第8章整式乘法 期末复习优生辅导训练题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

**基本信息** 以整式乘法法则与公式为核心，通过基础运算、公式变形、图形转化及规律探究构建“法则-公式-应用-拓展”的递进式训练体系，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|第1、15题|单项式/多项式乘法法则直接应用|从整式乘法基本法则出发，夯实运算基础| |公式应用|第3、4、16题|完全平方公式/平方差公式变形技巧（如a²+b²=(a+b)²-2ab）|法则延伸至乘法公式，形成公式正用、逆用及变形的逻辑链| |综合探究|第6、17、18、19、20题|图形面积转化法（用长方形/正方形面积表示整式关系）|代数与几何结合，通过图形直观理解整式乘法的几何意义| |规律拓展|第7、12、11题|归纳推理法（杨辉三角系数规律、多项式展开规律）|从特殊到一般，培养发现数学规律的创新意识与推理能力|

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第8章整式乘法》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．若无论取何值时，关于的方程总成立，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 4．若的展开式中不含项，则常数的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 5．已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 6．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数，，恰好对应“杨辉三角”中第3行的个数，的系数，，，恰好对应“杨辉三角”中第行的个数…，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②当时，的计算结果为； ③的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ④当 ，除以，余数为． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．②④ 二、填空题 8．已知，则______． 9．已知，则的值为_________． 10．若，，则______(填“”“”或“”)． 11．已知为任意整数，代数式的值记为，有下列三个结论： ①一定是正整数；②一定是奇数；③总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是______． 12．观察下列各式： ； ； ；…… 根据规律计算：______． 13．如图，正方形的边长为，，长方形的面积是700，四边形和都是正方形，是长方形，则图中阴影部分的面积是______．（结果必须是一个具体的数值） 14．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 三、解答题 15．计算： (1) (2)； (3) (4) 16．先化简，再求值：，其中，． 17．如图，图1是一幅边长为的正方形风景画，画面左右两边各留有长方形空白区域作装饰．图2是一幅长为、宽为的长方形风景画，画面的四周均留有空白区域作装饰，其中四角都是大小相同的正方形，根据图中的标注的信息，解答下列问题： (1)图1中间画面的面积为___________，图2正中间画面的面积为___________； (2)若，当两幅画空白区域面积恰好相等时，求的值． 18．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．在一节数学课上，王老师准备了一个长为、宽为的长方形．如图1沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)观察图2，直接写出代数式，，之间的关系 ； (2)利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为 ； ②已知，求的值； (3)两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 20．小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片． 【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：． （1）请你帮小明完成拼图设计； （2）应用上述公式解决如下问题： ①已知，，求的值； ②若，则______． 【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （3）上述操作能验证的公式是______； （4）计算：． 参考答案 1．解： ． 2．解： ， ， 无论取何值时，关于的方程总成立， ，， ，， ， 故选：B． 3．C 【分析】先根据已知条件求出的值，再变形完全平方公式得到所求代数式的结果． 【详解】解： ，， 展开第二个等式得 ， 整理得 ， 将代入上式得 ， 解得． 对两边平方，得 ， ． 4．A 【分析】展开式中不含某一项，即合并同类项后该项的系数为0，先展开原式合并同类项，再令项的系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴项的系数为， 即， 解得． 5．D 【详解】解：设， 则， ∴， ∴ ，即． 6．C 【分析】正方形的边长为，表示出两个阴影部分的面积，然后利用整式的乘法以及加减运算求解． 【详解】解：令正方形的边长为， ∵， ∴， 则，， 令， 则，， ∴． 7．A 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2027行第2个数与的积，即， 故结论①错误； 当时，， 故结论②正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2026，因此除以2026，余数为，即2025． 故结论④正确； 8． 【分析】根据当时，，由此即可求解． 【详解】解：∵ ∴当时，， 即． 9．2010 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 10． 【分析】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行计算、有理数的大小比较，先利用完全平方公式和平方差公式求出、的值，比较即可得解． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 11．②③/③② 【分析】先利用平方差公式化简代数式可得，再根据整数的性质逐个判断即可． 【详解】解： 当时， ，不是正整数，故①错误； 为任意整数， 是偶数，是奇数， 又是奇数，奇数乘奇数为奇数， 一定是奇数，故②正确； ，是整数， 是与整数的乘积，总能被整除，故③正确． 12． 【分析】先根据已知式子总结多项式乘法的规律，再将所求式子凑成符合规律的形式，利用规律计算即可得到结果． 【详解】解：根据已知等式可得规律：， 设， 变形可得， 根据已知规律使，得：， 整理得， 等式两边同时除以，得：． 13． 【分析】正方形的边长为，设，可得到，，表示阴影部分的面积，变形后即可求答案． 【详解】解：由题意，得长方形的面积为． 设， 则． 四边形和都是正方形， ， 阴影部分的面积为． 14．19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 15．（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． （4）解： ． 16．解： ， 当，时，原式． 17．（1）解：图1中间画面的面积为； 图1中间画面的面积为． 故答案为：，． （2）解：图1中空白区域的面积为：； 图2中空白区域的面积为： 由题意得，，解得：． 18．（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 19．解：（1）由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为，个小长方形的面积为， 根据大正方形的面积等于个小长方形面积和个小正方形面积之和可得：； （2）由（1）可得：， ，， ， ， ； 令，， 则，， ， ． （3）， ， ，， ， ， ， ， ， ． 20．（1）解：如图， 大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即． 从而验证了完全平方公式：； （2）①∵，，， ∴， ∴； ②设，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：3； （3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：， ， 故答案为：； （4）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $