2.2直线与圆的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第二章 圆与方程 2.2直线与圆的位置关系 知识点、直线与圆的位置关系及判定 判断方法：设直线l和圆C的方程分别为,。 （1） 代数法：联立直线与圆的方程，得到一个关于x,y的二元二次方程组，消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，其根的判别式为△，由△与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断圆与直线的位置关系。 （2） 几何法：设圆心C到直线l的距离为d，圆的半径为r，由d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系。 例1-1、 直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是（ ） A、 相交 B、相切 C、相离 D、不确定 例1-2、若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100有如下关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离。分别求实数a的取值范围。 能力点1、圆的切线问题及切线方程的求解方法 1、 自一点引圆的切线的条数 2、 求过圆上一点的切线方程 求法：先求切点与圆心连线的斜率k（k≠0），则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程。 重要结论：（1）经过圆上一点P的切线方程为; （2）经过圆上一点P的切线方程为; （3）经过圆上一点P的切线方程为。 3、斜率为k且与圆相切的切线方程的求法 （1）几何法：先设切线方程为y=kx+m，化为一般式方程为kx-y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求m。 （2）代数法：先设切线方程为y=kx+m，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，再利用判别式为0，求出m。 4、过圆外一点与圆相切的切线方程的求法（点斜式） 5、圆的切点弦方程及其求法 （1）切点弦定义：过圆外一点引圆的两条切线，过两切点的线段叫圆的切点弦。 （2）过圆外一点P引圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的方程为。 6、圆的切线长的求法及公式 过圆外一点P引圆的两条切线， 则切线长为= 例1-1、 求经过点P（1，-7）与圆相切的切线方程。 例1-2、从直线上一点P相圆C：引切线，则切线长的最小值为________。 能力点2、圆的弦长问题的求解方法 设直线l的方程为，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： （1） 几何法：; （2） 代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，设交点坐标分别为A，B。 ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解。 ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得+，或+,的关系式，则有： = 或=。 通常把或叫作弦长公式。 （3） 解决与中点弦有关的问题时，有下列三种常见方法： ①利用一元二次方程根与系数的关系，求出中点坐标； ②利用圆本身的几何性质（圆心与弦中点的连线与弦垂直），可直接求出弦所在直线的斜率； ③设出弦的两个端点坐标，代入圆的方程，利用作差法求出弦所在直线的斜率，此为点差法。 变：设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆的方程。 例2-1、直线l：3x+y-6=0被圆C：截得的弦长为___________。 例2-2、已知圆内一点A（4，-2）,求以点A为中点的弦所在直线的方程。 能力点3、解与圆有关的最值问题的常用方法 例2、 已知圆C：，点P在圆C上，求点P到直线l：x+y-5=0的最大距离和最小距离，并求距离最小时点P的坐标。 能力点4、解决直线与圆相交的交点问题的技巧——设而不求 例4、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使以圆C截l所得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。 变：已知圆和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点）,求该圆的圆心坐标及半径。 达标检测： 1、 对任意的实数k，直线与圆的位置关系为（ ） A、 相离 B、相切 C、相交 D、以上选项均有可能 2、 直线与圆相切，则实数m等于（ ） A、 或- B、-或3 C、-3或 D、-3或3 3、 （多选）已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A、 直线x=-1与圆A相切 B、 圆A截y轴所得的弦长为4 C、 点B（-1，-1）在圆A外 D、 圆A上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为3 4、 由直线y=x+1的一点向圆引一条切线，则切线长的最小值为_______________。 5、 已知圆M经过点A（-3，2），B（-1，4），且____________。在①经过点C（-1，0）；②与x轴有公共点，半径为2；③被直线y=2平分这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并加以解答。 （1） 求M的过程。 （2） 若经过点P（-3，6）的直线与圆M相切，求直线l的方程。 答案： 例1-1、A 例1-2、圆的圆心为（0，0），r=10，则圆心到直线的距离（1）-50<a<50;（2）a=50或a=-50;（3）a<-50或a>50 能力点： 例1-1、4x-3y-25=0或3x+4y+25=0 例1-2、 例2-1、 例2-2、2x+y-6=0 例3、最大距离：；最小距离：；P 例4、x-y+1=0或x-y-4=0 达标检测： 1、C 2、C 3、BC 4、 5、(1)① ②=4 ③=4 (2)x=-3或3x+4y-15=0 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$