精品解析：2024年希望杯五年级培训试题

2024 IHC 5 培训题 1. 计算：223×7.5＋22.3×12.5＋230÷4－0.7×2.5＋1＝（ ）。 2. 计算：202.3×2024.2024－202.4×2023.2023＝（ ）。 3. 计算：（1＋3＋5＋…＋2025）－（2＋4＋6＋…＋2024）＝（ ）。 4. 如果：12＋÷0.3＝98，那么＝（ ）。 A. 10 B. 9.5 C. 9 D. 8 5. 定义A&B＝A×A÷B，则3&（2&1）＝（ ）。 6. 定义新运算“⊕”和“◎”：a⊕b＝a×b，c◎d＝d×d×d…×d（c个d相乘），如2⊕4＝8，3◎4＝64，则（5⊕7）⊕（3◎6）＝（ ）。 7. 一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母都减去19，得到的分数约简后是，那么原来的分母是（ ）。 8. 在计算一个大于0的数与的乘积时，小明误把看成了3.57，结果与正确答案相差1.4，则其正确答案是（ ）。 9. A是比90大，比100小的质数，它被B除，得商C，余D，如果C＝B＋D，那么B＝（ ）。 10. 将1，2，3，4，6，7六个数字，填入图中正方体的6个顶点上，使每个面4个数之和相等。 11. 将1~11这11个数填入下图圆圈中，使每条线上的数之和都相等。 12. 如图是一个4×4的“魔方阵”，其中7个格子已经填好，在剩余格子中填入合适的数，使每行、每列及每条对角线上4个数的和都相等，则“？”处应该填的是（ ）。 13. 找规律填空。 2，5，11，23，47，（ ）。 14. 把自然数依次排成下列数阵。 那么，第10行第5列是（ ），第5行第10列是（ ），2011在第（ ）行第（ ）列。 15. 有一串数如下排列，第50行的最后一个数是（ ）。 16. 已知×B，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么的可能情况有（ ）种。 17. 1×2×3×4×…×2023×2024的计算结果的末尾有（ ）个0。 18. 一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开……如此下去，直到第100个人离开房间后，房间里所有亮着的灯编号之和是（ ）。 19. 三个连续的奇数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是108，那么这三个数中最大的数是（ ）。 20. 如果四位数6□□8能被73整除，那么商是（ ）。 21. 某个自然数被247除余63，被248除也余63。那么这个自然数被26除余数是_________。 22. N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是（ ）。 23. 一个以8开头的三位数，将它的因数从小到大排列后，倒数第二个数与正数第二个数的差是一个奇数的平方，那么这个数除以9的余数是（ ）。 24. 有6个四位数：95*2，**35，3**8，69*7，**10，19*6，其中*代表不能辨认的数码，这6个四位数中的完全平方数是（ ）。 25. 称能表示成的形式的自然数为三角数．有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数．则_______。 26. 888888÷999的余数是（ ）。 27. 已知a＝，则a除以13所得余数是（ ）。 28. 马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______。 29. 小明计算两个数相乘将其中一个乘数123看成了132，计算结果比正确答案大540，则正确答案是（ ）。 30. 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为（ ）。 31. 4个同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其它瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13，已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有（ ）千克油。 32. 称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的因数。这个“两头蛇数”最大是（ ）。 33. a，b，c都是质数，若a＋b＝13，b＋c＝28，则a×b×c＝（ ）。 34. 三个质数的平方和是390，这三个质数分别是（ ），（ ），（ ）。 35. 三个连续的自然数a，b，c分别能被3，5，7整除，若200＜a＜b＜c＜300，则a＝（ ）。 36. 有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第3个数开始，每个数都等于它前面相邻的两个数之和，那么在这个数列的前2018个数中，奇数有（ ）个。 37. 已知S22016＋32017＋42018＋52019＋62020＋72021，则S的末位数字是（ ）。 38. 已知a，b，c是自然数，b＝（a＋c），ac＝851，a＞c＞1，则a＋b＋c的不同的因数的和是（ ）。 39. 已知从大到小排列的六个自然数依次是100，a，b，c，d，78.若这六个数的平均数是93，则b的最小值是（ ）。 40. 有七个排成一列的数，它们的平均数是30，前三个数的平均数是28，后五个数的平均数是33，第三个数是________。 41. 鸡兔同笼，共100个头，320只脚，那么，鸡有（ ）只。 42. 某仓库运出四批原料，第一批运出的占全部库存的一半，第二批运出的占余下的一半，以后每一批都运出前一批剩下的一半。第四批运出后，剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂。甲厂分得24吨，乙厂分得的是甲厂的一半，丙厂分得4吨。最初仓库里有原料（ ）吨。 43. 若干辆汽车装运一批货物。如果每辆装3.5吨，这批货物就有2吨不能运走；如果每辆装4吨，装完这批货物后，还可以装其他货物1吨。这批货物有（ ）吨。 44. 实验小学五年级有学生152人。现在要选出男生人数的和女生5人，到国际数学家大会与专家见面。学校按照上述要求选出若干名代表后，剩下的男、女生人数相等。实验小学五年级有男生（ ）人。 45. 一位水果商以每千克1.8元的价格购进4800千克苹果，运输费花去了3000元，在运输途中有10%的苹果因变质不能售出，其余苹果全部售出，并且这位水果商获得了8%的利润。每千克苹果的出售价为（ ）元。 46. 小明和小军同时从学校和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小军再走270米到达学校。小军每分钟走（ ）米。 47. 甲乙两码头相距560千米，一只船从甲码头顺水航行20小时到达乙码头，已知船在静水中每小时行驶24千米，这船返回甲码头需（ ）小时。 48. 小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。若两人按原定速度前进，则4小时相遇；若两人各自都比原定速度多1千米/时，则3小时相遇。甲、乙两地相距（ ）千米。 49. 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，而且相遇后20秒两人同时回到原地。甲原来的速度是（ ）米/秒。 50. A、B两地相距150千米，甲、乙两骑车人分别从A、B两地同时相向出发，甲速度为每小时50千米。出发后2小时相遇，然后继续沿各自方向往前骑。在他们相遇24分后，甲与迎面骑车来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快5千米的速度，两人同时分别从A、B出发，则甲、乙两人在C地相遇。丙的车速是（ ）千米/时。 51. 已知C地为A，B两地的中点，上午8点甲从A出发向B行走，同时，乙从B、丙从C都向A行进。甲和丙相遇时乙恰好走到C地，上午10点当乙走到A地时，甲距离B地还有20千米，上午11点丙到达A地。那么A和B两地之间的距离是（ ）千米。 52. 甲乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步，如果两人同时从同地相背而跑，乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需要6分钟，那么乙跑一周需要（ ）分钟。 53. 现在有一批生产任务，需要6名模范职工和12名普通职工生产14小时才能完成，如果工作了4小时后，又来了4名模范职工和8名普通职工，那么可以提前（ ）小时完成任务。 54. 师徒二人加工一批零件，由师傅独做需37小时，徒弟每小时能加工30个零件。现由师徒两人同时加工，完成任务时，徒弟加工的个数是师傅的，这批零件共有（ ）个。 55. 现在，姐姐的年龄是弟弟年龄的2倍，4年后两人的年龄和是23岁，姐姐今年的年龄是（ ）。 56. 父子二人今年的年龄和为40岁，已知两年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，那么两年前父亲的年龄是（ ）岁。 57. 有两堆棋子，若从第一堆拿出34个放到第二堆，则第二堆的棋子数是第一堆的4倍；若从第二堆拿出36个放到第一堆，则第一堆的棋子是第二堆的2倍。则原来第一堆共有（ ）个棋子。 58. 甲、乙二人比赛投飞镖，规定每投中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。两人各投10次，共得152分。其中甲比乙多得16分，甲投中（ ）次。 59. 一部动画片放映的时间不足1小时，小明发现结束放映时手表的时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。这部动画片放映了（ ）分钟。 60. 在4点与5点之间，时针和分针重合的时刻是4时（ ）分。（用分数表示） 61. 某科学家设计了一只怪钟。这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点。当这只钟第一次显示6点75分时，实际上的时间是（ ）时（ ）分。（24小时制） 62. 一次考试五人的总分是423分，每人的分数都是整数，并且各不相同，那么得分最少的人，最多得（ ）分；得分最多的人，最少得（ ）分。 63. 一张数学试卷，只有25道题，做对一题得4分，做错一题扣1分，不做不得分也不扣分。某同学得了78分，那么他做对（ ）道题。 64. 有一堆苹果，如果平均分给大、小两个班的小朋友，每人可得6个；如果只分给大班，每人可得10个。如果只分给小班，每人可得（ ）个。 65. 一张长方形的纸，长25厘米，宽20厘米，在这张纸上剪一个最大的圆，圆剪下后，剩下的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 66. 21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如下图。它的表面积是（ ）平方厘米。（包括底面积） 67. 有一个棱长为5厘米的正方体木块，从上下、左右、前后三个方向分别打通一个完全相同的孔，如下图，这个立体图形的体积是（ ）立方厘米。 68. 用43个边长1厘米的白色小正方体和21个边长1厘米的黑色小正方体堆成如图所示的大正方体，使黑色的面向外露的面积要尽量大．那么这个立方体的表面积上有（ ）平方厘米是黑色的。 69. 如图，长方形ABCD被分成9个小长方形，其中几个小长方形的周长已在图中标出，则长方形ABCD的周长是（ ）。 70. 如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE＝AB，已知四边形EDCA的面积是35，三角形ABC的面积是（ ）。 71. 如图，三角形ABC的面积等于108平方厘米，BD＝2DC，AE＝ED，阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 72. 如图，直角梯形ABCD中，AB＝15cm，BC＝12cm，AB⊥AE，阴影部分面积为15cm2，梯形ABCD的面积是（ ）cm2。 73. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝8厘米，四边形EFHG的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是（ ）平方厘米。 74. 两个相同的直角三角形重叠在一起，如下图，则图中阴影部分的面积为（ ）。 75. 如图，已知四边形两条边的长度（单位：厘米）和三个角的度数，这个四边形的面积是（ ）平方厘米。 76. 旋转木马屋上的玻璃很漂亮，其中一块如下图。大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得到小正方形，再将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么这块玻璃的白色部分面积是（ ）平方厘米。 77. 如图，8边形的8个内角都是135°，若AB＝EF，BC＝20，DE＝10，GF＝30，则AH＝（ ）。 78. 边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，如图。桌面上被这些方框盖住的面积是（ ）平方厘米。 79. 如图， 中，，，，，互相平行，，则_________________。 80. 如图，有21个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，那么△ABC的面积等于（ ）。 81. 长和宽分别是2021和1504的长方形恰好可以分成n个同样的等腰直角三角形，则n的最小值为（ ）。 82. 下图中有（ ）个三角形。 83. 下图中共有（ ）个不含“*”的三角形。 84. 如图，用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方形钉阵。那么以其中3个钉子为顶点构成的三角形中，面积为1平方厘米的三角形有（ ）个。 85. 下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘交点上，但不能在同一条棋盘线上，共有（ ）种不同的放法。 86. 地图上有A，B，C，D，E五个国家，有五种不同的颜色去染色，要求相邻国家染不同的颜色，则共有（ ）种不同的染色方法。 87. 用3，3，2，2，2，1，1可以组成（ ）个互不相同的七位数。 88. 有三张卡片，分别写着数字2，3，4，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，其中的质数共（ ）个。 89. 在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，且四个数位上的数字各不相同的四位数有（ ）个。 90. 六位数的各位数字之和为48，这样的六位数一共有（ ）个。 91. 整数n满足它的三倍与它的三分之一都是四位整数，这样的n共有（ ）个。 92. 若有A、B、C、D、E、F、G七个人排队，要求A和B不相邻，且A和B都不能站在两端，C和D必须相邻，则有（ ）种排队方法。 93. 数列2，5，10，50，500，…的第16项末尾有（ ）个零。 94. 有16张卡片，黑白各8张，分别写有数字1~8，把它们像扑克牌那样洗过之后，如图排成四行。排列规则如下：每行中从左到右按从小到大的顺序排列；黑白卡片上的数字相同时，黑卡片在左边。已知每行4张卡片上的4个数之和都相等，左下角的是2，右上角的是7，则图中由左上至右下对角线四张卡片上的数字依次是（ ）。 95. 4支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。比赛结束，4支队的得分恰好是4个连续自然数。第四名输给第（ ）名。 96. 10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次。比赛结果表明：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等。第五名的分数是（ ）分。（胜得2分，和得1分，输得0分） 97. 编号1到100的100盏灯，亮着排成一排，先对编号是3的倍数的灯拉一次开关，再对编号是5的倍数的灯拉一次开关，这时亮着的灯还有（ ）盏。 98. 某小组12个同学中有5个人会打乒乓球，3人既会打乒乓球又会下象棋，4人既不会打乓球又不会下象棋，则会下象棋的有（ ）人。 99. 小明把编号分别为1~6的六个小球放入盒子里，则他从中随意的取出两个小球，这两个小球的编号之差恰好为1的可能性是（ ）。 100. 用红、白、黑三种颜色给3×n的网格图中的每一个小方格随意染一种颜色，当n最小取（ ）时，才能保证至少有两列染色方式完全一样。（横排称为行，竖排称为列）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 IHC 5 培训题 1. 计算：223×7.5＋22.3×12.5＋230÷4－0.7×2.5＋1＝（ ）。 【答案】2008 【解析】 【分析】观察算式中各项的数字特征，利用“积的变化规律：一个乘法算式中，一个因数乘一个不为0的数，另一个因数同时除以相同的数，积保持不变。”统一其中的一个因数再根据乘法分配律计算。 【详解】223×7.5＋22.3×12.5＋230÷4−0.7×2.5＋1 ＝223×7.5＋223×1.25＋23×10÷4−0.7×2.5＋1 ＝223×（7.5＋1.25）＋23×（10÷4）−0.7×2.5＋1 ＝223×8.75＋23×2.5−0.7×2.5＋1 ＝223×8.75＋（23－0.7）×2.5＋1 ＝223×8.75＋22.3×2.5＋1 ＝22.3×87.5＋22.3×2.5＋1 ＝22.3×（87.5＋2.5）＋1 ＝22.3×90＋1 ＝2007＋1 ＝2008 2. 计算：202.3×2024.2024－202.4×2023.2023＝（ ）。 【答案】0 【解析】 【分析】利用乘法分配律和结合律将算式化简，再通过观察数字特点进行合理的设数，方便计算，最后求解。 【详解】 3. 计算：（1＋3＋5＋…＋2025）－（2＋4＋6＋…＋2024）＝（ ）。 【答案】1013 【解析】 【分析】观察式子，前面的括号里是1~2025中的奇数，后面的括号里是1~2025中的偶数。将两个括号打开，后面的括号前是减号，所以后面的括号打开后，里面的加号要全部变成减号。把前面括号里的1留出来，从3开始依次与后面括号里的数配对相减，每对减法的差都是1。 1~2025中共有2025个数，除去1后有2024个数，可以搭配成2024÷2＝1012（对），所以可得到1012个1，再加上之前留出的1，一共是1013个1。 【详解】（1＋3＋5＋…＋2025）－（2＋4＋6＋…＋2024） ＝1＋3＋5＋…＋2025－2－4－6－…－2024 ＝1＋（3－2）＋（5－4）＋…＋（2025－2024） ＝1＋1＋1＋…＋1 ＝1×1013 ＝1013 4. 如果：12＋÷0.3＝98，那么＝（ ）。 A. 10 B. 9.5 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】题目是含未知数的四则混合运算题，利用“逆运算”（加减互逆、乘除互逆），从结果出发，逐步还原算式，从而求出未知数的值。 【详解】 5. 定义A&B＝A×A÷B，则3&（2&1）＝（ ）。 【答案】2.25 【解析】 【分析】根据定义的运算方法，照样子写出含实际数据的算式即可。注意，有括号先算括号里的，再算外面的。先算2&1即2×2÷1，算出结果为4；再算3&4即3×3÷4。 【详解】3&（2&1） ＝3&（2×2÷1） ＝3&4 ＝3×3÷4 ＝2.25 6. 定义新运算“⊕”和“◎”：a⊕b＝a×b，c◎d＝d×d×d…×d（c个d相乘），如2⊕4＝8，3◎4＝64，则（5⊕7）⊕（3◎6）＝（ ）。 【答案】7560 【解析】 【分析】仔细观察算式可以发现，a⊕b＝a×b，“⊕”表示前后两个数相乘；◎表示c个d连乘，也可以理解为d的c次方，即dc。要注意运算顺序：先算括号内，再算括号外。 【详解】5⊕7＝5×7＝35；3◎6＝6×6×6＝216； （5⊕7）⊕（3◎6） ＝35⊕216 ＝35×216 ＝7560 7. 一个分数，分子与分母的和是122，如果分子、分母都减去19，得到的分数约简后是，那么原来的分母是（ ）。 【答案】89 【解析】 【分析】分子和分母都减去19后，没有约分前新分数的分子分母的和为122－19－19＝84，约分后为即分母是分子的5倍，根据分数的基本性质可知约分前分母也为分子的5倍，再依照和倍问题的计算公式计算出原来的分子与分母，最后求出原分母。 【详解】122－19－19 ＝103－19 ＝84 14×5＝70 70＋19＝89 8. 在计算一个大于0的数与的乘积时，小明误把看成了3.57，结果与正确答案相差1.4，则其正确答案是（ ）。 【答案】644 【解析】 【分析】循环小数里的运算，只有化成分数才能进行。 纯循环小数化分数，分子取一个循环节的数字组成整数。循环节有几位，就写几个9在分母上； 混循环小数化分数，分子：不循环部分加一个循环节组成的数减去不循环部分组成的数。分母：循环节有几位就写几个9，有几位不循环就在9后面添几个0。 所以我们直接用方程思想，用分数来计算解决。先求出和3.57的差值，把它化为分数，与3.57相减，就减掉了十分位和百分位，后面的没有动，因此这个差是0.00777⋯，即。设这个大于0的数为x，利用相差1.4列关系求出这个数，再用这个数乘正确循环小数。 【详解】根据分析，－3.57＝，＝； 设这个数为x，x＝1.4，解得x＝180。 正确答案：180×＝180×​＝644。 9. A是比90大，比100小的质数，它被B除，得商C，余D，如果C＝B＋D，那么B＝（ ）。 【答案】7 【解析】 【分析】面对横式谜，尽量地先把某几个数的确切数值固定下来，再去推导剩下的数是几。首先来看A，A是质数，且在90到100之间。根据1~100的质数表，这个范围内的质数只有97，所以A＝97； 题目说又给出A÷B商C余D。即97＝B×C＋D，并且余数D要小于除数B，又C＝B＋D，代入上面的等式，展开后得到一个关于B和D的方程； 利用余数小于除数的条件：0≤D＜B，并且B、C、D都是整数。B是除数，至少比1大。从方程出发，枚举B的可能值（或者因式分解），就能找到符合条件的整数解。 【详解】根据分析，A＝97，且97＝B×（B＋D）＋D，化简得97＝B2＋D×（B＋1）； 即D×（B＋1）＝97－B2； 因为97－B2必须不小于0，所以B2≤97，B≤9。 从B＝9往下试： B＝9：97－81＝16，D＝16÷（9＋1）＝1.6，不是整数。 B＝8：97－64＝33，D＝33÷9＝3.666……，不是整数。 B＝7：97－49＝48，D＝48÷8＝6，D＝6，C＝B＋D＝7＋6＝13，满足题意。 10. 将1，2，3，4，6，7六个数字，填入图中正方体的6个顶点上，使每个面4个数之和相等。 【答案】 【解析】 【分析】题干中给出数字1、2、3、4、6、7，加上题干的配图中已标出的5和8，共8个数字：1、2、3、4、5、6、7、8，先算出这8个数字的总和，再计算每个面的和。 然后将数字按“和为9”配对，对应正方体竖直线上的上下顶点，找到满足面和要求的填数规律，进而完成填数。 【详解】（1）计算所有数字总和 ：。 （2）计算每个面的和： 正方体有6个面，每个顶点被3个面共用（一个顶点同时属于3个面），因此6个面的总数字和：， 每个面的和： （3）为了满足“每个面和为18”，我们尝试将数字进行配对，因为每个面的和为18，而18可以拆成两个9，所以按和为9配对，能让每个面直接凑出目标和，简化填数过程。 具体配对如下：1和8（和为9）、2和7（和为9）、3和6（和为9）、4和5（和为9）， 结合正方体的结构，我们可以将这些配对数字对应到竖直线上的上下顶点（上顶点填一组，下顶点填另一组），方便快速凑出18的面和。 （4）根据已给数字5（上顶点）和8（上顶点），对应配对填数： 5（上顶点）对应下顶点填4（和为9）； 8（上顶点）对应下顶点填1（和为9）； 剩余上顶点填3、2，对应下顶点分别填6、7； 验证：任意一个面都包含2组“和为9”的配对，4个数的和为18，完全符合要求。 只要保证每个面的和为18即可，填法不唯一，这里给出其中一种填法。 11. 将1~11这11个数填入下图圆圈中，使每条线上的数之和都相等。 【答案】（填法不唯一） 【解析】 【分析】将1~11这11个数填入数阵图，可先计算1~11的总和为66，观察图形，设最下面的圆圈填的数字为a，因为每条线上的数和都相等，设线和为b，如图： 根据5条红色线可列式子，1~11各加了一次，其中a又被重复加了4次，根据4条蓝色线可列式子，1~11各加了一次，其中a又被重复加了1次，求出a和b的值，再计算对应线和并分组填入圆圈。 【详解】设最下面的圆圈填的数字为a，因为每条线上的数和都相等，设线和为b 根据5条红色线可得：……① 根据4条蓝色线可得：……② ②×4－①可得： 把代入①可得 所以5条红色线除了外，其他两个数之和等于12即可 然后经尝试如下图所示： （答案不唯一） 12. 如图是一个4×4的“魔方阵”，其中7个格子已经填好，在剩余格子中填入合适的数，使每行、每列及每条对角线上4个数的和都相等，则“？”处应该填的是（ ）。 【答案】7 【解析】 【分析】如下图所示：假设“魔方阵”的四个角上的数依次为：a、b、c、d，则将第一行和第四行的数相加可得：a＋b＋c＋d＋20＋12＋13＋？；将第一列和第四列的数相加可得：a＋b＋c＋d＋25＋7＋6＋14。因为每列、每行和都相等，所以两行的总和等于两列的总和，即：第一行和第四行的数相加的和＝第一列和第四列的数相加的和，即：a＋b＋c＋d＋20＋12＋13＋？＝ a＋b＋c＋d＋25＋7＋6＋14，由此可知：45＋？＝52，由此可知“？”处应填的数是多少。 【详解】依据分析可知： a＋b＋c＋d＋20＋12＋13＋？＝ a＋b＋c＋d＋25＋7＋6＋14 整理得：45＋？＝52 52－45＝7 所以“？”处应填的数是7。 13. 找规律填空。 2，5，11，23，47，（ ）。 【答案】95 【解析】 【分析】5＝2×2＋1，11＝5×2＋1，23＝11×2＋1，47＝23×2＋1，得出规律：后一个数是前一个数×2＋1；据此得解。 【详解】由分析可得：47×2＋1 ＝94＋1 ＝95 【点睛】解决本题关键是找出相邻两个数之间的关系，由此得出变化的规律，再根据规律进行求解。 14. 把自然数依次排成下列数阵。 那么，第10行第5列是（ ），第5行第10列是（ ），2011在第（ ）行第（ ）列。 【答案】 ①. 95 ②. 85 ③. 45 ④. 14 【解析】 【分析】如图所示，从左向右每一列的第一个数字都是平方数，第一列第一个数0＝，第二列第一个数1＝，第三列第一个数4＝，第四列第一个数9＝，以此类推，则第n列的第一个数为； 每一行的第一个数都是比平方数少1的数，第一行第一个数0＝，第二行第一个数3＝，第三行第一个数8＝，第四行第一个数15＝，以此类推，第n行的第一个数为； 根据规律可得，第10行第1列的数为 ＝99，后面的数比前一个数依次少1，则第5列为99－4＝95；第10列第1行的数为＝81，下面的数依次比上面的数多1，则第5行为81＋4＝85；＝1936，＝2025，与2011比较接近的平方数是2025，第45行第1列的数为2025－1＝2024，后面的数比前面的数依次少1，2024－2011＝13，1＋13＝14，则2011在第45行第14列。 【详解】第10行第1列： ＝99，第10行第5列：99－4＝95； 第1行第10列：＝81，第5行第10列：81＋4＝85； 第45行第1列： ＝2024，2024－2011＝13，1＋13＝14，2011在第45行第14列。 15. 有一串数如下排列，第50行的最后一个数是（ ）。 【答案】2550 【解析】 【分析】观察数表的排列：第1行有2个数，第2行有4个数，第3行有6个数，第4行有8个数……可以发现每行的数字个数是行数的2倍。 因为数是按顺序排列的，要求第50行的最后一个数，其实就是求“前50行一共有多少个数字”。 前50行的数字个数构成一个等差数列：第1行2个，第2行4个，……，第50行100个。 利用等差数列求和公式“和＝（首项＋末项）×项数÷2”，就能算出前50行的总个数，也就是第50行的最后一个数。 【详解】计算第50行有多少个数字：50×2＝100（个） 计算前50行的数字总个数： （2＋100）×50÷2 ＝102×50÷2 ＝5100÷2 ＝2550 第50行的最后一个数是2550。 16. 已知×B，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字。那么的可能情况有（ ）种。 【答案】2 【解析】 【分析】先确定乘数B的取值范围，再逐个验证。 【详解】显然B≠1，当B＝2时，E＝2A，可知A＜5，易知A≠1，2，试算A＝3，4均不满足题意。 当B＝3时，A＜4且不为3，试算A＝1，不满足题意，A＝2时，有230769满足题意。 当B＝4时，A＜3，A＝1时有142857满足题意，A＝2，不满足题意。 当B＞4时，只能A＝1，试算发现均不满足题意，故共有2种。 17. 1×2×3×4×…×2023×2024的计算结果的末尾有（ ）个0。 【答案】503 【解析】 【分析】阶乘末尾的零由因数2和5配对产生，因为2的数量远多于5，所以末尾零的个数由因数5的总个数决定。只需要计算1×2×3×…×2024中因数5的个数即可，用2024依次除以5、25、125、625等5的幂次，将商相加。 【详解】2024÷5商404（个），含404个因数为5的数； 2024÷25商80（个），含80个两个因数为5的数，多算一次； 2024÷125商16（个），含16个三个因数为5的数，再多算一次； 2024÷625商3（个），有3个含四个因数为5的数，再多算一次； 因数5总个数＝404＋80＋16＋3＝503（个）。 18. 一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开……如此下去，直到第100个人离开房间后，房间里所有亮着的灯编号之和是（ ）。 【答案】385 【解析】 【分析】由题可知，开始时所有的灯都不亮，当开关被按奇数次时，灯是亮着的，被按偶数次时，灯是关着的。当最后一个人离开房间后，一盏灯被按的开关次数，正好是这盏灯的编号的因数的个数，题目求亮着的灯的编号，就是找出灯的编号的因数有奇数个，而完全平方数的因数个数正符合要求。在1至100中，完全平方数有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，即为所亮灯的编号，再把所有的编号相加，即可得到结果。 【详解】1至100中的完全平方数为：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81＋100＝385 19. 三个连续的奇数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是108，那么这三个数中最大的数是（ ）。 【答案】29 【解析】 【分析】我们先把三个数标记为：前（a）、中（b）、后（c），因为三个数是连续的奇数，所以相邻两个数的差是2。由此可得：，，。 题目中说“后面两个数的积-前面两个数的积=108”，也就是：。再根据乘法分配律，化简等式求出未知数，即可求出这3个数。 【详解】根据分析，已知： 那么： 依据乘法分配律把等式提取公因数： ， 再把代入公式： 最大的数就是排最后的数： 所以这三个数中最大的数是29。 20. 如果四位数6□□8能被73整除，那么商是（ ）。 【答案】86 【解析】 【分析】被除数是四位数6□□8，所以它的范围在6008到6998之间。除数是73，先计算商的范围： 6008÷73＝82……22 6998÷73＝95……63 四位数能被73整除，所以商是一个在83到95之间的两位数。 被除数＝商×除法，被除数的个位是8，除数73的个位是3。以此来推导商的个位取值情况。 【详解】根据分析： 被除数的个位是8，除数73的个位是3，只有当商的个位是6时，3×6＝18，积的个位才会是8。 因此，商的个位必须是6，结合商的范围，商只能是86。 进行验证： 73×86＝6278 6278符合6□□8的形式，所以商是86。 21. 某个自然数被247除余63，被248除也余63。那么这个自然数被26除余数是_________。 【答案】11 【解析】 【分析】这个数减去63应为247与248的倍数。而任意相邻两数都是互质的，所以247与248的公倍数为，原数比247与248的倍数大63，所以这数可以表示为：。，根据余数的可加性，可知63除以26的余数即为这个自然数除以26的余数。 【详解】根据题意，这个数减去63应为247与248的倍数。而任意相邻两数都是互质的，所以这数可以表示为：。而显然是26的倍数。所以2……11。 所以这个自然数被26除的余数是11。 【点睛】此题主要考查了互质数和余数的可加性，需熟练掌握这两个概念。 22. N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。N的最大值是（ ）。 【答案】9867312 【解析】 【分析】N不能含有0，因为不能被0除；N不能同时含有5和偶数，因为此时N的个位将是0；如果含有5，则2，4，6，8都不能有，此时位数不会多，如果N只缺少5，则含有1，2，3，4，6，7，8，9，但是数字和为40，不能被9整除，所以必须再去掉一位，为了最大，应该保留9放到最高位，为了使数字和被9整除，还需要去掉4，此时由1，2，3，6，7，8，9组成，肯定被9整除，还需要考虑被7和8整除。 【详解】前四位最大为9876，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9876312被7除余5； 前四位如果取9873，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为216，9873216被7除余3； 前四位如果取9872，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为136，9872136被7除余1； 前四位如果取9871，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为632，9871632被7除余1； 前四位如果取9867，剩下三个数字组成的被8整除的三位数为312，9867312被7整除。 【点睛】本题是整除特征的综合应用，熟练掌握各个数的整除特征是求解问题的关键。 23. 一个以8开头的三位数，将它的因数从小到大排列后，倒数第二个数与正数第二个数的差是一个奇数的平方，那么这个数除以9的余数是（ ）。 【答案】4 【解析】 【分析】以8开头的三位数，形式为8ab，范围800～899。一个数的因数成对出现：最小因数是1，正数第二个最小因数是最小质因数，记为p； 最大因数是它本身N，倒数第二个因数就是N÷p。倒数第二个因数减正数第二个因数＝奇数的平方。 先利用奇偶性、因数性质推导，奇数平方是奇数；奇数＝奇数−偶数或偶数−奇数。 若p是奇数：N÷p－奇数＝奇数→N÷p必为偶数→N是偶数，所以N是偶数，唯一的偶质数是2，最小质因数p＝2。 若p是偶数：p又是质数，所以p也同样是=2。 再求除以9的余数。本题分析比较复杂，一定要结合起来推导。 【详解】正数第1个因数：1 正数第2个因数：最小质因数p 倒数第1个因数：N 倒数第2个因数：N÷p 设这个奇数为k，即：（N÷p）－p＝k2。 根据分析，p只能是偶数且为质数，p＝2； N÷2＝k2＋2。 N是800～899之间以8开头的三位数，k2为整数，所以398≤k2≤447； 满足要求的奇数的平方为212＝441，因此N＝2×（441＋2）＝2×443＝886。 886÷9＝98……4，这个数除以9的余数是4。 24. 有6个四位数：95*2，**35，3**8，69*7，**10，19*6，其中*代表不能辨认的数码，这6个四位数中的完全平方数是（ ）。 【答案】1936 【解析】 【分析】首先利用完全平方数的末位数字特征（只能是0、1、4、5、6、9），排除末位是2、3、7、8的数；再根据“末位为0则末两位必为00”“末位为5则末两位必为25”的特征，排除剩余不符合的数；最后对剩下的数进行估算和平方验证，确定完全平方数。 【详解】完全平方数的末位只能是0、1、4、5、6、9，因此：排除末位是2的95*2；排除末位是8的3**8；排除末位是7的69*7。 根据末两位特征进一步排除： 对于**35：末位是5的完全平方数，末两位必为25（如15²＝225、25²＝625），因此**35不符合。 对于**10：末位是0的完全平方数，末两位必为00（如40²＝1600、50²＝2500），因此**10不符合。 验证剩余的19*6：完全平方数末位是6，其平方根的末位应为4或6（因为4²＝16、6²＝36）。估算范围：40²＝1600，50²＝2500，因此平方根在40~50之间。 计算44²＝1936，符合“19*6”的结构。 所以这6个四位数中的完全平方数是1936。 25. 称能表示成的形式的自然数为三角数．有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数．则_______。 【答案】1225 【解析】 【详解】依题有，即．因为与是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数。又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”也互质，于是奇数， （），而为四位数，有，即，又与相邻，有． 当时，，相邻偶数为50时，满足条件，这时，即； 当时，，相邻偶数为80和82都不满足条件； 当时，，相邻偶数为120和122都不满足条件。 所以，。 26. 888888÷999的余数是（ ）。 【答案】777 【解析】 【分析】由于除数是999，接近1000，可以尝试从被除数888888中拆出1000，然后令1000＝999＋1，用乘法分配律化简计算，将888888中999的倍数部分舍去，用剩下的部分除以999求余数。 【详解】888888 ＝888000＋888 ＝888×1000＋888 ＝888×（999＋1）＋888 ＝888×999＋（888＋888） ＝888×999＋1776 其中“888×999”是999的倍数，所以只要求出1776除以999的余数即可。 1776÷999＝1……777 所以888888÷999的余数是777。 27. 已知a＝，则a除以13所得余数是（ ）。 【答案】6 【解析】 【分析】因为1919里有2个“19”，那么1919个1919就相当于1919×2个19，也就是3838个19。 逐个计算19÷13、1919÷13、191919÷13，发现191919÷13没有余数，也就是每3个“19”的组合就能被13整除，用3838除以3，算出剩下几个“19”，根据同余定理，用剩下的几个19作为被除数除以13就能求出余数。 【详解】因为191919能被13整除，因此将3个“19”作为1组。 3838÷3＝1279（组）……1（个） 19÷13＝1……6， 所以a除以13所得余数是6。 28. 马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是______。 【答案】517 【解析】 【分析】根据题意可得，乙数是473与407的公因数，据此找出乙数是11，再找出甲数即可。 【详解】乙数是473与407的公因数。473与407的最大公因数是11，11是质数，它的两位数因数只有11，所以乙数是11，又，，所以甲数是47，甲、乙两数的乘积应为：。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握因数和倍数的概念。 29. 小明计算两个数相乘将其中一个乘数123看成了132，计算结果比正确答案大540，则正确答案是（ ）。 【答案】7380 【解析】 【分析】误把一个乘数123写成了132，相当于把另一个乘数多算了（132－123）倍，即另一个乘数的（132－123）倍是540，然后用除法算出另一个因数，再将两个正确的乘数相乘，即可得出正确答案。 【详解】540÷（132－123） ＝540÷9 ＝60 60×123＝7380 正确答案是7380。 30. 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为（ ）。 【答案】67 【解析】 【分析】两位数乘3之后，数字和一定被3整除。又因为是质数，所以只能是3。有102，111，120，201，210这五种情况。 【详解】依次分析： 3倍 原数 数字和 5倍 数字和 7倍 数字和 102 34 7 170 8 111 37 10 120 40 4 201 67 13 335 11 469 19 210 70 7 350 8 同时满足所有条件的只有67，所以，满足条件的两位数为67。 【点睛】本题考查了质数与合数，同时用到了3的整除特征，分类讨论是解决问题最常用的方法。 31. 4个同样的瓶子内分别装有一定数量的油，每瓶和其它瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13，已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有（ ）千克油。 【答案】12 【解析】 【分析】每个瓶子都称了三次，则四个瓶子的总质量是21千克，21是奇数，根据和的奇偶性，得出4个空瓶的重量之和以及油的重量之和肯定是一奇一偶，且又为质数，即质数中的偶数只有2。 分为两种情况：一种是4个空瓶的重量之和是2，则油的质量为之和为19，分别求出空瓶的质量，根据最重两瓶的重量之和是13千克，得出最重的两瓶内有12千克。 另一种是油的重量之和2，4个空瓶的重量之和是19，分别求出空瓶的质量，根据最重两瓶的重量之和是13千克，得出最重的两瓶内有3.5千克，这与油重之和为2千克相互矛盾，不符合。 【详解】（8＋9＋10＋11＋12＋13）÷3 ＝63÷3 ＝21（千克） 第一种：4个空瓶的重量之和是2 油的质量为之和：21－2＝19（千克） 每个空瓶的质量：2÷4＝0.5（千克） 13－2×0.5 ＝13－1 ＝12（千克） 则最重的两瓶内有12千克。 第二种：油的重量之和是2 4个空瓶的重量之和是：21－2＝19（千克） 每个空瓶的质量：19÷4＝4.75（千克） 13－4.75×2 ＝13－9.5 ＝3.5（千克） 这与油重之和为2千克相互矛盾，不符合。 则最重的两瓶内有12千克。 32. 称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的因数。这个“两头蛇数”最大是（ ）。 【答案】1911 【解析】 【分析】四位两头蛇数形式为1xy1，首位和末位都是1，中间两位数记为m，那么这个四位数可写成1001＋10×m。 中间两位数m是这个四位数的因数，可以利用整除性质推导，再从大到小枚举符合条件的数，找出最大是几即可。 【详解】根据分析，这个四位数是1001＋10×m。因为m能整除10×m，所以m一定能整除1001。 1001的两位因数有：11，13，77，91 从大到小依次构造四位数：m＝91，四位数为1911。 33. a，b，c都是质数，若a＋b＝13，b＋c＝28，则a×b×c＝（ ）。 【答案】374 【解析】 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】除2以外的质数都是奇数，a＋b＝13，b＋c＝28，说明a应该是偶数，应该是2。 因此a，b，c分别是2、11、17 2×11×17＝374 a，b，c都是质数，若a＋b＝13，b＋c＝28，则a×b×c＝374。 34. 三个质数的平方和是390，这三个质数分别是（ ），（ ），（ ）。 【答案】 ①. 2 ②. 5 ③. 19 【解析】 【分析】首先利用奇偶性快速找到第一个质数，因为奇数的平方一定是奇数，而偶数的平方一定是偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，而且既是质数又是偶数的只有2，所以根据题目三个质数的平方和是390，就可以快速确定第一个质数一定是2，那么剩余两个质数的平方和就是386，从接近的数字开始试即可。 【详解】第一个质数：2； 其他两个质数的平方和： 所以这三个质数分别是2，5，19。 35. 三个连续的自然数a，b，c分别能被3，5，7整除，若200＜a＜b＜c＜300，则a＝（ ）。 【答案】264 【解析】 【分析】三个连续的自然数a，b，c分别能被3，5，7整除，则a＋1能被5整除，a＋2能被7整除，即a除以3余0，除以5余4，除以7余5，可以先从同时满足除以3余0，除以5余4的数入手， 再从中找到同时满足这三个条件的数，除以3余0，除以5余4最小的数是9，则9加上同时是3和5的倍数的数都符合这两个条件，后面的数依次为24，39，54，69 ， 其中54符合除以7余5，同时满足这三个条件的a的最小值为54，则54加上是3、5、7倍数的数都能满足这些条件，这些数可以用（3×5×7）k＋54＝105k＋54表示， 已知200＜a＜b＜c＜300，当k＝1时，a＝105＋54＝159＜200，不符合条件； 当k＝2时，a＝105×2＋54＝264，200＜264＜300，符合条件； 当k＝3时，a＝105×3＋54＝369＞300，不符合条件，综上可得：k＝2，a＝264。 【详解】105×2＋54 ＝210＋54 ＝264 36. 有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第3个数开始，每个数都等于它前面相邻的两个数之和，那么在这个数列的前2018个数中，奇数有（ ）个。 【答案】1346 【解析】 【分析】首先观察这列数的奇偶性。前两个数1、1为奇数，第三个数2为偶数。第四个数3是奇数与偶数的和为奇数，第五个数5是偶数与奇数的和为奇数，第六个数8是两个奇数的和为偶数。如此继续观察可发现，这列数的奇偶性以“奇、奇、偶”三个数为一组循环出现。要求出前2018个数中奇数的个数，就需计算2018个数能分成多少组“奇、奇、偶”，以及剩余数中奇数的个数。用2018除以3可得出2018个数中有多少组、余下几个数。 【详解】1.分析数列奇偶性规律： 第一个数：1是奇数，第二个数：1是奇数，第三个数：2是偶数。 第四个数：3＝1＋2，奇数＋偶数＝奇数。 第五个数：5＝2＋3，偶数＋奇数＝奇数。 第六个数：8＝3＋5，奇数＋奇数＝偶数。 得出数列奇偶性规律为“奇、奇、偶”三个数一组循环。 2.计算周期组数及余数： 2018÷3＝672（组）……2（个），即2018个数可分成672个完整的“奇、奇、偶”组，剩余2个数。 3.计算奇数个数： 每组“奇、奇、偶”有2个奇数，672组共有672×2＝1344（个）奇数。 余下的2个是一组中的前两个数，都是奇数，所以奇数总数为1344＋2＝1346（个）。 37. 已知S22016＋32017＋42018＋52019＋62020＋72021，则S的末位数字是（ ）。 【答案】3 【解析】 【分析】观察题干中的式子，发现都是整数的幂的计算，一个整数的幂的末位数字，会随着指数的增加呈现出固定的循环模式（周期）。 2的次幂末位：2、4、8、6循环（周期4） 3的次幂末位：3、9、7、1循环（周期4） 4的次幂末位：4、6循环（周期2） 5的次幂末位：永远是5（周期1） 6的次幂末位：永远是6（周期1） 7的次幂末位：7、9、3、1循环（周期4） 用每个数的次幂÷对应周期，余数是几就取周期里的第几个数，余数是0时，取周期里的最后一个数，据此得到每个数的末位数字，再相加取和的末位即可。 【详解】根据分析， 22016的末位数字 2016÷4＝504，对应周期的第4个数字：6； 32017的末位数字 2017÷4＝504……1，对应周期的第1个数字：3； 42018的末位数字 2018÷2＝1009，对应周期的第2个数字：6； 52019的末位数字 末位是：5； 62020的末位数字 末位是：6； 72021的末位数字 2021÷4＝505……1，对应周期的第1个数字：7。 所有末位数字的和： 6＋3＋6＋5＋6＋7＝33 和的末位数字是3，因此S的末位数字是3。 38. 已知a，b，c是自然数，b＝（a＋c），ac＝851，a＞c＞1，则a＋b＋c的不同的因数的和是（ ）。 【答案】234 【解析】 【分析】由b＝（a＋c），可知b为（a＋c）的一半，即a、b、c成等差数列。先把851分解因数，找出满足a＞c＞1的自然数a和c。 求出b，再算a＋b＋c，接着找出它所有不同的因数，最后求所有因数的和。 【详解】851＝23×37，要满足a＞c＞1，所以a＝37，c＝23； b＝（37＋23）÷2＝30，a＋b＋c＝37＋30＋23＝90； 90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90， 因数和：1＋2＋3＋5＋6＋9＋10＋15＋18＋30＋45＋90＝234。 39. 已知从大到小排列的六个自然数依次是100，a，b，c，d，78.若这六个数的平均数是93，则b的最小值是（ ）。 【答案】95 【解析】 【分析】先求出六个数的总和，要使b的值最小，那么要使a、c、d的值尽量大；据此解答即可。 【详解】六个数的总和为：93×6＝558 要使b为最小值，则第二个数应尽量大，则a＝99，则b、c、d三个数的和为558－100－99－78＝281. 要使b尽可能小，则c，d这两个数尽可能大，假设b比c、d分别大1和2； 则（281＋1＋2）－3＝94……2，281＝95＋94＋92，因此b的最小值是95 故答案为：95 40. 有七个排成一列的数，它们的平均数是30，前三个数的平均数是28，后五个数的平均数是33，第三个数是________。 【答案】39 【解析】 【分析】本题考查平均数问题中已知整体的平均数和两部分的平均数，求重复的数。由“平均数＝这组数据的和÷数据的个数”可知“这组数据的和＝平均数×数据的个数”，则这七个数的和是（30×7），前三个数的和是（28×3），后五个数的和是（33×5），前三个数与后五个数相加重复计算了一次第三个数，第三个数＝前三个数的和＋后五个数的和－这七个数的和，据此解答。 【详解】28×3＋33×5－30×7 ＝84＋165－210 ＝249－210 ＝39 所以，第三个数是39。 41. 鸡兔同笼，共100个头，320只脚，那么，鸡有（ ）只。 【答案】40 【解析】 【分析】用假设法解鸡兔同笼问题，先假设只有鸡或兔一种动物，求出这种情况下应该有多少只脚，用这个假设的脚数与实际的脚数作差，然后用这个差除以一只鸡和一只兔子的脚相差的数量，就是兔或鸡的数量， 【详解】100个头意味着一共100只动物，假设这100只都是兔子，那么应该有400只脚，但实际有320只脚，少了400－320＝80（只）脚。脚会少是因为有一部分兔子变成了鸡，每有一只兔子变成鸡，脚的数量便会少4－2＝2（只）。所以根据一共少的80只脚，可求出鸡的数量：80÷2＝40（只）。 （100×4－320）÷（4－2） ＝（400－320）÷2 ＝80÷2 ＝40 42. 某仓库运出四批原料，第一批运出的占全部库存的一半，第二批运出的占余下的一半，以后每一批都运出前一批剩下的一半。第四批运出后，剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂。甲厂分得24吨，乙厂分得的是甲厂的一半，丙厂分得4吨。最初仓库里有原料（ ）吨。 【答案】640 【解析】 【分析】已知甲厂分得24吨，乙厂分得的是甲厂的一半，即乙厂分得12吨，四批运出后剩余的原料为甲厂、乙厂、丙厂的原料和，即24＋12＋4＝40（吨），因为每一批都运出前一批剩下的一半，所以用四批运完之后剩余的原料的二倍即为第三次运完剩下的原料数，以同样的方法倒推计算四次即可求得最初仓库的原料数。 【详解】 24＋12＋4 ＝36＋4 ＝40（吨） 402222 ＝80222 ＝16022 ＝3202 ＝640（吨） 43. 若干辆汽车装运一批货物。如果每辆装3.5吨，这批货物就有2吨不能运走；如果每辆装4吨，装完这批货物后，还可以装其他货物1吨。这批货物有（ ）吨。 【答案】23 【解析】 【分析】把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，就叫亏。 这是典型的盈亏问题，可根据公式：份数＝（盈数＋亏数）÷两次分配数的差，利用盈亏问题公式计算出车的数量，再计算货物总吨数即可。 【详解】 ＝30.5 ＝6（辆） 63.5＋2 ＝21＋2 ＝23（吨） 44. 实验小学五年级有学生152人。现在要选出男生人数的和女生5人，到国际数学家大会与专家见面。学校按照上述要求选出若干名代表后，剩下的男、女生人数相等。实验小学五年级有男生（ ）人。 【答案】77 【解析】 【分析】设男生人数为单位“1”，则剩下的男生人数为男生人数的​；依据题干“剩下的男、女生人数相等”这一条件，建立等量关系。剩下的女生人数等于剩下的男生人数，因此女生人数可表示为 “剩下的女生人数＋选出的5人”，即男生人数的＋5人。 【详解】剩下的男生人数是男生总数的：；剩下的女生人数＝男生总数的。 女生总人数为（男生总数的＋5）人； 男生总人数＋女生总人数＝152（人）； 男生总人数＋（男生总数的＋5）人＝152（人），解得：男生总人数＝77人。 45. 一位水果商以每千克1.8元的价格购进4800千克苹果，运输费花去了3000元，在运输途中有10%的苹果因变质不能售出，其余苹果全部售出，并且这位水果商获得了8%的利润。每千克苹果的出售价为（ ）元。 【答案】2.91 【解析】 【分析】首先计算购进苹果的总花费，也就是苹果的进价加上运输费，这是总成本。因为有10%的苹果变质不能卖，那么能卖的苹果就是总数的90%。 又知道水果商要获得8%的利润，所以用总成本乘（1＋8%）就能得到所有能卖的苹果需要卖出的总价。 最后用这个总价除以能卖的苹果重量，就可以得到每千克苹果的出售价。 【详解】苹果进价：1.8×4800＝8640（元） 总成本：8640＋3000＝11640（元） 可售苹果的重量： 4800×（1－10%） ＝4800×0.9 ＝4320（千克） 总售价：11640×（1＋8%）＝11640×1.08＝12571.2（元） 每千克苹果的出售价：12571.2÷4320＝2.91（元） 46. 小明和小军同时从学校和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小军再走270米到达学校。小军每分钟走（ ）米。 【答案】120 【解析】 【分析】已知小明和小军同时从学校和少年宫出发，相向而行，两人相遇时所用的时间是相同的，相遇后小军再走270米到达学校，这个距离也是相遇前小明从学校到相遇点的距离， 已知小明每分钟走90米，根据时间＝路程÷速度，可计算出两人的相遇时间为270÷90＝3（分钟），两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫， 根据路程＝速度×时间，可计算出小明从相遇点到少年宫所走的路程，也是相遇前小军从少年宫到相遇点所走的路程，根据速度＝路程÷时间，可计算出小军的速度。 【详解】4×90÷（270÷90） ＝4×90÷3 ＝120（米/分） 47. 甲乙两码头相距560千米，一只船从甲码头顺水航行20小时到达乙码头，已知船在静水中每小时行驶24千米，这船返回甲码头需（ ）小时。 【答案】28 【解析】 【分析】已知甲乙两码头的距离和船顺行从甲码头到乙码头的时间，根据顺水速度＝路程÷顺行时间可计算出顺水速度，顺水速度＝船速＋水速， 已知船速可计算出水速，返回时逆行，逆水速度＝船速－水速，路程不变，根据逆行时间＝路程÷逆水速度可计算求解。 【详解】水速：560÷20－24 ＝28－24 ＝4（千米/时） 560÷（24－4） ＝560÷20 ＝28（小时） 48. 小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。若两人按原定速度前进，则4小时相遇；若两人各自都比原定速度多1千米/时，则3小时相遇。甲、乙两地相距（ ）千米。 【答案】24 【解析】 【分析】两次相遇的总路程（甲乙两地距离）不变，通过“提速后每小时多走的路程”和“时间缩短”来反推原来的速度和，然后通过公式“总路程＝原速度和×原相遇时间”，再计算出甲乙两地的距离。 小明和小军原来的速度之和为原速度和。第一次按原速，4小时相遇，全程等于原速度和乘4。第二次两人速度各增加1千米/时，速度和增加2千米/时，3小时相遇，全程等于新速度和乘3。 【详解】根据分析，原速度和为（2×3÷1）千米/时，原相遇时间为4小时。 （1＋1）×3÷（4−3）×4 ＝2×3÷1×4 ＝6÷1×4 ＝6×4 ＝24 49. 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，而且相遇后20秒两人同时回到原地。甲原来的速度是（ ）米/秒。 【答案】9 【解析】 【分析】两人沿环形跑道同时从同一地点反向跑，相遇后又同时回到原地，说明相遇后甲跑的路程是相遇前乙跑的路程，相遇后乙跑的路程是相遇前甲跑的路程。 因为相遇后甲速度增加2米/秒，乙速度减少2米/秒，所以相遇前后两人的速度和不变。那么两人相遇前共同跑的一圈和相遇后共同跑的一圈用的时间相等，都是20秒。 甲和乙在相遇后交换了速度，路程和时间都和之前一样，说明甲比原来速度增加2米/秒以后等于乙的速度，同理乙比原来速度减少2米/秒以后等于甲的速度，说明两人原来的速度差是2米/秒。 用400米除以20秒可以求出两人的速度和。设甲的速度为未知数，用速度差表示出乙的速度，再用速度和列出等式就能求出甲的速度。 【详解】甲、乙的速度和：400÷20＝20（米/秒） 设甲的速度是x，那么乙的速度是x＋2。 x＋（x＋2）＝20 x＋x＋2＝20 2x＝20－2 2x＝18 x＝18÷2 x＝9 所以甲的速度是9米/秒。 50. A、B两地相距150千米，甲、乙两骑车人分别从A、B两地同时相向出发，甲速度为每小时50千米。出发后2小时相遇，然后继续沿各自方向往前骑。在他们相遇24分后，甲与迎面骑车来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快5千米的速度，两人同时分别从A、B出发，则甲、乙两人在C地相遇。丙的车速是（ ）千米/时。 【答案】50 【解析】 【分析】A、B两地相距150千米，甲、乙两骑车人分别从A、B两地同时相向出发2小时相遇，则甲、乙的速度和为150÷2＝75（千米/时），乙原来的速度： 75−50＝25（千米/时），当甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快5千米的速度，两人同时分别从A、B出发，则甲、乙两人在C地相遇，相遇时间为150÷（20＋25＋5）＝3（小时），此时甲从A点走到C点路程为20×3＝60（千米），乙从B点走到C点路程为150－60＝90（千米）；已知原来甲、乙相遇24分后，甲与迎面骑车来的丙相遇，这时乙和丙之间的距离是24分钟甲、乙合走的路程：24÷60×75＝30（千米）；此时乙从B地向A地走了（2＋24÷60）×25＝60（千米），距离C点还有90－60＝30（千米），当乙到达C点时，丙正好追上乙，即乙走30千米的同时，丙走30＋30＝60（千米），所用时间为30÷25＝1.2（小时），则丙的速度为60÷1.2＝50（千米/时）。 【详解】原来乙速度： 150÷2－50 ＝75－50 ＝25（千米/时） 甲、丙相遇时，乙和丙的距离： 24÷60×（150÷2） ＝24÷60×75 ＝30（千米） 甲、丙相遇时乙走的距离： （2＋24÷60）×25 ＝2.4×25 ＝60（千米） 甲、乙按新速度的相遇时间： 150÷（20＋25＋5） ＝150÷50 ＝3（小时） 甲、乙在C点相遇时乙走的距离： 3×（25＋5） ＝3×30 ＝90（千米） 乙从甲、丙相遇到C点所用的时间： （90－60）÷25 ＝30÷25 ＝1.2（小时） 丙的速度： （30＋90－60）÷1.2 ＝60÷1.2 ＝50（千米/时） 51. 已知C地为A，B两地的中点，上午8点甲从A出发向B行走，同时，乙从B、丙从C都向A行进。甲和丙相遇时乙恰好走到C地，上午10点当乙走到A地时，甲距离B地还有20千米，上午11点丙到达A地。那么A和B两地之间的距离是（ ）千米。 【答案】60 【解析】 【分析】根据题中已知条件知C为A，B两地中点，上午8点甲乙丙同时出发，上午10点乙走到A地，乙从B地到A地共用10时－8时＝2时，则乙到C地花1个小时， 同时甲丙相遇时也花1个小时，即一半的路程中，甲走了1个小时的路程，丙走了1个小时的路程。 又因为丙上午11点到达A地，丙走一半的路程总共花11时－8时＝3时，即丙3个小时走了一半的路程。 乙走到A地时，甲距离B地还有20千米，根据之前一半的路程中，甲和丙各走了1个小时，那么全程的话，按照原来的速度，甲和丙各走2个小时就能走完， 甲已经走了2小时，剩下的20千米就相当于丙2小时走的路程。 把A和B两地之间的距离看作单位“1”，可以先求出丙1小时走的路程，再量率对应求单位“1”。 【详解】10时－8时＝2时，乙从B地到A地共花2小时，C地为A，B两地中点，乙到C地花1小时， 因为甲和丙相遇时乙恰好走到C地，所以甲丙相遇花1小时， 11时－8时＝3时，丙3个小时走了一半的路程，把A和B两地之间的距离看作单位“1”，丙的速度：， （千米） 52. 甲乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步，如果两人同时从同地相背而跑，乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需要6分钟，那么乙跑一周需要（ ）分钟。 【答案】12 【解析】 【分析】将环形跑道一周的长度看成单位“1”，甲跑一周需要6分钟，可以表示出甲的速度。已知相遇时两人跑的总路程、相遇时间和甲的速度，求乙的速度，可用总路程除以相遇时间求出速度和，再减去甲的速度。 【详解】将环形跑道一周的长度看成单位“1”。 甲的速度：1÷6＝ 两人的速度和：1÷4＝ 乙的速度：－＝－＝ 乙跑一周用的时间：1÷＝1×12＝12（分钟） 53. 现在有一批生产任务，需要6名模范职工和12名普通职工生产14小时才能完成，如果工作了4小时后，又来了4名模范职工和8名普通职工，那么可以提前（ ）小时完成任务。 【答案】4 【解析】 【分析】将1名模范工和2名普通工看成一组，那么完成这批生产任务需要6组职工生产14小时才能完成，生产效率为1÷14＝，则前4小时共完成×4＝，余下1－＝，1名模范职工和2名普通职工1小时完成＝，增加职工后1小时完成，余下时间为（小时），提前完成14－（4＋6）＝4（小时）。 【详解】将1名模范工和2名普通工看成一组。 1÷14＝1×＝ ×4＝ 1－＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝6（小时） 14－（4＋6） ＝14－10 ＝4（小时） 54. 师徒二人加工一批零件，由师傅独做需37小时，徒弟每小时能加工30个零件。现由师徒两人同时加工，完成任务时，徒弟加工的个数是师傅的，这批零件共有（ ）个。 【答案】1998 【解析】 【分析】因为完成任务时徒弟加工的个数是师傅的，而两人工作时间相同，根据“工作总量＝工作效率×工作时间”，可知徒弟与师傅的工作效率之比也是。已知徒弟每小时能加工30个零件，那么就能通过这个比例算出师傅每小时加工的零件数。用这个零件数乘师傅单独做需要的37小时，就可以得到这批零件的总数。 【详解】因为工作时间相同，徒弟与师傅工作效率之比＝工作量之比＝∶1＝5∶9 设师傅每小时加工x个零件，列出比例式： 30∶x＝5∶9 5x＝30×9 5x＝270 x＝270÷5 x＝54 所以师傅每小时加工54个零件。 零件的总数：54×37＝1998（个） 55. 现在，姐姐的年龄是弟弟年龄的2倍，4年后两人的年龄和是23岁，姐姐今年的年龄是（ ）。 【答案】10岁 【解析】 【分析】将弟弟现在的年龄设成未知数，并用未知数表示出姐姐现在的年龄，然后分别表示出两人4年后的年龄，用“4年后两人的年龄和是23岁”列出等式解方程。 【详解】解：设弟弟现在的年龄是x岁，那么姐姐现在的年龄是2x岁。 （x＋4）＋（2x＋4）＝23 x＋4＋2x＋4＝23 3x＋8＝23 3x＝23－8 3x＝15 x＝15÷3 x＝5 2×5＝10（岁） 姐姐现在的年龄是10岁。 56. 父子二人今年的年龄和为40岁，已知两年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，那么两年前父亲的年龄是（ ）岁。 【答案】32 【解析】 【分析】求两年前的年龄和，那么父亲和儿子现在的年龄都要减少2，所以两年前父子年龄和为40－2－2＝36（岁），和倍问题利用公式先求出儿子的年龄，再用儿子的年龄×8即可求出两年前父亲的年龄。 【详解】40－2－2 ＝38－2 ＝36（岁） 48＝32（岁） 57. 有两堆棋子，若从第一堆拿出34个放到第二堆，则第二堆的棋子数是第一堆的4倍；若从第二堆拿出36个放到第一堆，则第一堆的棋子是第二堆的2倍。则原来第一堆共有（ ）个棋子。 【答案】64 【解析】 【分析】设第1堆有x个棋子，第2堆有y个棋子，根据题目内容联立二元一次方程组，求解即可。 【详解】设第1堆有x个棋子，第2堆有y个棋子。 根据题目中，从第一堆拿出34个放到第二堆，则第二堆的棋子数是第一堆的4倍， 则有： 根据题目中，从第二堆拿出36个放到第一堆，则第一堆的棋子是第二堆的2倍， 则有： 将代入： 所以原来第一堆共有64个棋子。 58. 甲、乙二人比赛投飞镖，规定每投中一次记10分，脱靶一次倒扣6分。两人各投10次，共得152分。其中甲比乙多得16分，甲投中（ ）次。 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意可知，甲和乙的分数差和分数和，是和差关系，可利用公式：较大数＝（和＋差）2，算出甲的得分为（分），再利用假设法求出甲投中的次数。假设甲全部投中，又因为脱靶不但得不到10分还要倒扣6分，也就是少得16分，据此可以算出甲脱靶的次数，进而求出甲投中的次数。 【详解】 ＝1682 ＝84（分） 假设甲全部投中： 1010＝100（分） 100－84＝16（分） 脱靶一次少得分数：10＋6＝16（分） 脱靶次数：1616＝1（次） 甲投中的次数： 10－1＝9（次） 59. 一部动画片放映的时间不足1小时，小明发现结束放映时手表的时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。这部动画片放映了（ ）分钟。 【答案】## 【解析】 【分析】时针和分针在不足1小时的时间里交换了位置，这就相当于时针和分针合起来走了一圈，也就是360°。求出时针和分针每分钟转动的角度。把时针和分针的运动看作是相遇问题，求出他们的速度和。用他们转动的总的角度360°除以速度和，就可以求出他们走过这些角度所用的时间，也就是动画片放映的时间。 【详解】时针每分钟走的角度： 时针转一圈是12小时，1小时＝60分 360°÷12÷60＝0.5° 分针每分钟走的角度： 分针每60分钟走一圈，360÷60＝6° 时针和分针每分钟一共走的角度：6＋0.5＝6.5° 动画片放映时间： 360÷6.5＝（分） 60. 在4点与5点之间，时针和分针重合的时刻是4时（ ）分。（用分数表示） 【答案】## 【解析】 【分析】在时钟上，可以把指针角度的差距当做路程差，每个指针每分钟转动的角度当做速度，根据追及问题的解题方式，用路程差除以速度差求出分针追上时针（时针和分针重合）的时间。 【详解】分针每分钟转动的角度：360°÷60＝6° 时针每分钟转动的角度：30°÷60＝0.5° 4点整时：分针指向12，时针指向4，中间相差4个大格，路程差是30°×4＝120° 分针追时针，速度差：6°－0.5°＝5.5° 追及时间＝路程差÷速度差＝120°÷5.5°＝（分） 61. 某科学家设计了一只怪钟。这只怪钟每昼夜10小时，每小时100分钟。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点。当这只钟第一次显示6点75分时，实际上的时间是（ ）时（ ）分。（24小时制） 【答案】 ①. 16 ②. 12 【解析】 【分析】正常钟一昼夜是24小时，每小时60分钟，也就是一昼夜有24×60＝1440（分）。而怪钟一昼夜是10小时，每小时100分钟，那怪钟一昼夜就是10×100＝1000（分）。这样就能找到怪钟时间和正常钟时间的比例关系。当怪钟从5点走到6点75分，走了1小时75分，也就是175分钟，根据前面找到的比例关系，就能算出这段时间在正常钟里对应的时长，进而知道实际时间。 【详解】正常钟一昼夜的分钟数：24×60＝1440（分钟） 怪钟一昼夜的分钟数：10×100＝1000（分钟） 怪钟时间与正常钟时间的比例：怪钟1000分钟相当于正常钟1440分钟，那么怪钟1分钟相当于正常钟1440÷1000＝1.44（分）。 怪钟从5点走到6点75分经过的分钟数：1×100＋75＝175（分）。 这175分钟在正常钟里对应的分钟数：175×1.44＝252（分）。 把252分钟换算成小时和分钟：252÷60＝4（时）……12（分）。 因为怪钟5点相当于中午12点，过了4小时12分钟后，实际时间是16时12分。 62. 一次考试五人的总分是423分，每人的分数都是整数，并且各不相同，那么得分最少的人，最多得（ ）分；得分最多的人，最少得（ ）分。 【答案】 ①. 82 ②. 87 【解析】 【分析】无论是求得分最少的人最多得分，还是求得分最多的人最少得分，都应该让五人分数尽量接近、连续整数，把总分平均分，再微调。 把五个人的分数按从低到高设为a＜b＜c＜d＜e，总分固定为423。a要尽量大，则b、c、d、e只能比a大一点点，即b＝a＋1，c＝a＋2，d＝a＋3，e＝a＋4； 另一种情况就是a＞b＞c＞d＞e，这里a就是最高分，要尽量小，则b、c、d、e要尽量接近a，即b＝a－1，c＝a－2，d＝a－3，e＝a－4。 根据五个数小于423列出不等式，再微调看看最大与最小的整数是多少。 【详解】根据分析，设得分最少的人得x分，x＋（x＋1）＋（x＋2）＋（x＋3）＋（x＋4）≤423，x≤82.6，x是整数，最大为82； 设得分最多的人得y分，y＋（y−1）＋（y−2）＋（y−3）＋（y−4）≥423；y≥86.6，y是整数，最小为87。 63. 一张数学试卷，只有25道题，做对一题得4分，做错一题扣1分，不做不得分也不扣分。某同学得了78分，那么他做对（ ）道题。 【答案】20 【解析】 【分析】假设25道题都做对了，应得25×4＝100（分），实际得了78分，多算了22分，多算的分数是把错的题和不做的题当作对的计算， 一道错题当作对的计算多算4＋1＝5（分），一道不做的题当作对的计算多算4分，多算的分数为错题数量×5与不做的题数量×4的和， 即错题数量×5＋不做的题数量×4＝22，其中不做的题数量×4的结果是偶数，22是偶数，则错题数量×5的结果是偶数，且错题数量×5＜22， 可得错题的数量为小于6的偶数，假设错题数量为2道，计算可得不做的题数量为3道，符合条件，假设错题数量为4道，不做的题数量为小数，不符合条件， 题目总数量减去错题数量和不做的题数量是做对的题数量。 【详解】25×4－78 ＝100－78 ＝22（分） （4＋1）×错题数量＋4×不做的题的数量＝22 依据分析，假设错题有2道，则不做的题数量为： （22－5×2）÷4 ＝（22－10）÷4 ＝12÷4 ＝3（道） 错题有2道；不做的题有3道； 做对的题：25－2－3＝20（道） 64. 有一堆苹果，如果平均分给大、小两个班的小朋友，每人可得6个；如果只分给大班，每人可得10个。如果只分给小班，每人可得（ ）个。 【答案】15 【解析】 【分析】平均分给大、小两个班的小朋友，每人可得6个，可知苹果的数量是6的倍数；如果只分给大班，每人可得10个，可知苹果的数量是10的倍数。可通过求出6和10的最小公倍数来假设苹果的数量，从而求出大班小朋友的人数和总人数，继而求出小班小朋友的人数，即可求解。 【详解】6＝23 10＝25 大班小朋友的人数： 3010＝3（人） 306＝5（人） 小班小朋友的人数： 5－3＝2（人） 302＝15（个） 65. 一张长方形的纸，长25厘米，宽20厘米，在这张纸上剪一个最大的圆，圆剪下后，剩下的面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 【答案】186 【解析】 【分析】题干中“剪下一个最大的圆”，那么这个圆的直径就等于长方形的短边长度20厘米。根据圆和长方形的面积计算公式，求出圆和长方形的面积，依据“剩下的面积＝长方形面积－圆的面积”计算即可。 【详解】长方形面积 （平方厘米） 圆的半径： （厘米） 圆的面积： （平方厘米） 剩下的面积为 （平方厘米） 66. 21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体如下图。它的表面积是（ ）平方厘米。（包括底面积） 【答案】58 【解析】 【分析】立体表面每一个小正方形的面积都是1×1＝1（平方厘米），所以数出立体的表面有多少个小正方形，它的表面积就是多少平方厘米。 为了不遗漏，不重复地数出立体表面小正方形的数量，可以分别数出不同朝向的小正方形的数量，再加起来即可。 其中，数朝左和朝右的小正方形的时候不能只看该方向上的投影，立体中间凹进去的部分还隐藏着朝左和朝右的小正方形，要把它们都数进去。 【详解】朝前的小正方形的数量：9个； 朝后的小正方形的数量：9个； 朝左的小正方形的数量：8个； 朝右的小正方形的数量：8个； 朝上的小正方形的数量：12个； 朝下的小正方形的数量：12个； 一共是：9＋9＋8＋8＋12＋12＝58（个） 所以它的表面积是58平方厘米。 67. 有一个棱长为5厘米的正方体木块，从上下、左右、前后三个方向分别打通一个完全相同的孔，如下图，这个立体图形的体积是（ ）立方厘米。 【答案】76 【解析】 【分析】 分析打通后剩下的部分，可以发现，大正方体的每个角上都剩下一个棱长是2厘米的小正方体（黄色部分），每个棱中间都剩下一个边长是1厘米小方块（红色部分）。黄色小正方体共有8个，12条棱中间都有1个红色小方块，分别计算它们的体积相加即可。 【详解】棱长是2厘米的小正方体的体积：2×2×2＝8（立方厘米） 大正方体有8个角：8×8＝64（立方厘米） 每条棱中间的小正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 大正方体有12条棱：1×12＝12（立方厘米） 64＋12＝76（立方厘米） 这个立体图形的体积是76立方厘米。 【点睛】由于打通的截面不规则且相互重叠，很难直接去求打通部分的体积，直接分析剩下部分的组成更简单快捷。 68. 用43个边长1厘米的白色小正方体和21个边长1厘米的黑色小正方体堆成如图所示的大正方体，使黑色的面向外露的面积要尽量大．那么这个立方体的表面积上有（ ）平方厘米是黑色的。 【答案】50 【解析】 【分析】由题意可知，小正方体的一个面的面积是1平方厘米．①8个顶点处用去8个黑色小正方体露出的面最多，每个小正方体露出3个面；②剩下的13个黑色小立方体放在棱上，每个小正方体只露出2个面，由此即可解决问题。 【详解】3×8＋2×（21－8） ＝24＋2×13 ＝24＋26 ＝50（平方厘米） 69. 如图，长方形ABCD被分成9个小长方形，其中几个小长方形的周长已在图中标出，则长方形ABCD的周长是（ ）。 【答案】40 【解析】 【分析】没有直接给出线段的长度，一定是列代数式，最后整体代入计算。 设三列小长方形的横向边长为a、b、c，三行小长方形的纵向边长为d、e、f。根据题意列出周长的和，再推导字母的和： 右上角：2×（c＋d）＝18→c＋d＝9 中心：2×（b＋e）＝6→b＋e＝3 左下角：2×（a＋f）＝16→a＋f＝8 大长方形的周长＝2×（总长＋总宽）＝2×[（a＋b＋c）＋（d＋e＋f）]，代入和式求解。 【详解】根据分析，大长方形的周长表示为： 2×[（a＋b＋c）＋（d＋e＋f）] ＝2×[（a＋f）＋（b＋e）＋（c＋d）] ＝2×[8＋3＋9] ＝2×20 ＝40 70. 如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE＝AB，已知四边形EDCA的面积是35，三角形ABC的面积是（ ）。 【答案】42 【解析】 【分析】本题属于鸟头模型，同角三角形的面积比等于同角两夹边的乘积之比。 在本题中S△ABC∶S△BED＝（BA×BC）∶（BE×BD），因为S四边形EDCA＝S△ABC－S△BED，所以S△ABC∶S四边形EDCA＝（BA×BC）∶（BA×BC－BE×BD） 分别给BE和BD的长度赋一个值，然后根据几何关系表示出BA和BC的长度，将这些长度和四边形EDCA的面积代入比例中求解即可。 【详解】假设BE长度为a，BD长度为b。那么根据D为BC的中点和BE＝AB可知AB＝3a，BC＝2b。 根据鸟头模型中，同角三角形的面积比等于同角两夹边的乘积之比可得： S△ABC∶S△BED＝（BA×BC）∶（BE×BD） 将假设的长度代入： S△ABC∶S△BED＝（3a×2b）∶（a×b） S△ABC∶S△BED＝6ab∶ab＝6∶1 因为S四边形EDCA＝S△ABC－S△BED，所以S△ABC∶S四边形EDCA＝6∶（6－1）＝6∶5 即S△ABC∶35＝6∶5 S△ABC＝35×6÷5＝42 71. 如图，三角形ABC的面积等于108平方厘米，BD＝2DC，AE＝ED，阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】43.2 【解析】 【分析】本题首先利用等高模型， ，所以 ，而与的高相同，所以面积之比也是，就可以计算出的面积，然后利用，可以求出的面积，然后连接DF，利用份数法设的面积为x，将整个的面积用含有x的表达式表示出来，联立方程求解即可。 【详解】的面积： （平方厘米） 因为，所以： （平方厘米） 连接DF，如图： 设的面积为x，因为，所以。 因为，而和的高相同，底边之比为2∶1，所以。 。 所以 因此（平方厘米） 其中，代入得： 将先看成一个整体： 利用乘法分配律： 因为， 阴影部分面积为： 所以阴影部分面积就是43.2平方厘米。 72. 如图，直角梯形ABCD中，AB＝15cm，BC＝12cm，AB⊥AE，阴影部分面积为15cm2，梯形ABCD的面积是（ ）cm2。 【答案】198 【解析】 【分析】如下图所示：延长AE交CD于点F，AF⊥CD，则四边形ABCF为长方形。因为四边形ABCD是直角梯形，AB与BC垂直，根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2，可知S△ABD＝AB×BC÷2＝15×12÷2＝90（）；由图知，△BAE的面积＝△ABD的面积－阴影部分面积，即S△BAE＝90－15＝75（）；因为S△BAE＝AB×AE÷2＝15×AE÷2，可得AE＝75×2÷15＝10（cm）；因为AF⊥CD，所以阴影部分△AED＝AE×DF÷2＝15，由此可知DF＝15×2÷10＝3（cm）；因为四边形ABCF为长方形，所以CD＝CF＋FD＝AB＋FD＝15＋3＝18（cm）；最后根据梯形面积公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可解答。 【详解】15×12÷2 ＝180÷2 ＝90（） 90－15＝75（） 75×2÷15 ＝150÷15 ＝10（cm） 15×2÷10 ＝30÷10 ＝3（cm） 15＋3＝18（cm） （15＋18）×12÷2 ＝33×12÷2 ＝396÷2 ＝198（） 73. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝8厘米，四边形EFHG的面积是3平方厘米，阴影部分的面积和是（ ）平方厘米。 【答案】15 【解析】 【分析】由题意可知：因为S△BDC＝S△BEC，所以S△DGC＝S△BEG，同理，S△ABF＝S△FCE，因此S阴＝S△BEC－S△HBC＋S四边形EFHG，从而问题得解。 【详解】长方形ABCD面积为：6×8＝48（平方厘米） 三角形BEC面积为：48÷2＝24（平方厘米） 三角形BHC面积为：48÷4＝12（平方厘米） 因为S△BDC＝S△BEC；所以S△DGC＝S△BEG，同理S△ABF＝S△FCE 因此S阴＝S△BEC﹣S△HBC＋S四边形EFHG＝24－12＋3＝15（平方厘米） 74. 两个相同的直角三角形重叠在一起，如下图，则图中阴影部分的面积为（ ）。 【答案】32 【解析】 【分析】如下图所示：两个相同的直角三角形都减去空白三角形部分，剩下的两处阴影部分面积相等，所以图中所求阴影部分的面积是直角梯形HDFC的面积的2倍； 由图可知，HC＝AC－AH＝DF－ AH＝10－4＝6，再根据梯形的面积公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出直角梯形HDFC的面积，据此解答。 【详解】10－4＝6 （6＋10）×2÷2×2 ＝16×2÷2×2 ＝32÷2×2 ＝16×2 ＝32 75. 如图，已知四边形两条边的长度（单位：厘米）和三个角的度数，这个四边形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】20 【解析】 【分析】根据题中图形的角度和两条直角边的长度可知可以通过构造等腰直角三角形解决问题。如图所示，反向延长DA和CB交于点E，已知∠BCD＝90°，则∠DCE＝90°，∠B＝45°，∠A＝90°，在△ABE中，根据三角形内角和为180°，则∠E＝45°，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE＝7（厘米），根据三角形面积＝底×高÷2可计算出△ABE的面积，在△CDE中，∠CDE＝180°－90°－45°＝45°，则△CDE为等腰直角三角形，CD＝CE＝3（厘米），根据三角形面积＝底×高÷2可计算出△CDE的面积，用△ABE的面积减去△CDE的面积就是四边形的面积。 【详解】7×7÷2－3×3÷2 ＝24.5－4.5 ＝20（平方厘米） 76. 旋转木马屋上的玻璃很漂亮，其中一块如下图。大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得到小正方形，再将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么这块玻璃的白色部分面积是（ ）平方厘米。 【答案】50 【解析】 【分析】连接大正方形的对边中点。如下图： 把大正方形分成4个相等的小正方形（边长5厘米），其中每个正方形里面有6个三角形，题中说“将小正方形每边三等分”，也就是这些三角形的底边都是小正方形边三等分后的长度，高都是大正方形中心到边的距离，所以它们同底等高，根据同底等高的三角形面积相等，可以得出这6个三角形面积相等。大正方形有（个）面积相等的三角形，通过观察白色的部分正好是一半（12个）。求出大正方形的面积，除以2即可得出白色部分面积。 【详解】大正方形的总面积： 大正方形边长为10厘米，根据正方形面积公式：（平方厘米） 根据分析，白色部分是大正方形面积的一半，即： （平方厘米） 这块玻璃的白色部分面积是50平方厘米。 77. 如图，8边形的8个内角都是135°，若AB＝EF，BC＝20，DE＝10，GF＝30，则AH＝（ ）。 【答案】20 【解析】 【分析】如下图所示：将八边形补成一个长方形。因为八边形的8个内角都是135°，可知补出的4个三角形都是等腰直角三角形。由图：BM＋20＋CN＝PG＋30＋FQ，AM＋AH＋HP＝DN＋10＋EQ；由AB＝EF可知，等腰直角△AMB与等腰直角△FQE完全相同，所以， AM＝EQ＝BM＝FQ，所以CN＝PG＋10，AH＝DN－HP＋10。又因为在等腰直角△CND和等腰直角△HPG中，CN＝DN，PG＝HP，因此AH＝DN－HP＋10＝PG＋10－HP＋10＝20，据此解答。 【详解】如上图所示：将八边形补成一个长方形。 因为八边形八个内角都是135°，所以∠MBA＝180°－135°＝45°，所以△AMB是等腰直角三角形。同理可知其余补出的三角形都是等腰直角三角形。 因为AB＝EF，所以AM＝EQ＝BM＝FQ AM＋AH＋HP＝DN＋DE＋EQ AM＋AH＋HP＝DN＋10＋EQ 因为AM＝EQ 所以AH＝ DN－HP＋10 BM＋BC＋CN＝PG＋GF＋FQ BM＋20＋CN＝PG＋30＋FQ 因为BM＝FQ 所以CN＝PG＋30－20 CN＝PG＋10 因为CN＝DN，PG＝HP 所以AH＝DN－HP＋10 ＝PG＋10－HP＋10 ＝20 78. 边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，如图。桌面上被这些方框盖住的面积是（ ）平方厘米。 【答案】172 【解析】 【分析】从图中可以看出，桌面上被这些方框盖住的面积就是5个方框的总面积减去重复计算的面积，也就是中间那个正方形方框与四周的方框重叠的图形，很容易看出来是8个边长都是1的小正方形。 【详解】每个方框的面积： 10×10－（10－1×2）×（10－1×2） ＝10×10－8×8 ＝100－64 ＝36（平方厘米） 盖住的面积： 36×5－1×1×8 ＝180－8 ＝172（平方厘米） 79. 如图， 中，，，，，互相平行，，则_________________。 【答案】1∶3∶5∶7∶9 【解析】 【分析】假设三角形ADE的面积为1份，，，，，互相平行，各个三角形相同位置的边的比等于对应高的比，所以面积比等于相同位置的边的比的平方，然后根据大三角形减小三角形可以算出各个四边形的面积所占份数，最后根据份数直接写出比即可。 【详解】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份。 所以有。 80. 如图，有21个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，那么△ABC的面积等于（ ）。 【答案】10 【解析】 【分析】本题为三角形格点问题．已知图中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，根据三角格（小等边三角形面积=1）的皮克定理得：图形面积＝内部格点数×2＋周界上格点数−2；此图形内部格点数为4，周界上格点数为4，所以＝4×2＋4－2＝10 【详解】4×2＋4－2 ＝8＋4－2 ＝10 81. 长和宽分别是2021和1504的长方形恰好可以分成n个同样的等腰直角三角形，则n的最小值为（ ）。 【答案】2752 【解析】 【分析】长方形分成同样的等腰直角三角形，两个等腰三角形实际上能拼成一个正方形，因此我们实际研究的对象是正方形。先求长与宽的最大公因数，确定基础正方形边长。长方形长、宽除以最大公因数，得到最简长宽比，用长方形包含正方形个数乘2，得最少个数。 【详解】（2021，1504）＝47，2021÷47＝43，1504÷47＝32； 每一个边长47的正方形可分成2个相同等腰直角三角形 总个数：43×32×2＝2752（个） 82. 下图中有（ ）个三角形。 【答案】23 【解析】 【分析】数这类三角形，一般要分类讨论，才能不重复、不遗漏。分别数由单独的三角形与由2个、3个、4个三角形组成的大三角形的个数。 由1个三角形组成的三角形有10个；由2个三角形组成的三角形有9个；由3个三角形组成的三角形有2个；由4个三角形组成的三角形有2个，一共有23个。 【详解】10＋9＋2＋2＝23（个） 83. 下图中共有（ ）个不含“*”的三角形。 【答案】17 【解析】 【分析】通过观察可知，此图形中可组成三角形的图形分别是由一个小三角形、四个小三角形、九个小三角形组成，以最上面的小三角形开始按顺序分别数出这三类三角形的个数（注意重复计算）其中由一个小三角形组成的有12个，由四个小三角形组成的有6个，由九个小三角形组成的有2个，含有“”的三角形有3个，相减即可求出不含“”的三角形的个数。 【详解】依据分析，三角形总数由20个，其中含有“”的有3个。 不含“”的三角形： 20－3＝17（个） 84. 如图，用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方形钉阵。那么以其中3个钉子为顶点构成的三角形中，面积为1平方厘米的三角形有（ ）个。 【答案】32 【解析】 【分析】本题采用分类讨论法，分为两类，第一类统计1×2长方形内符合条件的直角三角形，第二类统计以点阵外围最大正方形对角线为最长边形成的斜三角形，将两类数量相加即可求出总数。 【详解】 将点阵顶点依次标上字母，第一行 A、B、C，第二行 D、E、F，第三行 G、H、I。 第一类：1×2 长方形内的三角形 以1×2的长方形ACDF为例： 固定底边 DF，分别以 A、B、C 为顶点，可组成三角形 ADF、BDF、CDF。 固定底边 AC，分别以 D、E、F 为顶点，可组成三角形 ACD、ACE、ACF。 每个1×2长方形中有6个面积为1平方厘米的三角形。 点阵中共有4个这样的1×2长方形。 4×6＝24（个） 第二类：以最大正方形对角线为最长边的斜三角形 点阵外围最大正方形对角线为AI和CG。 以对角线AI为最长边，可组成三角形 AIH、AIF、AIB、AID，共4个。 以对角线 CG 为最长边，同样可组成4个符合条件的三角形。 4×2＝8（个） 总数：24＋8＝32（个） 【点睛】本题运用分类计数思想，把符合条件的三角形分为两类计数再求和。 85. 下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘交点上，但不能在同一条棋盘线上，共有（ ）种不同的放法。 【答案】144 【解析】 【分析】棋盘是3×3的格子，交点数为（3＋1）×（3＋1）＝16（个）。先确定黑子的放法，再根据“不同行不同列”的条件，计算白子的可选位置数，最后用乘法原理计算总放法： 黑子任意放在一个交点上，白子不能和它同行、同列。去掉黑子所在的1行、1列，剩下4－1＝3（行）、4－1＝3（列），白子可选交点数：3×3＝9（个） 也可以先确定黑子的位置后，枚举白子的放法再相加，实际上是分类讨论问题。 【详解】根据分析，黑子有16种放法，每种放法对应白子9种放法： 16×9＝144（种） 86. 地图上有A，B，C，D，E五个国家，有五种不同的颜色去染色，要求相邻国家染不同的颜色，则共有（ ）种不同的染色方法。 【答案】420 【解析】 【分析】环形染色问题的本质就是分步计数，按照先染中间、再染四周的顺序依次处理。先染中间的E，再染四周的A、B、C、D。环形排列，相邻不同色，且A、C不相邻，B、D不相邻。 中间的E有5种颜色可选，共5种方法。 染A：不能与E同色，有4种选择。 染B：不能与A、E同色，有3种选择。需要分类讨论的是A的对面C： 情况1：C与A同色（1种选择），此时D不能与C、E同色，有3种选择。 情况2：C与A不同色（2种选择），此时D不能与C、A、E同色，有2种选择。 环形染色总要考虑是否异色，分两类：如果同色，就只有1种方法，如果异色，就有2种方法。 【详解】4×3×（1×3＋2×2） ＝12×7 ＝84（种） 5×84＝420（种） 87. 用3，3，2，2，2，1，1可以组成（ ）个互不相同的七位数。 【答案】210 【解析】 【分析】把这7个数字全排列＝7×6×5×4×3×2×1＝5040，但是有重复数字组成的一些排列需要去掉， 重复计算的排列数：＝2×1×3×2×1×2×1＝24，5040÷24＝210（个）。 【详解】 ＝（7×6×5×4×3×2×1）÷（2×2×6） ＝5040÷24 ＝210（个） 88. 有三张卡片，分别写着数字2，3，4，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，其中的质数共（ ）个。 【答案】4 【解析】 【分析】三张写着2，3，4的卡片从中抽一张能得到3个不同的一位数，分别是2，3，4，其中有质数2和3共2个； 从中抽两张有三种情况：（2，3）；（2，4）（3，4）每种情况对应两个不同的两位数，一共有6个不同的两位数，分别是23、32、24、42、34、43其中质数有23和43共两个； 抽三张排序一共有3×2×1＝6（种），得到六个不同的三位数，每个三位数的数字和是2＋3＋4＝9，则每个三位数都是9的倍数，都不是质数，则质数一共有4个。 【详解】一位数的质数：2、3；两位数的质数：23、43；抽出三个数字的和为9，组成的三位数都是9的倍数，不存在质数。 2＋2＝4（个） 89. 在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，且四个数位上的数字各不相同的四位数有（ ）个。 【答案】840 【解析】 【分析】因为千位数字与十位数字之差（大减小）为2，可以分情况讨论千位和十位数字的组合。 情况一：千位比十位大2。 当千位是2时，十位只能是0，此时百位不能是2和0，有8种选择。个位不能与千位、十位、百位相同，有7种选择； 当千位是3时，十位是1，同样百位有8种选择，个位有7种选择； 以此类推，千位可以是2到9，共8种情况。 情况二：十位比千位大2。 当千位是1时，十位是3，百位有8种选择，个位有7种选择； 当千位是2时，十位是4，同样百位有8种选择，个位有7种选择； 以此类推，千位可以是1到7，共7种情况。 最后把两种情况的个数相加，就能得到满足条件的四位数的总数。 【详解】1.千位比十位大2的情况： 千位是2，十位是0： 百位的选法：因为不能选2和0，所以有8种选法； 个位的选法：不能与千位、十位、百位相同，所以有7种选法； 这种情况下的四位数个数为：8×7＝56（个）。 依此类推，千位从2到9，共8种千位与十位的组合，每种组合对应的四位数个数都是56个。 所以千位比十位大2的四位数总共有：56×8＝448（个）。 2.十位比千位大2的情况： 千位是1，十位是3： 百位有8种选法，个位有7种选法； 这种情况下的四位数个数为：8×7＝56（个）。 依此类推，千位从1到7，共7种千位与十位的组合，每种组合对应的四位数个数都是56个。 所以十位比千位大2的四位数总共有：56×7＝392（个）。 满足条件的四位数总数：448＋392＝840（个）。 90. 六位数的各位数字之和为48，这样的六位数一共有（ ）个。 【答案】462 【解析】 【分析】六位数中，最大的是999999，它的各位数字之和是54，与48相差6，可以将题目转化成从999999的任意数位中取出若干个总和为6的数。并进一步将其理解为将6个一模一样的小球，放进6个盒子里，盒子可以空着，一共有多少种放法？ 本题可以用隔板法进行计算，6个数位需要5个隔板，6个数加5个隔板共需要11个位置，从11个位置里，随便选5个位置放隔板，所有放法的数量就是六位数的数量。 【详解】6个数位中间有5个空，一共6＋5＝11（个）位置，从这些位置中挑出5个位置放隔板，初步的放法数量为：11×10×9×8×7＝55440（种），因为隔板都相同，每种放法重复的次数为5×4×3×2×1＝120（种），互不重复的放法有55440÷120＝462（种）。 所以这样的六位数一共有462个。 91. 整数n满足它的三倍与它的三分之一都是四位整数，这样的n共有（ ）个。 【答案】112 【解析】 【分析】最大的四位整数是9999，最小的四位整数是1000，如果整数n满足它的三倍与它的三分之一都是四位整数，则1000≤3n≤9999，1000≤≤9999，分别解不等式可得：≤n≤3333；3000≤n≤29997，综合可得：3000≤n≤3333，如果这个数的三分之一都是四位整数，则这个数是3的倍数，n是3000到3333这334个数中是3的倍数的数，这些数中每3个数有一个3的倍数，334÷3＝1111，余下的3333是3的倍数，一共有112个符合条件的数。 【详解】由题意可得不等式组： 解不等式组可得：3000≤n≤3333 根据n的三分之一都是四位整数，则n是从3000开始到3333中是3的倍数的数 334÷3＝1111，余下1个数是3333也是3的倍数，111＋1＝112（个） 92. 若有A、B、C、D、E、F、G七个人排队，要求A和B不相邻，且A和B都不能站在两端，C和D必须相邻，则有（ ）种排队方法。 【答案】288 【解析】 【分析】已知要求A和B不相邻，先把除了A、B之外的五个人排列，因为C和D必须相邻，把C、D当作一个整体，相当于把四个人全排列，有＝4×3×2×1＝24（种）排法，其中C和D位置可以交换，有24×2＝48（种）排法，且A和B都不能站在两端且不相邻，把A、B插入四人之间可符合条件，四人之间有3个间隔，任意找两个间隔站A和B，有＝3×2＝6（种）排法，根据乘法原理，一共有48×6＝288（种）排法。 【详解】 ＝4×3×2×1×2×1×3×2×1 ＝288（种） 93. 数列2，5，10，50，500，…的第16项末尾有（ ）个零。 【答案】377 【解析】 【分析】观察数列，从第三项起每一项为前两项的乘积。第4项50末尾有1个0，由第二项（末尾0个）和第三项（末尾1个）末尾的0合起来得到；第5项500末尾有2个0，由第三项（末尾1个）和第四项（末尾1个）末尾的0合起来得到；第6项末尾有3个0，由第四项（末尾1个）和第五项（末尾2个）末尾的0合起来得到；第7项末尾有5个0，由第五项（末尾2个）和第六项（末尾3个）末尾的0合起来得到；…… 由此可知，从第4项起，末尾零的个数遵循斐波那契数列规律，即后一项末尾零的个数为前两项末尾零的个数之和，据此解答。 【详解】依据分析，根据斐波那契数列规律依次推导后续末尾零的个数： 第8项：3＋5＝8 第9项：5＋8＝13 第10项：8＋13＝21 第11项：13＋21＝34 第12项：21＋34＝55 第13项：34＋55＝89 第14项：55＋89＝144 第15项：89＋144＝233 第16项：144＋233＝377 94. 有16张卡片，黑白各8张，分别写有数字1~8，把它们像扑克牌那样洗过之后，如图排成四行。排列规则如下：每行中从左到右按从小到大的顺序排列；黑白卡片上的数字相同时，黑卡片在左边。已知每行4张卡片上的4个数之和都相等，左下角的是2，右上角的是7，则图中由左上至右下对角线四张卡片上的数字依次是（ ）。 【答案】1、4、7、8 【解析】 【分析】根据“黑白各8张，分别写有数字1～8”则所有数字和是（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×2＝72； 再根据“已知每行4张卡片上的4个数字之和都相等”得到每行的四个数字和是72÷4＝18，已知卡片的排列规则：每行中从左到右按从小到大的顺序排列； 黑白卡片上的数字相同时，黑卡片在左边，观察图形可知，根据排列规则，最小的数字只能在第一列，最大的数字只能在第四列， 所以最小的黑色卡片是第一行第一张是数字1，最大的白色卡片是第三行第四张是数字8， 已知第一行的最后一个数字是7，则第一行中间两张卡片的数字和是18－7－1＝10＝4＋6＝5＋5，两张卡片可能是数字4和6或者是5和5； 黑色卡片的数字2可能在第三行第二张或者第四行第二张中，已知最后一行的第一个数字是2，相邻的黑色卡片数字大于2， 则第三行的第二张黑色卡片的数字为2，它左边第一张白色卡片为1，它右边的白色卡片为18－1－2－8＝7，第三行从左到右的数字分别为1、2、7、8； 则第四行的第二张黑色卡片为3，这一行中第三张卡片和第四张卡片的数字和是：18－2－3＝13＝5＋8； 则第四行从左到右的数字分别为：2、3、5、8；则第一行中间两张卡片的数字只能为4和6，第一行从左到右的数字分别为：1、4、6、7； 剩余按规则填入第二行即可，第二行从左到右的数字分别为：3、4、5、6。 【详解】根据分析可得如下图： 图中由左上至右下对角线四张卡片上的数字依次是：1、4、7、8 95. 4支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。比赛结束，4支队的得分恰好是4个连续自然数。第四名输给第（ ）名。 【答案】二 【解析】 【分析】4支足球队单循环赛，总共比6场，总积分最高18分，最低12分，可以先确定这4个连续自然数可能是多少，然后确定各自的胜负关系。 【详解】每场比赛如果分出胜负则对总得分贡献3分，平局则贡献2分。6场比赛，最多贡献18分，最少贡献15分。 四个连续自然数的和被4除余2，所以只可能是14或者18，如果是14，则为5，4，3，2，总共有两场分出胜负，四场平局，所以第三名只能是三场全平，剩下可知第一名胜第二名，第二名胜第四名，第一名和第四名打平。 如果是18，则为6，5，4，3，但是此时六场比赛全分，没有平局，5分和4分不可能产生，显然错误。 所以只能是第一种情况，第四名输给第二名。 【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理，当有多种情况时，需要进行分类讨论。 96. 10名选手参加象棋比赛，每两名选手间都要比赛一次。比赛结果表明：选手们所得分数各不相同，前两名选手都没输过，前两名的总分比第三名多20分，第四名得分与后四名所得总分相等。第五名的分数是（ ）分。（胜得2分，和得1分，输得0分） 【答案】11 【解析】 【分析】10人两两比赛，总场数、总分数先算出来：10人每两人赛一场，总场数45场，每场产生2分，总分90分，再结合前两名都没输过，分数不同，确定前两名最高可能分数； 利用前两名总分比第三名多20分，求出第三名分数；第四名分数等于后四名总分，整体拆分求出第五名分数。 【详解】总分数：45×2＝90（分），前两名都没输过，互相只能平局，分数各不相同。第一名最高：不败最多9场，8胜1平得17分，第二名：7胜2平得16分，前两名总分：17＋16＝33（分）；第三名33－20＝13（分）。 设第四名a分，第五名b分，第六名c分，后四名总分也是a分，可列式为： 33＋13＋a＋b＋c＋a＝90，即2a＋b＋c＝44，且13＞a＞b＞c＞0，讨论a、b、c的取值： 由a＞b＞c，得b＋c＜2a。 2a＋b＋c＝44，所以2a＋（b＋c）＝44＜2a＋2a＝4a，解得a＞11。 又a＜13，a为整数，所以a＝12。 代入2a＋b＋c＝44，解得b＋c＝20 两个小于12的正整数之和为20，且b＞c。 可能的解有：b＝11，c＝9（满足） b＝10，c＝10（b＞c，舍去）。 b≤10时，c≥10，与b＞c矛盾。 所以就只有唯一解：a＝12，b＝11，c＝9。 因为后四名总分12分，且所得分数各不相同，所以后面四名的个人分数不会超过9分。 此时对应第五名11分。 97. 编号1到100的100盏灯，亮着排成一排，先对编号是3的倍数的灯拉一次开关，再对编号是5的倍数的灯拉一次开关，这时亮着的灯还有（ ）盏。 【答案】59 【解析】 【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了0次或者拉2次的灯最后还是亮的，先分别求出3的倍数的个数，5的倍数的个数，以及3和5的公倍数的个数，然后求出没有拉过的灯的个数，加上拉了两次的灯的数量，得到最终亮着的个数。 【详解】3的倍数的个数：100÷3＝33（个）……1 5的倍数的个数：100÷5＝20（个） 3和5的最小公倍数：3×5＝15 3和5公倍数的个数：100÷15＝6（个）……10 拉两次开关的灯有6盏，这些灯最后变为亮的状态。 只拉3的倍数的开关有：33－6＝27（盏） 只拉5的倍数的开关有：20－6＝14（盏） 只拉一次开关的灯共有：27＋14＝41（盏） 没拉开关的灯有： 100－（33＋20－6） ＝100－47 ＝53（盏） 拉两次（恢复亮）的灯：6（盏） 最后亮着的灯一共为：53＋6＝59（盏） 98. 某小组12个同学中有5个人会打乒乓球，3人既会打乒乓球又会下象棋，4人既不会打乓球又不会下象棋，则会下象棋的有（ ）人。 【答案】6 【解析】 【分析】利用“总人数-两种都不会的人数”算出“至少会一种的人数”，再根据容斥原理得，“至少会一种的人数＝会打乒乓球的人数＋会下象棋的人数−两种都会的人数”，求出会下象棋的人数。 【详解】至少会一种的人数（人）； 只会打乒乓球的人数（人）； 会下象棋的人数（人）。 99. 小明把编号分别为1~6的六个小球放入盒子里，则他从中随意的取出两个小球，这两个小球的编号之差恰好为1的可能性是（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】先确定随意取出两个小球共有几种可能，再找出两个小球编号之差恰好为1的情况有几种，最后算出可能性为多少。 【详解】随意取出两个小球共5×6＝30（种）可能 编号差为1的情况有（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4）， （4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5）十种 所以可能性为10÷30＝ 100. 用红、白、黑三种颜色给3×n的网格图中的每一个小方格随意染一种颜色，当n最小取（ ）时，才能保证至少有两列染色方式完全一样。（横排称为行，竖排称为列）。 【答案】28 【解析】 【分析】每一列是一个3格的竖排，用红、白、黑三种颜色给每一格染色，需要先算每列有多少种不同的染色方式（这是“抽屉”的数量）。 然后根据抽屉原理：要保证至少有一个抽屉里有2个物品，物品数至少是抽屉数＋1”，就能算出最小的n。 【详解】每列的染色方式数：每列有3个小方格，每个方格有3种颜色可选。根据乘法原理，每列的染色方式数为：3×3×3＝27种。 用抽屉原理求最小n：要保证至少有两列染色方式相同，列数至少是“抽屉数＋1”。因此，n的最小值为：27＋1＝28。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $