3.1 列代数式表示数量关系（第3课时 正比例、反比例关系）课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦正比例、反比例关系，通过苹果采摘机器人、人工造雪等生活情境导入，结合填表计算引导学生发现比值或乘积一定的规律，衔接列代数式知识，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过探究计算发展数学思维（推理意识、运算能力），用字母表达式和对比表强化数学语言（模型意识）。如机器人采摘（正比例）、造雪效率与时间（反比例）实例，帮助学生联系生活理解概念，教师可借助结构化流程提升教学效率。

人教版 七年级上册 3.1列代数式表示数量关系 第3课时正比例、反比例关系 第3章代数式 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。今天，我们将一起走进第三章“代数式”的世界，探索一个非常有趣且重要的知识点——正比例和反比例关系。这节课将帮助我们理解生活中许多事物变化的规律，让我们一起开始吧！ ‹#› 我们的小目标 嗨，同学们，大家好！今天我们要一起探索数学世界里一对非常有趣的好朋友——正比例和反比例。这两个概念就藏在我们生活的方方面面，等着我们去发现。 【核心目标】我能弄明白什么是正比例关系，什么是反比例关系，并且能清晰区分它们的不同特点。 1.7.2013 在上课之前，我们先来明确一下今天的学习目标。我们的第一个小目标是：通过这节课的学习，大家要能彻底弄明白什么是正比例关系，什么又是反比例关系。这两个概念听起来可能有点抽象，但学完之后，你会发现它们其实就藏在我们生活的方方面面。 ‹#› 我们今天的小目标！ 02.核心能力培养：学以致用辨关系 深入剖析生活中的实际问题（如购物消费、行程规划、工程效率等场景），精准识别并判断其中存在的两种相关联的量，明确区分哪些量成正比例关系，哪些量成反比例关系，将数学概念与现实应用紧密结合。 1.7.2013 我们的第二个目标，是希望大家能够学以致用。学完概念后，我们要能从生活中的实际问题里，比如购物、出行、做游戏等等，准确地找出哪两种量是成正比例的，哪两种量又是成反比例的。这能帮助我们更好地理解和解决实际问题。 ‹#› 新知引入 科技发展让果园也迎来了好帮手——苹果采摘机器人！它的工作效率远超人工，平均每小时可以精准采摘苹果100千克。这个机器人不知疲倦，能根据程序自动识别成熟果实并完成采摘，是现代农业的好伙伴。 现代农业的科技助手： 开动脑筋想一想：不同工作时长能摘多少苹果？ 2小时：100×2=200kg；3小时：100×3=300kg 观察发现：采摘的总质量与工作时间的比值总是一定的（等于每小时采摘量100千克）。 因此，苹果采摘的总质量与工作时间是成正比例的量，随着工作时间增加，总质量也随之增加，二者成正比例关系。 1.7.2013 好了，让我们通过一个有趣的例子来开启今天的新知识。大家看，这是一个神奇的苹果采摘机器人！它每小时能采摘100千克苹果。现在请大家开动小脑筋想一想：如果它工作2小时，能摘多少？3小时呢？如果工作时间不断增加，采摘的苹果总质量会发生什么样的变化呢？ ‹#› 新知探究 我们来填一填，找规律！ 我们来帮这个机器人记录一下它的工作成果吧！已知机器人“每小时采摘100千克”苹果，请同学们根据这个工作效率信息，完成下面的表格，观察并思考：工作时间和采摘苹果的质量之间存在什么联系？ 思考：当工作效率固定时，工作时间越长，采摘的总量会怎样变化呢？ 工作时间（时） 1 2 3 4 5 采摘质量（千克） 100 200 300 400 500 1.7.2013 非常好！现在，我们来动手填一填这个表格。表格里已经告诉我们工作1小时能采摘100千克苹果。那么2小时、3小时、4小时、5小时分别能采摘多少呢？请大家快速计算并填写在表格里，看看能不能发现什么规律。 ‹#› 规律探究 工作时间（时） 1 2 3 ... 采摘质量（千克） 100 200 300 ... 质量变化 ～ 时间变化 发现一：相关联的量变化一致！工作时间扩大，采摘苹果的质量也跟着扩大；时间缩小，质量也跟着缩小，二者是相关联的量。 发现二：比值恒定不变！计算每组数据的商：100÷1=100，200÷2=100，300÷3=100…… 这个不变的比值“100”，代表的就是机器人的工作效率。 1.7.2013 大家都填对了吗？我们一起来看大屏幕。观察这个表格，你们发现了什么？首先，工作时间在增加，采摘的质量也在增加。这说明时间和质量是有关系的。更重要的是，我们用每一组的质量除以时间，会发现得到的结果都是100！这个不变的商，就是我们所说的比值。 ‹#› 新知讲解 像这样，有两种相关联的量，比如“工作时间”和“采摘质量”，当一种量发生变化时，另一种量也随之变化，并且这两个量相对应的数的比值（也就是商）始终保持不变，这就是正比例关系的核心特征。 我们就说：工作时间和采摘质量是成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 1.7.2013 同学们真是火眼金睛！我们发现的这个规律，就是今天要学习的第一个主角——正比例关系。当两种相关联的量，一种变化，另一种也跟着变化，并且它们相除的结果，也就是比值，总是一个固定的数时，我们就说这两种量成正比例关系。 ‹#› 新知讲解 在实际情境中，如果我们用字母y表示采摘苹果的质量，用字母x表示工作时间，用字母k表示固定不变的工作效率（比值），那么这两个相关联的量之间的变化规律，就可以用简洁的数学语言来描述：两个量相对应的数的比值始终保持不变，这样的两个量就是成正比例的量，它们之间的关系就是正比例关系。 由此我们可以推导出正比例关系的核心数学表达式：首先是比值一定的形式y / x = k（其中k是固定不变的数，且k ≠ 0）；也可以转化为更直观的乘法形式y = kx。这是判断两个量是否成正比例关系的重要依据。 1.7.2013 那么，如何用数学语言来精确地描述正比例关系呢？我们可以用字母来表示。如果用y表示质量，x表示时间，那个不变的比值k，我们就可以得到关系式 y/x = k，或者写成 y = kx。这就是正比例关系的标准数学表达式，大家一定要记牢哦！ ‹#› 新知探究：冬奥会的秘密 精彩的冬奥会滑雪比赛，离不开皑皑白雪的加持。如果自然降雪量不足，我们就可以通过人工造雪来补足！ 假设为了举办一场滑雪赛事，我们需要提前准备600立方米的雪。造雪机的工作效率各不相同，完成造雪任务所需要的时间也会发生变化。 大家一起来思考： ① 若造雪机每小时造雪200立方米，完成600立方米的任务需要几小时？如果效率提升到每小时300立方米，又需要几小时呢？ ② 观察这些数据，当造雪的总工作量固定时，如果造雪速度越来越快，所需的工作时间会发生怎样的变化？这其中藏着什么规律？ 1.7.2013 认识了正比例，我们再来看看它的“兄弟”——反比例。这次我们把场景换到壮观的冬奥会。为了比赛，我们需要准备600立方米的雪。大家想一想，如果造雪机的效率不一样，需要的时间会一样吗？如果造雪速度越来越快，需要的时间会变长还是变短呢？ ‹#› 新知探究 再次填表，寻找新规律！ 总雪量是固定的600立方米。我们来看看不同的造雪效率，分别需要多少时间。请大家根据造雪效率，计算出对应的所需时间并填写表格，观察其中的变化规律。 思考： 造雪效率(米³/时) 100 150 200 300 需要的时间(时) 6 4 3 2 1.7.2013 同样，我们来通过一个表格来寻找规律。总雪量是固定的600立方米。表格里给出了不同的造雪效率，请同学们计算出对应的需要时间，并填在表格里。看看这次又会发现什么有趣的现象。 ‹#› 规律探究 造雪效率(m³/时) 100 150 200 300 所需时间(时) … 6 4 3 所需时间 总雪量(积) 造雪效率 ＝ 可以发现，造雪所需的时间随着造雪效率的提高而缩短，二者变化方向相反，但乘积始终保持不变，都是600立方米。 验证计算：100×6=600，150×4=600，200×3=600...这个不变的乘积“600”，就是我们需要准备的总雪量，也是连接效率与时间的关键量。 1.7.2013 我们来对一下答案。大家看，这次的规律和刚才不一样了！造雪效率在提高，但需要的时间却在减少。它们的变化方向是相反的。那它们之间有没有什么不变的量呢？我们来算一算每组效率和时间的乘积，你会惊奇地发现，它们的积都是600！这个不变的积，就是我们要找的新规律。 ‹#› 新知讲解 就像造雪的例子一样，我们生活中存在着这样两种相关联的量——造雪效率和需要的时间。当造雪效率发生变化时，所需的时间也会跟着变化，但是无论这两个量如何变化，它们相乘的结果，也就是乘积始终保持不变。这正是反比例关系最核心的特征。 我们就可以得出结论：造雪效率和需要的时间是成反比例的量，它们之间的关系是反比例关系。若用字母x和y表示这两种量，用k表示它们的乘积（k为非零定值），则关系可表示为：xy = k（一定）。 1.7.2013 没错！这个新规律就是我们今天的第二个主角——反比例关系。当两种相关联的量，一种变化，另一种也跟着变化，但这次是它们相乘的结果，也就是乘积，总是一个固定的数时，我们就说这两种量成反比例关系。 ‹#› 新知讲解 如果我们用字母y表示完成造雪需要的时间，用字母x表示造雪的效率，用字母k表示那个固定不变的乘积——也就是总雪量。这三个量之间存在着紧密的关联，其中效率和时间是两个相关联的量，效率变化，时间也会随之变化，而它们的乘积（总雪量）始终保持不变。 由此我们可以推导出反比例关系的核心数学表达式：x · y = k（其中k是固定不变的非零常数）。我们也可以将其转化为更直观的分式形式：y = k / x，这就是反比例关系最标准的数学语言呈现。 1.7.2013 反比例关系同样可以用数学语言来表达。如果用y表示时间，x表示效率，那个不变的乘积k，我们就可以得到关系式 x·y = k，或者写成 y = k/x。这就是反比例关系的标准数学表达式。大家对比一下，它和正比例的表达式有什么不同呢？ ‹#› 判断训练 我是判断小能手！请判断下面每题中的两种量，是否成反比例关系？并思考原因： 1. 从甲地到乙地，汽车行驶的速度与所用的时间。 2. 一箱苹果，把它装袋，每袋的质量与装的袋数。 3. 一个长方体，体积一定时，它的底面积与高。 4. 买相同的两种笔，买笔的总费用与买的笔的数量。 💡 核心思考：两种相关联的量，若乘积一定则成反比例；若比值一定则成正比例。 📢 课堂互动：请同学们分组讨论2分钟，分析每题的数量关系，然后举手分享你的判断结果！ 1.7.2013 好了，学完了正反比例的概念，现在是检验大家学习成果的时候了！这里有几道判断题，请大家快速判断，下面每题中的两种量是否成反比例关系，并说明你的理由。可以和同桌讨论一下，稍后我请同学来回答。 ‹#› 我们来对答案！ 01. 速度与时间的关系 结论：成反比例。因为速度 × 时间 = 路程（甲地到乙地的距离固定），两者的乘积一定，符合反比例关系的定义，所以行驶速度与时间成反比例。 02. 每袋质量与袋数的关系 结论：成反比例。因为每袋质量 × 袋数 = 苹果总质量（一箱苹果的质量固定），乘积一定，满足反比例的条件，因此每袋质量和袋数成反比例关系。 03. 长方体底面积与高的“陷阱” 结论：不一定。只有在“体积不变”的前提下，底面积 × 高 = 体积（一定）才成反比例。题目仅提及“一个长方体”，体积可能变化，因此不能确定二者成反比例关系。 04. 总费用与数量的辨析 结论：不成反比例。因为总费用 ÷ 数量 = 单价（一定），这是比值一定，符合正比例关系的特征，所以总费用和数量成正比例，而非反比例。 1.7.2013 我们一起来对一下答案。第一题，速度和时间，路程一定，乘积一定，成反比例。第二题，每袋质量和袋数，总质量一定，乘积一定，成反比例。第三题是个陷阱哦！只有在体积一定的前提下，底面积和高才成反比例。第四题，总费用和数量，单价一定，是比值一定，所以它们成正比例。大家都答对了吗？ ‹#› 典例分析 例：一个圆柱形的容器，需要注入体积为50立方米的水，我们记录下不同容器底面积对应的水面高度数据如下： 容器底面积 S（平方米）：5 、10 、20 、25 、... 水面高度 h（米）：　　10、 5 、2.5、 2 、... 思考：容器的底面积 S 和水面高度 h 成什么比例关系？请结合数据说明原因。 提示：可以结合圆柱体积公式 V = S × h 进行分析，观察 S 与 h 的乘积或比值是否为定值。 图示：不同底面积的圆柱容器注水示意图，底面积越小，水面高度越高。 1.7.2013 接下来，我们来看一个经典的例子。往一个圆柱容器里注水，水的总体积是50立方米。表格记录了不同容器底面积对应的水面高度。请大家思考一下，容器的底面积S和水面高度h，它们成什么比例关系呢？为什么？ ‹#› 思路：判断两个量成什么比例，核心看它们的“比值是否一定”或“乘积是否一定”。结合圆柱体积公式，我们来分析底面积与高的关系。 第一步：明确公式圆柱体积 = 底面积 × 高，即 V = S × h 第二步：锁定定量 题目中注入水的体积固定为50立方米，即V = 50（立方米）是定值。代入公式可得：S × h = 50（一定），说明底面积S与高h的乘积始终保持不变。 第三步：得出结论因为底面积S和水面高度h的乘积是固定值，符合反比例关系的定义，所以底面积S与水面高度h成反比例关系。 典例分析 1.7.2013 我们来一步步分析。首先，回忆圆柱体积公式：体积等于底面积乘以高。然后，题目告诉我们水的体积是固定的50立方米。这就意味着，底面积S和高h的乘积是一个固定的数50。既然是乘积一定，那么我们就可以下结论了：底面积S和水面高度h成反比例关系。 ‹#› 当堂巩固 一个运输公司要运送一批货物，总共600吨。每天运送的吨数和需要的天数对应关系如下：每天运100吨需6天，120吨需5天，150吨需4天，200吨需3天…… 01. 表中有哪两种相关联的量？ 02. 写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小。 03. 这个积表示的实际意义是什么？ 04. 表中的两种量成反比例关系吗？请说明判断的理由。 （提示：请同学们结合反比例的定义独立思考完成，稍后我们一起分析讲解！） 1.7.2013 现在，我们来做一个当堂巩固练习。一个运输公司要运600吨货物，表格给出了每天运的吨数和需要的天数。请大家根据表格回答下面的四个问题。这道题综合了我们今天学习的所有知识点，请大家独立思考完成。 ‹#› 拓展提升：正比例 vs 反比例 对比维度 正比例关系 反比例关系 核心相同点 都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着发生变化。 与正比例一致，存在两种相关联的量，且一种量随另一种量的变化而变化。 变化方向差异 正比例是“同增同减”，变化方向完全相同；反比例则是“一增一减”，变化方向相反。 定量关系本质 正比例的比值（商）一定，公式为 y/x = k (k≠0)；反比例的乘积一定，公式为 x·y = k (k≠0)。 图像表现形式 正比例图像是经过原点的一条直线；反比例图像是在第一、三象限（或二、四象限）的光滑双曲线。 总结来说，正反比例最关键的区分点在于“定量”的形式：若商一定则为正比例，若积一定则为反比例。掌握这一核心，再结合变化方向和图像特征，就能准确判断两个相关联量的关系。 1.7.2013 学完了正反比例，我们来做一个总结对比。它们的相同点是都有两种相关联的量，并且一种量变化，另一种也跟着变化。但不同点更重要：正比例是同增同减，比值一定；反比例是一增一减，乘积一定。它们在坐标系里的图像也完全不同。这个表格能帮助大家更好地分辨它们。 ‹#› 新知引入 当两个相关联的量，比值一定时就是正比例。生活中处处可见：比如购买铅笔，单价固定，买的数量越多，付出的总价就越高；汽车匀速行驶时，行驶的时间越长，走过的路程就越远；正方形的周长始终是边长的4倍，周长随边长增大而增大。 一、生活中的正比例实例 二、生活中的反比例关系 当两个相关联的量，乘积一定时就是反比例。比如路程固定，速度越快耗时越短；菜地面积固定，种植白菜越多，单棵占面积越小。 三、工程问题中的反比例 一项工程的总工作量固定，参与施工的人数越多，完成工程所需的天数就越少；反之人数越少，天数越多，人数与天数成反比例关系。 核心总结：正比例是“同增同减”（比值一定），反比例是“一增一减”（乘积一定）。只要留心观察，我们就能发现数学规律就藏在日常生活的方方面面里。 1.7.2013 其实，正反比例关系就在我们身边。比如，买东西时，单价不变，买得越多花的钱越多，这就是正比例。从家到学校，路程不变，走得越快用的时间越少，这就是反比例。大家还能想到生活中其他的例子吗？ ‹#› 课堂小结 01. 正比例关系： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。其核心特征是比值（商）始终保持不变。若用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（k为定值且k≠0），则正比例关系的关系式可表示为：y/x = k (一定) 或 y = kx。 02. 反比例关系： 同样是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。但它的核心特征是两种量相对应的数的乘积始终保持不变。若用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k为定值且k≠0），则反比例关系的关系式可表示为：x·y = k (一定) 或 y = k/x。 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下今天的主要内容。我们学习了正比例和反比例关系。记住它们的核心区别：正比例是比值一定，关系式是y=kx；反比例是乘积一定，关系式是xy=k。希望大家都能牢牢掌握！ ‹#› 布置作业 请同学们课后认真阅读教材内容，并完成指定习题，以巩固今天所学的知识点。 P76页 习题3.1 重点完成：第 4 题、第 5 题。请仔细审题，规范书写解题步骤。 温馨提示：做题时注意结合课堂上讲解的核心方法，遇到疑难问题可先标注，下节课我们会进行集中讲解与答疑。 1.7.2013 为了巩固今天所学的知识，我给大家布置一点课后作业。请同学们完成教材第76页，习题3.1的第4题和第5题。希望大家认真完成，加深理解。 ‹#› 人教版 七年级上册 谢谢大家！ 下课！ 1.7.2013 今天的数学课就到这里。同学们表现得都非常棒！希望大家课后多多观察，发现生活中更多有趣的数学规律。谢谢大家，下课！ ‹#› 思考 同学们，我们已经了解到正方形的周长和边长成正比例关系。 那么，正方形的面积和边长之间成比例吗？如果成比例，是正比例还是反比例呢？ 请大家结合比例关系的定义，从变化规律和相对应的比值、乘积是否一定这两个角度去深入分析原因，下节课我们一起来探讨这个问题的答案。 1.7.2013 在下课之前，给大家留一个思考题。我们知道正方形的周长和边长是成正比例的。那么，正方形的面积和边长成比例吗？如果成，是正比例还是反比例呢？请大家回去好好想一想，我们下节课来讨论。 ‹#› $