 【变式3-2】（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 题型4 三线是否能围成三角形 【例1】（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【答案】BCD 【分析】不能围成三角形可分为两种情况，一是三条直线交于同一个点，联立方程组即可求得的值.二是三条直线中有两条平行，由平行线斜率相等即可求得的值. 【详解】①三条直线交于同一点， 联立方程组得，解得，即. ②三条直线中由两直线平行， ，，， ∵ ∴当时，，即， 当时，，即， ∴， 故选：BCD. 【例2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 【技巧归纳】 三线能否围成三角形，需满足：①无平行（任两直线不平行）；②不共点（三条直线不交于同一点）；③两两相交且三个交点不重合。计算时可先验证斜率互不相同，再判断三线是否共点（联立交点是否满足第三条直线）。 【变式4-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 题型5 点关于点对称 【例1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用中点坐标公式求中点坐标. 【详解】由题设，线段的中点坐标为，即为. 故选：C 【例2】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 【答案】 【分析】借助中点坐标公式计算即可得. 【详解】设，则有，，故. 故答案为：. 【技巧归纳】 点关于点对称核心是“中点坐标公式”，直接代入计算即可。 【变式5-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 【变式5-2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 题型6 直线关于点对称 【例1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 【技巧归纳】 直线关于点对称，利用中心对称变换：在已知直线上任取两点，分别求其关于对称点的对称点，再由两点确定新直线；或利用对称点坐标公式直接转化方程。注意斜率变化，对称后直线与原直线平行。 【变式6-1】（25-26高三·全国·三轮复习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式6-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程. 【详解】因为，所以，所以交点是， 设直线的方程为，代入，则，所以， 因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为， 关于的对称点为，且在直线上， 所以，即， 所以直线的方程为. 题型7 点关于直线对称 【例1】（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解方程组求出点的坐标，可得，，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即，， 当时，，，则无意义； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 综上，的取值范围是. 故答案为： 【例2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 【答案】 【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解. 【详解】因为，，所以， 又点与点关于直线对称，所以， 又的中点， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【技巧归纳】 点关于直线对称，核心是“垂直平分”：对称点与已知点的连线被对称轴垂直平分。 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 【变式7-2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 题型8 直线关于直线对称 【例1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【例2】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【技巧归纳】 直线关于直线对称，核心是将对称问题转化为点对称：在已知直线上取两点，分别求其关于对称轴的对称点，再由两点确定对称后的直线；或利用到角公式直接求对称直线的斜率（两直线关于对称轴夹角相等）。 【变式7-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 1．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减， 可得， 把点代入，可得， 所以，又是线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是， 即. 4．（25-26高二上·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（   ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 【答案】D 【分析】由的取值不确定，则点的位置不确定，判断A；根据直线过定点的位置，判断BC；由两直线垂直得，可得存在定点，使得为定值，判断D. 【详解】联立，可得，显然点随的变化而变动，故A错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在轴的正半轴上，不可能同时经过第三、四象限，故B错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在第三象限，直线经过第三象限，故C错误； 当时，；当时，，则，所以， 则，取的中点，则为定值，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标，从而选出选项. 【详解】因为点､，的垂直平分线方程为， 又因为外心在欧拉线上， 联立，解得三角形的外心为， 又因为， 所以的外接圆方程为. 设，则三角形的重心在欧拉线上， 即，整理得：， 又因为在外接圆上，得， 联立，解得：或， 所以顶点的坐标可以是或， 故选：AD. 6．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程. 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. 7．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 8．（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 9．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 10．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.4讲 两条直线的交点及点线对称 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求直线的交点坐标 题型2 由直线的交点坐标求参数 题型3 经过直线交点的直线方程 题型4 三线是否能围成三角形 题型5 点关于点对称 题型6 直线关于点对称 题型7 点关于直线对称 题型8 直线关于直线对称 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 求直线的交点坐标 联立两直线方程求解，注意平行（无解）和重合（无穷解）的情况需先判断。易错：解方程时计算错误，或忽略斜率不存在的情形。 2. 由直线的交点坐标求参数 已知交点坐标，代入两直线方程求参数；或先联立用含参方程表示交点，再根据条件列式。易错：参数使直线退化或平行时需讨论。 3. 经过直线交点的直线方程 常设直线系方程（过两直线交点的直线族），再根据第三个条件（过定点、平行、垂直等）确定参数。易错：忘记排除其中一条已知直线。 4. 三线是否能围成三角形 三条直线能围成三角形需满足：两两相交且交点互不相同（无三线共点），且无平行直线。易漏判：两条直线重合或三线共点的情况。 5. 点关于点对称 对称点是两点的中点，直接利用中点坐标关系求对称点。易错：中点公式符号反了，或误将对称中心当作对称轴。 6. 直线关于点对称 利用对称直线与原直线平行，且已知点到两直线距离相等。可在原直线上取两点分别求对称点，再确定新直线。易错：平行关系或距离相等条件遗漏。 7. 点关于直线对称 利用垂直平分关系：对称点连线与对称轴垂直，且中点在对称轴上。列方程组求解。易错：垂直条件与中点条件遗漏其一，或方程解错。 8. 直线关于直线对称 分情况：对称轴平行或相交。平行时用距离相等求；相交时利用角平分线或取点法求对称直线。易错：混淆对称轴与对称直线的位置关系，或取点法时选择不合适的点。 学习重点：掌握联立方程求交点的方法；理解直线系方程的应用（过交点的直线族）；熟悉中点公式在对称问题中的使用；掌握点关于直线对称的列方程思路（垂直与中点两个条件）。 学习难点：直线关于点或直线的对称问题中，几何条件的代数转化较复杂；三线围成三角形的条件判断易漏掉平行或共点情形；直线关于直线对称时，分情况讨论（平行或相交）的边界条件处理易出错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两直线的交点 1、直线 与的交点方程组的解 1 方程组有一组解 两直线相交，解为交点坐标． 2 方程组无解 3 方程组有无数解与重合 2、中点坐标：设，则的中点的坐标为（ 即时即练（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 两直线交点问题的核心就是联立方程求解，但需注意斜率不存在的特殊情况，此时不能简单用斜截式。 知识点02 关于点对称 1、点关于点的对称 设点关于点的对称点为（根据点式中点可求） 2、直线关于点的对称 若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行 方法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 方法二：（一般性方法）设所求直线上任一点,求出它关于点A的对称点，该点在直线上，将该对称点代入到直线方程，即可得出所求的直线方程 即时即练（多选）（25-26高二上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【方法总结】 点关于点对称用中点公式；直线关于点对称，利用对称点坐标转化或取直线上两点分别求对称点，再确定新直线。 知识点03 关于直线对称 1、点关于直线的对称 设点关于直线对称的点为，根据 ①直线垂直于直线，有 ②的中点在直线上，有 可解出即可求得对成点坐标． 2、直线关于直线的对称 转化为点关于直线的对称问题来解决 ①若两条直线相交，则求出交点，然后再任取一点，求该点关于直线的对称点，根据交点与对称点，就可以求出直线方程。 ②若两条直线平行，则对称的两条直线到对称轴的距离相等，则可以求出该直线方程。 ③若两条直线关于轴或轴或与轴轴平行的直线对称，这时两条直线的斜率互为相反数 ④若两条直线关于对称，则把一条直线的方程中与互换即可得到对称的直线方程 即时即练（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________. 【方法总结】 点关于直线对称，利用“垂直平分”列方程：中点在对称轴上，连线与轴垂直；直线关于直线对称，可在原直线上取两点分别求对称点，或利用到角公式求对称直线斜率，注意斜率不存在或对称轴为特殊直线时需单独验证。 题型1 求直线的交点坐标 【例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【技巧归纳】 求直线交点坐标，直接联立两条直线的方程组成方程组，解这个二元一次方程组即可。若方程组有唯一解，即为交点坐标；若无解则两直线平行，有无穷多解则重合。 【变式1-1】（25-26高三上·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·山西·期中）在中，点A的坐标为,边的中线所在的直线方程为，边的高线所在的直线方程为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型2 由直线的交点坐标求参数 【例1】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【技巧归纳】 由交点坐标求参数，核心是将交点坐标代入含参直线方程，直接解出参数。若交点未给出，则先联立不含参的直线求出交点，再代入含参直线；注意排除使直线退化为不成立（如两线重合或平行导致无唯一交点）的参数值。 【变式2-1】（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 【变式2-2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 题型3 经过直线交点的直线方程 【例1】（25-26高二上·湖北襄阳·期中）过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）过直线与直线的交点和原点的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 求经过直线交点的直线方程，可以用直线系方程或者求出交点坐标再求方程两种方式。 【变式3-1】（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知直线过和的交点，且横截距等于纵截距，则直线的一般式方程为__________. 【变式3-2】（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 题型4 三线是否能围成三角形 【例1】（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）若三条直线： ，：，：不能围成三角形，则的取值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．4 【例2】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【技巧归纳】 三线能否围成三角形，需满足：①无平行（任两直线不平行）；②不共点（三条直线不交于同一点）；③两两相交且三个交点不重合。计算时可先验证斜率互不相同，再判断三线是否共点（联立交点是否满足第三条直线）。 【变式4-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 题型5 点关于点对称 【例1】（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，设点，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 【技巧归纳】 点关于点对称核心是“中点坐标公式”，直接代入计算即可。 【变式5-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【变式5-2】（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知，则线段的中点坐标为__________. 题型6 直线关于点对称 【例1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【例2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【技巧归纳】 直线关于点对称，利用中心对称变换：在已知直线上任取两点，分别求其关于对称点的对称点，再由两点确定新直线；或利用对称点坐标公式直接转化方程。注意斜率变化，对称后直线与原直线平行。 【变式6-1】（25-26高三·全国·三轮复习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 题型7 点关于直线对称 【例1】（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是________. 【例2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 【技巧归纳】 点关于直线对称，核心是“垂直平分”：对称点与已知点的连线被对称轴垂直平分。 【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 题型8 直线关于直线对称 【例1】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【例2】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 直线关于直线对称，核心是将对称问题转化为点对称：在已知直线上取两点，分别求其关于对称轴的对称点，再由两点确定对称后的直线；或利用到角公式直接求对称直线的斜率（两直线关于对称轴夹角相等）。 【变式7-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 1．（2026高三·全国·专题练习）直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（   ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 5．（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______. 7．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $