精品解析：江苏常州市第二十四中学2025－2026学年八年级下学期数学期末复习(三)

八下数学期末复习（三） 一．选择题（共8小题，每小题2分，满分16分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 全市居民每周收看新闻联播次数的调查 B. 全市初中生每天运动时间的调查 C. 全班学生身高的调查 D. 某品牌节能灯使用寿命的调查 3. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度变大 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 7. 如图，D、E、F分别是 各边的中点，下列说法正确的是（ ） A. 四边形不一定是平行四边形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当 是等边三角形时，四边形是正方形 8. 如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二．填空题（共10小题，每小题2分，满分20分．） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 10. 分解因式：_____． 11. 在 中，已知，则_________． 12. 当______时，分式的值是0． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______（结果精确到0.1）． 14. 一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，26，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为_________． 15. 利用图中的网格比较大小：_____（填“>”、“<”或“=”）． 16. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____． 17. 矩形、矩形按如图所示放置．若，则______． 18. 如图，在边长为2的正方形中是各边上的点，分别是的中点．当，时，______． 三、解答题（共4小题，每小题3分，满分12分．） 19. 计算 （1） （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 四、应用题（共7小题，第21题、22题每题各4分；第23题、24题每题各6分；第25题8分；第26题、第27题每题各12分，满分52分．） 21. 先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 22. 为了丰富学生的课余生活，某校开设了四门手工活动课，按照类别分为A：“剪纸”、B：“沙画”、C：“雕刻”、D：“泥塑”，为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______； （2）统计图中的______，______，扇形统计图中“C”项所对应的圆心角是______； （3）该校共有1500名学生，请估计全校喜爱“沙画”的学生人数． 23. 学校为保障学生的课外活动时间，决定增购两种体育器材：排球和篮球，已知篮球的单价比排球的单价多元，用元购买的排球数量和用元购买的篮球数量相同．求排球和篮球的单价． 24. 如图，在 中，的平分线交边 于点E，F是边AD上的一点，且，连接．判断四边形的形状，并证明你的结论． 25. 只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线． （2）如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F． 26. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． （1）示例中，______； （2）参考示例方法，将分式分离常数； （3）探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 27. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图1，以锐角 的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； （3）如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八下数学期末复习（三） 一．选择题（共8小题，每小题2分，满分16分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个进行计算即可． 【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意； B、，故B计算正确，符合题意； C、，故C计算不正确，不符合题意； D、，故D计算不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 2. 下列各项调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 全市居民每周收看新闻联播次数的调查 B. 全市初中生每天运动时间的调查 C. 全班学生身高的调查 D. 某品牌节能灯使用寿命的调查 【答案】C 【解析】 【分析】在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就会受到限制，这时应选择抽样调查． 【详解】A：全市居民每周收看新闻联播次数的调查适合抽样调查，此项不符合题意； B：全市初中生每天运动时间的调查适合抽样调查，此项不符合题意； C：全班学生身高的调查适合全面调查，此项符合题意； D：某品牌节能灯使用寿命的调查适合抽样调查，此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查抽样调查和全面调查的区别，选择普查和抽样调查要根据考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往采用全面调查． 3. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，熟知几个非负数相加的和为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键． 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质化简各分式，然后逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原分式不是最简分式，不符合题意； B、，故原分式不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 5. 将3个红球和x个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件的定义（必然事件发生的可能性为1）即可得． 【详解】解：由题意，若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是1 故选：A． 【点睛】本题考查了必然事件，熟记必然事件的定义是解题关键． 6. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是（ ） A. 四边形由矩形变为平行四边形 B. 对角线的长度变大 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向右扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向右扭动框架，的长度变大，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 7. 如图，D、E、F分别是 各边的中点，下列说法正确的是（ ） A. 四边形不一定是平行四边形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当 是等边三角形时，四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中位线定理知，四边形是平行四边形，故A选项错误；当时，根据矩形的判定可对B选项作出判断；当时，则得，由菱形的判定可对C选项作出判断；当 是等边三角形时，由正方形的判定可对D选项作出判断． 【详解】解：∵D、E、F分别是 各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A错误； 当时，与不垂直，故B错误； 当时， ∵D、F分别是 两边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C正确； 当 是等边三角形时，则有， 由上知，四边形不是正方形，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，特殊平行四边形及平行四边形的判定，等边三角形的性质等知识，掌握它们是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，，，点、分别在边、上，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，很容易能得到和全等，根据全等的性质，能推出为等边三角形，从而将的最小值问题转化为的最小值；而的最小值，又可以联想到点到的距离：垂线段最短，从而将问题解决了． 【详解】解：过点作，连接， ， 四边形是菱形， ，， 和都是等边三角形， ，， 在中，， ， 在中，根据勾股定理，得：， ， ， 垂线段最短， ， ． 在和中， ≌． ，， 即：， ，， 为等边三角形， ， ， 即：有最小值． 故选：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识．正确作出所需要的辅助线是解题的关键，也是本题的难点． 二．填空题（共10小题，每小题2分，满分20分．） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴被开方数满足， 解得． 10. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【详解】解： ． 11. 在 中，已知，则_________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形中对角相等，邻角互补的性质是解题的关键． 12. 当______时，分式的值是0． 【答案】－2 【解析】 【分析】当分式的分子为零，同时分母不为零时，分式的值为零． 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为：－2 【点睛】本题考查分式的值为零的条件．注意分式有意义的条件应同时满足． 13. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______（结果精确到0.1）． 【答案】0.2 【解析】 【分析】观察数据表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近，可把它作为概率的近似值． 【详解】解：由表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近， 因此，估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为0.2； 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查了频率与概率，理解当频数增加时，频率稳定在某个值，这个值可以作为事件发生的概率，这是解题的关键． 14. 一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，26，20，第5组的频率为0.20，则第6组的频数为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用频数与频率的关系得出第5组的频数，进而得出答案． 【详解】解：∵一组数据共100个，第5组的频率为0.20， ∴第5组的频数是：100×0.20＝20， ∵一组数据共100个，分为6组，第1～4组的频数分别为10，14，26，20， ∴第6组的频数为：100−20−10−14−26−20＝10． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确得出第5组频数是解题关键． 15. 利用图中的网格比较大小：_____（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的三边关系等知识点．熟记相关知识点是解题关键． 利用勾股定理，借助三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设该网格最小单元的边长为１，如图所示： 在中， 在中， 在中，有 故 故答案为：＞． 16. 若关于x的方程有增根，则m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根：熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联系是解题的关键． 若原分式方程有增根，则，解得x的值，再代入去分母后的整式方程中，即可解得m值． 【详解】解： 去分母得， 若原分式方程有增根，则，所以 当 时，，得， 所以若原分式方程有增根，则， 故答案为 ：2． 17. 矩形、矩形按如图所示放置．若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点D， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解答的关键． 18. 如图，在边长为2的正方形中是各边上的点，分别是的中点．当，时，______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系．根据中点坐标公式得出的坐标即可求解． 【详解】解：以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 故四边形均为矩形 设 则点 因为分别是的中点 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、矩形的判定、中点坐标公式、两点间的距离公式等知识点．根据正方形的特征建系是解决此题的一个巧妙方法． 三、解答题（共4小题，每小题3分，满分12分．） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法则计算即可； （2）先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减、乘除混合运算，掌握运算法则、正确进行计算是关键． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）两边同时乘，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；（2）方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得 ∴ 检验：当时，，且左边＝右边 ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得 ∴． 检验：当时，． ∴是增根． ∴原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程．求解后检验是易漏掉的环节，需要注意． 四、应用题（共7小题，第21题、22题每题各4分；第23题、24题每题各6分；第25题8分；第26题、第27题每题各12分，满分52分．） 21. 先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法法则计算括号内部分，再计算除法，化简得到结果，根据分式有意义的条件选择合适的字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当或或时，分式无意义， ∴ ， 当 时， 原式 22. 为了丰富学生的课余生活，某校开设了四门手工活动课，按照类别分为A：“剪纸”、B：“沙画”、C：“雕刻”、D：“泥塑”，为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______； （2）统计图中的______，______，扇形统计图中“C”项所对应的圆心角是______； （3）该校共有1500名学生，请估计全校喜爱“沙画”的学生人数． 【答案】（1）90 （2）6，36，120 （3）100名 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以其人数占比即可得到答案； （2）根据（1）所求用参与调查的总人数乘以D的人数占比求出b，进而求出A，再求出C所对应的圆心角度数即可； （3）用1500乘以样本中喜爱“沙画”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴本次调查的总人数为90，即本次调查的样本容量是90， 故答案为：90； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 扇形统计图中“C”项所对应的圆心角是， 故答案为：6，36，120； 【小问3详解】 解：名 答：估计全校喜爱“沙画”的学生有 100名． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． 23. 学校为保障学生的课外活动时间，决定增购两种体育器材：排球和篮球，已知篮球的单价比排球的单价多元，用元购买的排球数量和用元购买的篮球数量相同．求排球和篮球的单价． 【答案】排球和篮球的单价分别为元、元． 【解析】 【分析】根据题意找等量关系，列出分式方程，解之经检验后，即可求出排球和篮球的单价． 【详解】解：设排球的单价为元，则篮球的单价为元， 由题意得， 解方程，得：， 经检验：是原方程的解， 则篮球的单价为：， 答：排球和篮球的单价分别为元、元． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 24. 如图，在 中，的平分线交边 于点E，F是边AD上的一点，且，连接．判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【解析】 【分析】由 得到，结合角平分线的定义得到，因此，再由，得到四边形是平行四边形，又即可得到是菱形． 【详解】略 25. 只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线． （2）如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一，可知的角平分线过线段的中点，由平行四边形的性质可知，的中点即为平行四边形对角线的交点，过与的中点的射线即为所求，作图即可，如图1； （2）由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作的中线，，交点为重心，连接并延长交于，即为所求，如图2． 【小问1详解】 解：如图1，连接、交于点，过作射线 ， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图2，连接，，与交于点G，连接，与交于点，连接并延长交于，即为所求； 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的性质，角平分线，中线、重心等知识．熟练掌握等腰三角形三线合一，三角形的三条中线交于一点是解题的关键． 26. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． （1）示例中，______； （2）参考示例方法，将分式分离常数； （3）探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、纵坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】（1）1 （2） （3）①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【解析】 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【小问1详解】 解： 故 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 【点睛】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关性质．从题目中提炼信息是解题的关键． 27. 定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图1，以锐角 的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； （3）如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 【答案】（1）D （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质可得，根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【小问1详解】 解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； 【小问2详解】 证明：如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵∠， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； 【小问3详解】 解：如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵的值为32， ∴， 根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $