精品解析：2023年山东省泰安市岱岳区实验中学中考数学模拟题

2023年泰安市岱岳区实验中学中考数学模拟 一、单选题 1. 的倒数是（　　） A. B. 4 C. D. 2. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 去年合肥市城镇居民人均可支配收入接近元，用科学记数法表示这个数为元，小明想结合负指数幂的知识用科学记数法表示，应该为（ ）亿元． A. B. C. D. 5. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 平均数是9环 B. 中位数是9环 C. 众数是9环 D. 方差是0.8 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，点P是BC中点，，且，两边，分别交，于点E，F，给出以下四个结论：①，②，③，④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），，上述结论中始终正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 二、填空题 13. 计算：________． 14. 如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______． 15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______． 16. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号） 17. 如图，已知直线L：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线L上点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则△A2019B2018B2019的面积为_____． 18. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 三、解答题 19. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 20. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为，，E为x轴负半轴上一点，且． （1）求一次函数的解析式； （2）延长AO交双曲线于点D，连接CD，求的周长． 22. 某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 23. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标； (3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 25. 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年泰安市岱岳区实验中学中考数学模拟 一、单选题 1. 的倒数是（　　） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查倒数：两个数乘积等于1，这两个数互为倒数，根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确， 不符合题意；     B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     C.     ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，根据定义，结合图形判定即可． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意 ． 4. 去年合肥市城镇居民人均可支配收入接近元，用科学记数法表示这个数为元，小明想结合负指数幂的知识用科学记数法表示，应该为（ ）亿元． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将数字化成以亿为单位的数字，再根据科学记数法直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故选B； 【点睛】本题考查科学记数法：将一个数写成，其中n为整数，小数点向右移几位，n为负几． 5. 如图，在中，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得、，再根据角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解答本题的关键． 6. 如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是解题的关键． 7. 射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 平均数是9环 B. 中位数是9环 C. 众数是9环 D. 方差是0.8 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出平均数，中位数，众数以及方差即可求解 【详解】解：根据题意得：10次射击成绩从小到大排列为8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4， A、平均数是环，故本选项正确，不符合题意； B、中位数是环，故本选项正确，不符合题意； C、9出现的次数最多，则众数是9环，故本选项正确，不符合题意； D、方差是 ，故本选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法． 8. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面积公式求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出的度数． 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11. 如图，在中，，，点P是BC中点，，且，两边，分别交，于点E，F，给出以下四个结论：①，②，③，④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），，上述结论中始终正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断即可． 【详解】解：，，直角的顶点P是的中点， ，，， ∵，， ， 在和中， ， ，即结论①正确； 是等腰直角三角形，P是的中点， ， 又不一定是的中位线， ，故结论②错误； ， ， 又， 是等腰直角三角形，故结论③正确； ， ， ，故结论④正确； 综上，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，始终正确的有3个结论． 故选：C． 【点睛】本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，三角形的中位线定理等，综合性较强．根据题意得出是解答此题的关键环节． 12. 如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【答案】B 【解析】 【分析】以为边作等边，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证明，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边，过点H作于N，于M， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点F与点M重合时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 13. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据绝对值概念化简，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算和绝对值的化简，熟记二次根式的运算法则和绝对值的概念是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题． 【详解】解：在中， 在矩形中， 故答案为：3． 【点睛】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠A=15°，弦CD=2，那么OC的长是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用垂径定理得到CE=DE=1，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=1，∠OEC=90°， ∵∠BOC=2∠A=2×15°=30°， ∴OC=2CE=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 16. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解. 【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA， ∵BC=6， ∴CE=， ∴DF=CE=， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义． 17. 如图，已知直线L：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线L上点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则△A2019B2018B2019的面积为_____． 【答案】24037 【解析】 【分析】根据题意分别求出A1（0，2），A2（2，4），B1（2，0），B2（6，0），A3（6，8），B3（14，0），…，进而求出S△A1OB1＝×2×2＝21，S△A2B1B2=×4×4=23，S△A3B2B3=×8×8=25，…，S△AnBn-1Bn=22n-1可以探索三角形面积的规律，即可求解． 【详解】解：y＝x+2交y轴于点A1， ∴A1（0，2）， ∵△A1OB1是等腰直角三角形， ∴B1（2，0）， ∵若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…均为等腰直角三角形， ∴A2（2，4），B2（6，0），A3（6，8），B3（14，0），… ∴S△A1OB1＝×2×2＝21， S△A2B1B2=×4×4=23，S△A3B2B3=×8×8=25，…，S△AnBn-1Bn=22n-1， ∴△A2019B2018B2019的面积为＝24037； 故答案为24037； 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，探索面积规律；能够通过作图确定点的关系，探索直角三角形面积存在的规律是解题的关键． 18. 如图，在中，，于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点落在CD的延长线上．若，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在△ABC中由等面积求出，进而得到，设BE=x，进而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解． 【详解】解：在中由勾股定理可知：， ∵， ∴， ∴， 在中由勾股定理可知：， ∴， 设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=， 在中由勾股定理可知：，代入数据： ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长． 三、解答题 19. 先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】2a-6，当a=0时，原式=-6；当a=1时，原式=-4． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定a的值，继而代入计算可得答案． 【详解】 = = = = =2a-6， ∵a≠3且a≠-1， ∴a=0，a=1， 当a=0时，原式=2×0-6=-6； 当a=1时，原式=2×1-6=-4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4） 【解析】 【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数； （2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题； （4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名； （2）喜爱“体育”的人数为（名， 补全图形如下： （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名； （4）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为，，E为x轴负半轴上一点，且． （1）求一次函数的解析式； （2）延长AO交双曲线于点D，连接CD，求的周长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）过A作x轴的垂线交x轴于点M，利用，，求出，，得出点，利用反比例函数的解析式求出点，再利用待定系数法进行求解； （2）利用反比例函数的图象关于原点对称的特点得出，及，利用一次函数的额解析式，求出点的坐标，根据，分别算出边长即可求解． 【小问1详解】 解：过A作x轴的垂线交x轴于点M， 在中，，， 设，，， 解得， ，， ． 反比例函数经过点， ，，反比例函数解析式为． 又反比例函数经过点， ，即． 一次函数经过，， ， 解得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：反比例函数的图象为中心对称图形， ，． 一次函数与x轴交于C点， ． 又， ，， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数的综合运用，解题的关键是掌握利用待定系数法求出函数的解析式，再结合图象的特点进行求解． 22. 某社区拟建，两类摊位以搞活“地摊经济”，每个类摊位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米，建类摊位每平方米的费用为40元，建类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建类摊位的个数恰好是用同样面积建类摊位个数的． （1）求每个，类摊位占地面积各为多少平方米？ （2）该社拟建，两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用． 【答案】（1）5平方米；3平方米 （2）10520元 【解析】 【分析】（1）设类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米，根据同等面积建立A类和B类的倍数关系列式即可； （2）设建类摊位个，则类个，设费用为，由（1）得A类和B类摊位的建设费用，列出总费用的表达式，根据一次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：（1）设每个类摊位占地面积平方米，则类占地面积平方米 由题意得 解得， ∴，经检验为分式方程的解 ∴每个类摊位占地面积5平方米，类占地面积3平方米 （2）设建类摊位个，则类个，费用为 ∵ ∴ ， ∵110>0， ∴z随着a的增大而增大， 又∵a为整数， ∴当时z有最大值，此时 ∴建造90个摊位的最大费用为10520元 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用问题，熟练的掌握各个量之间的关系进行列式计算，是解题的关键． 23. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA45°时，求点P的坐标； (3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）求得点C的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA，在x轴上取点E（2，0），连接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系数法分别求出直线CE与PQ的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线AP交y轴于点G，如图，由题意可得若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形，设G（0，m），求出直线AF和直线BC的解析式后，再解方程组求出点F的坐标，然后分三种情况求出m的值，再求出直线AP的解析式，进而可求出点P的坐标，于是问题可求解． 【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得 ，解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）令x=0，则y=2，即C（0，2）， ∵，，AB2=25， ∴， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°， ∴∠ACO=∠CBA， 在x轴上取点E（2，0），连接CE，如图， 则CE=OE=2， ∴∠OCE=45°， ∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ， ∴CE∥PQ， ∵C（0，2），E（2，0）， ∴直线CE的解析式为y=-x+2， 设直线PQ的解析式为y=-x+n，把点A（-1，0）代入，可得n=-1， ∴直线PQ的解析式为y=-x-1， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（6，-7）； （3）设直线AP交y轴于点G，如图， ∵PH∥y轴， ∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF， ∴若△PFH为等腰三角形，则△CFG也为等腰三角形， ∵C（0，2），B（4，0）， ∴直线BC的解析式为， 设G（0，m），∵A（-1，0）， ∴直线AF的解析式为y=mx+m， 解方程组，得， ∴点F的坐标是， ∴， 当CG=CF时，，解得：（舍去负值）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 当FG=FC时，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（3，2），此时点H的坐标是（3，）， ∴PH=2-=1.5； 当GF=GC时，，解得或m=2（舍去）， 此时直线AF的解析式为y=x+， 解方程组，得或， ∴点P的坐标是（，），此时点H的坐标是（，）， ∴PH=； 综上，PH=或1.5或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 25. 如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点 求证：； 若，求的长； 如图2，连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论； （2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可； （3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC， 在△EAF和△DAB， ， ∴△EAF≌△DAB(SAS)， ∴∠E=∠BDA， ∵∠BDA+∠ABD=90º， ∴∠E+∠ABD=90º， ∴∠EGB=90º， ∴BG⊥EC； （2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x， ∵AF∥BC，∠E=∠E， ∴△EAF∽△EBC， ∴，又AF=AB=1， ∴即， 解得：，（舍去） 即AE=； （3）在EG上截取EH=DG，连接AH， 在△EAH和△DAG， ， ∴△EAH≌△DAG(SAS)， ∴∠EAH=∠DAG，AH=AG， ∵∠EAH+∠DAH=90º， ∴∠DAG+∠DAH=90º， ∴∠HAG=90º， ∴△GAH是等腰直角三角形， ∴即， ∴GH=AG， ∵GH=EG-EH=EG-DG， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $