期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年苏科版七年级数学下册（江苏省南京市）

**基本信息** 以航天科技、生活实践为情境载体，通过几何变换、方程与不等式综合应用等题型，考查抽象能力、空间观念与模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|图形性质、整式运算等|航天图标判断轴对称与中心对称，渗透数学眼光| |填空题|10/20|方程解、不等式组参数等|工厂生产零件天数计算，强化数学思维| |解答题|9/64|几何作图、综合实践等|三角尺旋转探究几何变换，监控设备购买方案设计体现模型意识|

期末综合能力培优导航练习卷2025-2026学年苏科版七年级数学下册（江苏省南京市） (考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分16分） 1．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中，其逆命题是假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．对顶角相等 C．等边三角形的每个内角都是 D．全等三角形的对应边相等 4．下列四对数值，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．若，，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 7．下面四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 9．已知，，则______． 10．已知关于的方程组的解是，则_________． 11．若关于的一元一次不等式组，无解，则的取值范围是______． 12．已知关于的方程组的解满足，则的值为_____． 13．已知，现给出3个数之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是___________．（填序号） 14．某工厂计划生产一批零件，如果每天生产20个，则比计划时间晚一天完成；如果每天生产25个，则比计划时间早一天完成，则计划生产的天数是_______天． 15．有一根的金属棒，欲将其截成根的小段和根的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数的和为_____________． 16．若，则________________． 17．如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为_________． 18．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共9小题，共计64分，解答题要有必要的文字说明） 19．（6分）计算：（1）； （2）． 20．（6分）解方程组及解不等式组． (1)解方程组：； (2)解不等式组：． 21．（6分）先化简，再求值：，其中，． 22．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、的数量关系是　 ； (3)画格点，使得直线． 23．（6分）如果，那么规定．例如：如果，那么． (1)根据规定填空：___________，___________； (2)记，，，若，求的值； (3)若，，比较，的大小关系． 24．（8分）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 25．（8分）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点、的对应点分别为点、，交于点． (1)若，求的度数． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． 若，则的度数__________． 若，请求出的度数． 26．（8分）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 27．（10分）【基本方法】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0．具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解 (1)【理解应用】若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． (2)【理解应用】，，且的值与x的取值无关，求n的值． (3)【迁移提升】7张如图1的小长方形卡片，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 参考答案 1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B 9． 10．5 11． 12． 13．①②③ 14．9 15．5 16． 17． 18． 19．【详解】（1） ； （2） ． 20．【详解】（1）解：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 21．【详解】解： ， 当，时，原式． 22．(1)如图，即为所求． (2) 相等 (3)如图，点即为所求． 23．【详解】（1）解：，则， ，则． （2）解：，则，，则， ， 若，则，可得， ，故． （3）解：，则，即， ，则，即， ，故． 24．【详解】（1）解：根据题意，得 解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． （3）根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 25．【详解】（1）解：由翻折的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：，， ， ， 由翻折的性质得：， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ； ， ， 由翻折得， ， ， 继续沿进行第二次折叠， ， ， ， ， ， ， ， ． 26．【详解】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75； （2）由旋转的性质得， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在点O的右侧时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在点O的左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线平行． 当在点O的上侧时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 27．【详解】（1）解： ， 其值与的取值无关， ， ； （2）∵，， ， 的值与无关， ，即； （3）设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与无关， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $