专题十二：特殊的平行四边形之菱形-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题十二:特殊的平行四边形之菱形 一、单选题 1．如图，在中，，，点在边上，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，折叠的性质，得出是解题的关键． 由折叠可知：，，，，，设，则，证四边形是菱形，证，即可解答． 【详解】解：由折叠可知：，，，，，设，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，由菱形的性质得出，结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进一步得出，由含30度直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 在中， ． 故选：B 3．如图，菱形中，，，为垂足．若，则菱形的周长是（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据菱形的性质可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的长度，最后根据菱形的性质即可求出其周长． 【详解】解∶∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ， ∴， ∴菱形的周长是， 故选∶A． 4．如图：在平行四边形中，添加下面条件不能判定四边形为菱形的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解： A．当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形； B．当时，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形； C．当时，只能证明，不能判断是菱形； D．当时，根据一组对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，可得是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题的关键． 5．如图，要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：当，则为菱形，故A符合要求； 当，则为矩形，故B不符合要求； 当，则不一定为菱形，故C不符合要求； 当，则为矩形，故D不符合要求； 故选：A． 6．如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断． 【详解】解：（1）连接、， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 又是半径， 与相切，（1）结论正确； （2）由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，（2）结论正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，（3）结论正确； （4）四边形是菱形，， ，， ， ，（4）结论错误； 即正确个数有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 7．如图，已知的半径长是分别切于点，连结并延长交于点，连结．若四边形是菱形，则的长是（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，，根据菱形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 切于点， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．如图，在菱形中，在对角线上取一点E，使得，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】如图所示，连接交于O，利用菱形的性质得到，，设，则，利用勾股定理得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．如图，在中，对角线交于O，过点O作的垂线分别交、于E、F．已知，，，那么的长是（   ） A．9.6 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握菱形的判定及性质是解题关键．根据平行四边形的性质可得，的长度，由勾股定理的逆定理可证得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，， 在中，， ∴，则四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：A． 10．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可． 【详解】解：由题意可得：平移过程中， ，，， ∴四边形是平行四边形， 刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：， 即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时， 此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为， 即再平移个单位长度后是菱形；      综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形， 故选C． 【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，综合利用了特殊四边形的判定和性质，掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，则就是的最小值，即的长就是． 【详解】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，如图： 此时即为的最小值，与的交点是此时P的位置， 又，M，N分别是的中点， ∴E也是的中点， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又， 则， 故答案为：10． 【点睛】此题是有关最短路线问题，有关直线同侧的折线段相加的值最小问题，常转化为直线两侧两点之间线段最短问题． 12．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的性质，求出，且，根据勾股定理，即可求出菱形的边长． 【详解】解：设，的交点为， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∴菱形的边长为． 故答案为：． 13．已知四边形是平行四边形，对角线相交于点，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形．（只需添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：添加条件是， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，点、、、为上的点，若四边形是菱形，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据菱形的性质可得，根据圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补可得，进而可得答案． 【详解】解∶∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为∶． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，以及菱形的性质和圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 15．如图在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据菱形性质可知，，，根据折叠可知，，，求出，根据等腰三角形性质求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在菱形中，，，点E在边上，点F在对角线上，，连结，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 先由边角边的证明方法证明和全等，再由边角边的证明方法证明和全等，根据全等三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如答图，过点D作于点D，使得，连结，在上取一点T，使得，连结，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴≌， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 17．如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 18．如图所示，为直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧，分别交，于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧于点M，N，连接分别交，于点P，Q，连接，，则四边形的周长为 ． 【答案】24 【分析】由作图可得，平分，垂直平分，证明，得出，则，证明四边形是菱形，求出的长即可得解． 【详解】解：如图，令交于， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 由作图可得，平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题 19．如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接，再根据菱形的性质，平行四边形的判定，即可； （2）根据菱形的性质，得，；根据，，即可． 【详解】（1）如下如：即为所求， 以点为圆心，为半径，画弧交的延长线于点，连接， 证明： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．    （2）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是上的中线， ∴． 【点睛】本题考查菱形、平行四边形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，直角三角形的中线，平行四边形的判定和性质． 20．小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充，见解析 【分析】本题考查菱形的判定以及线段垂直平分线的性质，赞成小洁的说法，补充：，由四边相等的四边形是菱形即可判断． 【详解】赞成小洁的说法，补充：． 证明：，， ，． 又∵． ∴， ∴四边形是菱形． 21．如图，在平行四边形中，对角线、相交于，且，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理．证明是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】证明：，，, , , , ∴平行四边形是菱形． 22．如图，在的正方形网格纸中，已知格点和格点线段，请按要求画出为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）． (1)在图①中画出四边形，使得四边形是中心对称图形，且点M在四边形的内部（不包括边界上）． (2)在图②中画出四边形，使得四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点在四边形的内部（不包括边界上）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理和正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和正方形的判定是解本题的关键． （1）根据题意可以作一个平行四边形，根据平行四边形的判定定理∶一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，或四条边相等的四边形即菱形，作图； （2）可以作一个正方形，根据正方形的判定：四条边相等且有一个角是直角的四边形，作图即可． 【详解】（1）如图，∵， ∴四边形是平行四边形，符合题意， （2）如图，， ∴四边形是菱形，符合题意； 23．如图，在中，是的平分线E是上一点， 交于点F，与交于点G．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与菱形的判定，先得出，在和中，根据全等三角形的判定得出和，得出，，在和中，得出，得出，根据，得出，从而得出，即可得出，从而得出四边形是菱形． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 24．如图，的边上有一点P，过点P作． (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了尺规作线段和角平分线，角平分线的概念，平行线的性质和等角对等边性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据尺规作线段和角平分线的方法求解即可； （2）根据角平分线的概念和平行线的性质得到，推出，，然后结合和即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）如图所示，，即为所求； （2）如图所示，连接， 由作图得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 25．如图，中，点D是上一点，过点D作，点F是的中点，连接，并延长交于点G． (1)连接，求证：四边形是平行四边形． (2)若使四边形是菱形，应为什么特殊三角形？点D在的什么位置？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形时，是菱形；点D为中点 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，其中证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，得；再由即可证明四边形是平行四边形； （2）当为等腰三角形且时，由D是中点，则，从而得，即四边形是菱形． 【详解】（1）证明：点F是的中点， ； ， ， ， ， ； ， 四边形是平行四边形； （2）解：当为等腰三角形且时，且D中点，四边形是菱形； 时，且D是中点， ； ， ， ， ， 即平行四边形是菱形． 26．如图，已知四边形是矩形，点E是中点，连接．    (1)作点关于直线的对称点（用尺规作图，不写作法和证明）； (2)在（1）所作的图形中，连接和．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析． 【分析】（1）先过点作于点，再在射线上取点，使得，则点即为所求作的点； （2）先证，得，再根据轴对称的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点；    （2）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线成轴对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图之作垂线与作一条线段等于已知线段以及矩形的性质以及菱形的判定，熟练掌握作垂线的方法以及菱形的判定方法是解题的关键． 试卷第2页，共27页 试卷第1页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十二:特殊的平行四边形之菱形 一、单选题 1．如图，在中，，，点在边上，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，则的长为（    ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．如图，菱形中，，，为垂足．若，则菱形的周长是（   ） A． B．8 C． D．16 4．如图：在平行四边形中，添加下面条件不能判定四边形为菱形的是（　　）    A． B． C． D． 5．如图，要使成为菱形，则可添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知的半径长是分别切于点，连结并延长交于点，连结．若四边形是菱形，则的长是（　　） A．5 B． C．6 D． 8．如图，在菱形中，在对角线上取一点E，使得，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 9．如图，在中，对角线交于O，过点O作的垂线分别交、于E、F．已知，，，那么的长是（   ） A．9.6 B．12 C．10 D．8 10．数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 二、填空题 11．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 12．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 13．已知四边形是平行四边形，对角线相交于点，请你添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形．（只需添加一个即可） 14．如图，点、、、为上的点，若四边形是菱形，则的度数为 ． 15．如图在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知，则的度数为 ． 16．如图，在菱形中，，，点E在边上，点F在对角线上，，连结，，则的最小值为 ． 17．如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 18．如图所示，为直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧，分别交，于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧于点M，N，连接分别交，于点P，Q，连接，，则四边形的周长为 ． 三、解答题 19．如图，在菱形中，对角线和相交于点．    (1)实践与操作：过点作交的延长线于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想． 20．小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 21．如图，在平行四边形中，对角线、相交于，且，，．求证：四边形是菱形． 22．如图，在的正方形网格纸中，已知格点和格点线段，请按要求画出为对角线的格点四边形（顶点均在格点上）． (1)在图①中画出四边形，使得四边形是中心对称图形，且点M在四边形的内部（不包括边界上）． (2)在图②中画出四边形，使得四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点在四边形的内部（不包括边界上）． 23．如图，在中，是的平分线E是上一点， 交于点F，与交于点G．求证：四边形是菱形．    24．如图，的边上有一点P，过点P作． (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 25．如图，中，点D是上一点，过点D作，点F是的中点，连接，并延长交于点G． (1)连接，求证：四边形是平行四边形． (2)若使四边形是菱形，应为什么特殊三角形？点D在的什么位置？证明你的猜想． 26．如图，已知四边形是矩形，点E是中点，连接．    (1)作点关于直线的对称点（用尺规作图，不写作法和证明）； (2)在（1）所作的图形中，连接和．请判断四边形的形状，并说明理由． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $