2025-2026学年人教版数学八年级下册综合自测题（1）

**基本信息** 八年级数学下学期综合自测题，涵盖几何、代数、统计模块，解答题设计梯度分明，如动态几何探究（第25题）与统计分析（第18题）结合，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理、函数变量、箱线图分析|第4题结合女排比赛数据，考查统计推断| |填空题|6/18|函数自变量范围、等腰直角三角形坐标|第16题通过规律探究，培养空间观念| |解答题|9/72|动态几何、成本利润、数据处理|第25题正方形动点问题，融合几何直观与推理能力；第18题统计应用，发展数据意识|

八年级数学下学期 综合自测题（1） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（       ） A.2，3，4 B.3，4，6 C.2，3， D.4，5，7 【答案】 C 【解析】 根据勾股定理的逆定理求解. 【解答】 解：A选项， 不能构成直角三角形，不符合题意； B选项， 不能构成直角三角形，不符合题意； C选项， 能构成直角三角形，符合题意； D选项， 不能构成直角三角形，不符合题意. 故选：C.  2.下列各式计算正确的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据二次根式加减乘除的计算规则逐一判断选项即可． 【解答】 解：A. 不是同类二次根式，不能求和运算，该选项错误； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项正确． 故选：D.  3.对于圆的周长公式，下列说法正确的是（ ） A.C，是变量，2是常量 B.r是变量，C是常量 C.C是变量，r是常量 D.C，r是变量，是常量 【答案】 D 【解析】 常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量. 【解答】 解：圆的周长公式表明圆的周长与半径成正比，比值为 是个常数，变量为周长C和半径r． 故选：D.  4.如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的有（        ） ①A队拦网高度下四分位数比B队拦网高度上四分位数大 ②A队拦网高度中位数比B队拦网高度中位数大 ③B队拦网高度中至少有小于A队拦网高度的最小值 ④A队拦网高度平均数比B队拦网高度平均数小 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 B 【解析】 本题考查其他统计图的分析，四分位数、结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答. 【解答】 解：①A队下四分位数=A队箱子下边的高度，B队上四分位数=B队箱子上边的高度，从图中可见：A队下四分位数＜B队上四分位数，错误； ②中位数=箱子中间线的高度，从图中可见A队中位数＞B队中位数，正确； ③图中可知，B队拦网高度中至少有25%的高度是小于A队拦网高度的最小值，正确； ④箱线图只展示中位数、四分位数、最值，无法直接判断平均数，仅从图中无法确定A队平均数一定比B队小，错误. ∴ 正确的有②和③即2个. 故选：B.  5.如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（     ） A. B.1 C. D.2 【答案】 A 【解析】 本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质．用勾股定理可算出AB，然后根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”可得DE∥AB，DE=AB，易证得BD=DF，然后计算EF即可． 【解答】 解：∵ AC=5，BC=12，∠C=90°， ∴ AB==13， ∵ D，E分别为BC，AC的中点， ∴ DE是ΔABC的中位线， ∴ DE∥AB，DE=AB=， ∴ ∠ABF=∠BFD， ∵ BF平分∠ABC， ∴ ∠DBF=∠ABF， ∴ ∠FBD=∠BFD， ∴ BD=DF=BC=6， ∴ EF=DE-DF=， 故选：A. 6.如图，直线与直线交于点 ，若，则（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 先求解两直线的交点坐标，再结合图象解答即可. 【解答】 解：联立 , 解得： ， ， 由图象可得： 时， ． 故选：B.  7.如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（        ） A.0 B. C.1 D. 【答案】 C 【解析】 先估算的取值范围，再分别求出和的小数部分和，最后计算的值即可. 【解答】 解：, , , 的整数部分为8，小数部分为, , 的整数部分为3，小数部分, . 故选：C. 8.如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（       ）     A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】 B 【解析】 延长AD，FE，相交于点G，根据平行四边形的性质可得 DG CF，AD=BC，通过证明 (AAS)得出CF=DG=2，EG=EF，进而得出AG=AF，即可求解. 【解答】 解：延长AD，FE，相交于点G， 四边形ABCD为平行四边形， ，则DG CF，AD=BC， ∠G=∠EFC, ∠GDE=∠C, ∵E是CD边的中点， ∴EG=EF, △EDG △ECF $中， (AAS), ，EG=EF， 平分∠DAF, ∴AG=AF, ∵ AD=BC=BF+CF=8, ∴AF=AG=AD+DG=10, 故选：B. 9.如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（       ） A. B. C. D.， 【答案】 B 【解析】 由直线分别与轴、轴交于点、点，即可求得点与的坐标，又由，即可求得点的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式，然后由直线与相交于点，可得方程组：，解此方程即可求得答案． 【解答】 解：直线分别与轴、轴交于点、点， 令，则；令，则， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， ， 点的坐标为， 点在直线上， ， 直线的解析式为：， 直线与相交于点， 联立可得：， 解得， 即的坐标是． 故选：．  10.如图，P为边长为10的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F，连接EF，AP．给出以下4个结论：①AP＝EF； ②S△ABP＝S四边形BPFE；③AP＋EF的最小值是5：④若∠BAP＝60°时，则EF的长度为10﹣10，其中正确的个数是（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 连接PC，根据正方形的性质，易证 （SAS），得AP=PC，再证明四边形PECF是矩形，可得PC=EF，即可判断 ①选项；根据全等三角形的性质以及矩形的性质即可判断 ②选项；根据垂线段最短，可求出AP的最小值，再根据AP=EF，即可判断 ③选项；作PH AB于点H，设AH=x，根据含 角的直角三角形的性质，可得AP，PH，再证明 是等腰直角三角形，可得BH，再根据AB=10列方程，求出x，进一步即可求出AP和EF的值. 【解答】 解：连接PC，如图所示： ABCD AB=CB， 在正方形ABCD中，AB=CB， =45， 又 （SAS） ，且 四边形PECF为矩形， 故 ①选项符合题意； （SAS） 的面积 的面积， 在矩形PECF中， 的面积 的面积， 四边形BPFE， 故 ②选项符合题意； 正方形ABCD的边长为10， 根据勾股定理，得 四边形PECF为矩形， 当A、P、C共线时，AP+PC的值最小，最小值为 的最小值为 故 ③选项不符合题意； 过点P作PH AB于点H， 则 设AH=x，则AP=2x， 根据勾股定理，得 解得 故 ④选项符合题意， 综上，正确的有 故选：C. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.函数y=中自变量x的取值范围是____x≤3且x≠2____ 【答案】 x≤3且x≠2 【解析】 由函数表达式中： 有意义可得函数自变量的取值范围. 【解答】 解：由 有意义， 所以： 所以：x≤3且x≠2. 故答案为：x≤3且x≠2. 12.如图， 中，， 为的中点，以为边作正方形．若的长为2，则的长为________． 【答案】 【解析】 由正方形的性质和勾股定理可求出CD的长，由直角三角形的性质可得AB=2CD，据此求解即可. 【解答】 解： 四边形CDEF是正方形， ，D为AB的中点， . 故答案为：. 13.如图是甲、乙两名同学次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差____________． 【答案】 【解析】 本题主要考查方差，根据方差计算公式分别求出甲、乙两入射击成绩的方差，再进行比较即可． 【解答】 解：甲的射击成绩的平均数为（环） ； 乙的射击成绩的平均数为（环） ； ， ， 故答案为： 14.对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 本题主要考查二次根式的混合运算，利用新定义得到 , , 然后利用乘法公式展开后合并即可. 【解答】解：, , , , 故答案为：. 15.如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，若，则的长度为________． 【答案】 【解析】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，连接 CH并延长交 AD于P，连接 PE，根据矩形的性质得到 AD BC，根据全等三角形的性质得到 PD = CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论. 【解答】 解：如图，连接CH并延长交AD于P，连接PE， 四边形ABCD是矩形， ∵E,F分别是边AB,BC的中点，AB=4,BC=6, ∴AE= AB= ×4=2,CF= BC= ×6=3, ∵ AD//BC, ∴∠DPH=∠FCH, 在 与 中 (AAS) 点G是EC的中点， 故答案为： 16.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键. 【解答】 解：是等腰直角三角形，且， ， 点的纵坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， 点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， 直线的解析式为， 点在直线上， 点的横坐标为， 点的坐标是， 点的坐标是， 故答案为：． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算 （1） （2） 【答案】 【解析】 （1）先分别进行二次根式的化简和二次根式的乘除法运算，最后进行二次根式减法运算； （2）先分别进行二次根式的乘法、二次根式的化简和绝对值化简，最后进行二次根式的加减运算. 【解答】 （1）解：原式 ; （2）解：原式 18.（5分）为引导学生规范使用 学习工具，某学校信息中心随机抽取40名八年级学生作为样本，统计每人使用 学习某知识的使用时长及成果得分，下面是样本的部分信息： a．使用时长的频数分布直方图，样本使用时长（分钟）分为5组（、、、、） b．使用时长的数据是：30、30、31、31、31、32、32、32、33、33、34、34 c．使用时长不低于35分钟的学生成果得分频数表： 成果得分 10 9 8 7 4 频数 3 5 3 3 2 结合以上信息作答： (1)样本中使用时长的中位数是____32.5________； (2)样本中使用时长不低于35分钟的学生成果得分的众数是___9_________，平均数是_____8_______； (3)八年级共有800名学生，用样本估计八年级使用时长不低于35分钟的学生约为_____320_______人； (4)为推广学习经验，现已确定3名宣讲员，，，要再从学生， ，中选1名宣讲员， 成果得分 10 9 7 10 8 7 则要使4名宣讲员成果得分的离差平方和最小，应选择学生_____E_______． 【答案】 32.5 9；8 320 E 【解析】 （1） 利用中位数确定方法可求； （2） 由表中观察可得； （3） 利用样本估计总体； （4） 选择离差和最小的。 【解答】 （1） 中位数= （2） 众数为9； 平均数 （3） 样本中该部分比例为： 800×0.4=320. （4）选D：平均数=9，离差平方和 选E：平均数=8.5，离差平方和 →最小 选F：平均数=8.25，离差平方 和=6.75 ∴应选择学生E。 19.(6分) 如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】 1.6m 是直角三角形. 【解析】 （1）对Rt 和Rt 运用勾股定理求解即可； （2）证明 三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形. 【解答】 （1）解：， ， 在Rt 中，，， 在Rt 中，，， 的长为1.6m； （2）为直角三角形，理由如下： 由 (1) 知，， ， ，， ，， ， ， 是直角三角形. 20.(7分) 甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． （1）从城到城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ （2）哪辆车先出发？哪辆车先到城？ （3）甲、乙两车的平均速度分别为多少？ （4）你还能从图中得到哪些信息？ 【答案】 甲、乙两车都行驶了300km 甲车先出发，乙车先到达B城 甲、乙两车于7:30相遇 【解析】 （1）由图像直接得出两车行驶路程均为300km； （2）对比出发、到达时刻，得出甲车先出发、乙车先到达； （3）算出两车行驶时间，用路程-时间求出各自平均速度； （4）对比到达时间差，找到两车路程相等的时刻. 【解答】 （1）解：由图像可知，城到城全程为300km，甲乙两车均从城到城， 甲、乙两车各行驶了300千米； （2）解：由横坐标时刻可得：甲车5:00出发，乙车6:00出发；甲车10:00到达城，乙车9:00到达城， 甲车先出发，乙车先到达城； （3）解：平均速度： 甲的总行驶时间：小时， 平均速度： 乙的总行驶时间：小时， 平均速度： 即甲的平均速度为60km/h，乙的平均速度为100km/h； （4）解：乙车比甲车早1小时到达城； 7:30时乙车追上甲车（两车行驶路程相等）.  21.(8分) 某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本元． （1）求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种樱花售价为元，1株乙种樱花售价为元．该花农决定在成本不超过元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于元，花农有哪几种具体的培育方案？ （3）求出选何种方案成本最少？ 【答案】 甲种樱花每株成本为100元，乙种樱花每株成本为700元. 培育甲种樱花8株，则培育乙种樱花34株；培育甲种樱花9株，则培育乙种樱花37株；培育甲种樱花10株，则培育乙种樱花40株. 培育甲种樱花8株，培育乙种樱花34株，可使成本最少. 【解析】 （1）根据题意建立相应的二元一次方程组即可求解; （2）根据题意建立相应的不等式组即可求解; （3）建立成本与培育甲种樱花株数的关系即可求解. 【解答】 （1）解：设甲、乙两种樱花每株成本分别为x,y元 则: 解得: 故甲种樱花每株成本为100元，乙种樱花每株成本为700元. （2）解：设培育甲种樱花m株，则培育乙种樱花(3m+10)株 则: 解得： 培育方案为: ①培育甲种樱花8株，则培育乙种樱花株; ②培育甲种樱花9株，则培育乙种樱花株; ③培育甲种樱花10株，则培育乙种樱花株; （3）解：在 (2) 的前提下，设成本为z 则 因为，故z随着m的增大而增大 m为整数， 则当m=8时， 故培育甲种樱花8株，培育乙种樱花34株，可使成本最少. 22.(8分) 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）现给出条件：①；②；③，只能从其中选择一个条件，能证明四边形为平行四边形，你选择的条件序号是___③___．（直接写序号，不需要说明理由） 【答案】 见解析 ③ 【解析】 （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据两组对边相互平行的四边形是平行四边形，即可求解. 【解答】 （1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 即， 在与中， （SAS）； （2）解：添加， 四边形是平行四边形， ，即， 由一组对边平行，另一组对边相等，则四边形不一定是平行四边形； 添加， 不能得到，则四边形不一定是平行四边形； 添加， 四边形是平行四边形， ，即， ， ， ， ， 四边形是平行四边形. 故答案为：③. 23.(10分) 在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： （1）        ； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】 13 6 【解析】 （1）根据分母有理化的方法求解即可; （2）可证明 (n为正整数)，据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案; （3）分母有理化得到 ，则可证明 ，把所求式子变形为 ，进一步可变形为 ，据此可得答案. 【解答】 （1）解： ; （2）设 为正整数， 则 , ; （3）解： , , , , , . 24.(10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为__(0,6)____； （2）P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； （3）点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 【答案】 B(0,6) (-2,-2) （2，0）或（18，0） 【解析】 （1）根据一次函数图象的性质和坐标轴点坐标的特征求解即可； （2）先求出直线BC的解析式为 ，再根据三角形面积列方程即求解； （3）分两种情况． ① Q在点A左侧，根据 ，构造等腰直角 三角形得 ，从而可 ，再根据直线与x轴交点坐标即可； ② Q在点A右侧，构造与情况 ① 中直线BG关于AB的对称直线可求解. 【解答】 【1】解：直线 与x轴交点：当 ，得 ，故 ， 当 时，得 ，故 （2）解： ，且 , ，故 , 设直线BC的解析式为： , ，解得 , 直线BC的解析式为 , 设 , , , 在线段BC上， ，解得： 故点P坐标为（-2，-2） (3) 解：如图，作Rt ，使CH=OB=6， ，HG=CO=3，则 ，连接BG交x轴于点 BC=CG, 又 由作图可知：点G坐标为（3，3） 过B(0,-6)、G(3,3)的直线解析式为 y=3x-6， 直线BG与x轴点坐标为(2,0)，即： 坐标为(2,0) 在平面坐标系中取点M(6,-4) 又 过点过B(0,-6)、M(6,-4)的直线解析式为 直线BM与x轴交点坐标为(18,0)，即： 坐标为(18,0), 综上所述：Q点坐标为(2,0)或(18,0). 25.(12分) 【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 【答案】 见解析 PB=PQ，证明见解析 【解析】 （1）过P作PF BC，PE CD，先证明四边形PECF为正方形，再证明Rt Rt ，即可得到结论； （2）过P作PE BC，PF CD，先证明四边形PECF为正方形，再证明Rt Rt ，从而可得结论. （3）连接OB，根据正方形的性质，对角线垂直和同角的余角相等，证明 ，即可得解. 【解答】 （1）证明：过P作 ，如图所示： 图1 ，C为正方形对角线AC上的点， ，C为正方形对角线AC上的点， 平分 四边形PECF为正方形， 在 和 中， （2）解： ，理由如下， 过作PE 图2 ，C为正方形对角线AC上的点， 平分 四边形PECF为正方形， （3）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．理由如 (3) 解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化．理由如下：如图，连接OB. 四边形ABCD是边长为2的正方形， 点O是AC的中点， 由（1）得： 是等腰直角三角形， 即PF的长不发生变化，为 四边形ABCD是边长为2的正方形 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期 综合自测题（1） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（       ） A.2，3，4 B.3，4，6 C.2，3， D.4，5，7 2.下列各式计算正确的是（        ） A. B. C. D. 3.对于圆的周长公式，下列说法正确的是（ ） A.C，是变量，2是常量 B.r是变量，C是常量 C.C是变量，r是常量 D.C，r是变量，是常量 4.如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的有（        ） ①A队拦网高度下四分位数比B队拦网高度上四分位数大 ②A队拦网高度中位数比B队拦网高度中位数大 ③B队拦网高度中至少有小于A队拦网高度的最小值 ④A队拦网高度平均数比B队拦网高度平均数小 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（     ） A. B.1 C. D.2 6.如图，直线与直线交于点 ，若，则（        ） A. B. C. D. 7.如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（        ） A.0 B. C.1 D. 8.如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（       ）     A.8 B.10 C.12 D.14 9.如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（       ） A. B. C. D.， 10.如图，P为边长为10的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F，连接EF，AP．给出以下4个结论：①AP＝EF； ②S△ABP＝S四边形BPFE；③AP＋EF的最小值是5：④若∠BAP＝60°时，则EF的长度为10﹣10，其中正确的个数是（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.函数y=中自变量x的取值范围是________ 12.如图， 中，， 为的中点，以为边作正方形．若的长为2，则的长为______． 13.如图是甲、乙两名同学次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差__________． 14.对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为________． 15.如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，若，则的长度为_______． 16.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_______． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算 （1） （2） 18.（5分）为引导学生规范使用 学习工具，某学校信息中心随机抽取40名八年级学生作为样本，统计每人使用 学习某知识的使用时长及成果得分，下面是样本的部分信息： a．使用时长的频数分布直方图，样本使用时长（分钟）分为5组（、、、、） b．使用时长的数据是：30、30、31、31、31、32、32、32、33、33、34、34 c．使用时长不低于35分钟的学生成果得分频数表： 成果得分 10 9 8 7 4 频数 3 5 3 3 2 结合以上信息作答： (1)样本中使用时长的中位数是____________； (2)样本中使用时长不低于35分钟的学生成果得分的众数是____________，平均数是____________； (3)八年级共有800名学生，用样本估计八年级使用时长不低于35分钟的学生约为____________人； (4)为推广学习经验，现已确定3名宣讲员，，，要再从学生， ，中选1名宣讲员， 成果得分 10 9 7 10 8 7 则要使4名宣讲员成果得分的离差平方和最小，应选择学生____________． 19.(6分) 如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 20.(7分) 甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． （1）从城到城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ （2）哪辆车先出发？哪辆车先到城？ （3）甲、乙两车的平均速度分别为多少？ （4）你还能从图中得到哪些信息？ 21.(8分) 某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本元． （1）求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种樱花售价为元，1株乙种樱花售价为元．该花农决定在成本不超过元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于元，花农有哪几种具体的培育方案？ （3）求出选何种方案成本最少？ 22.(8分) 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）现给出条件：①；②；③，只能从其中选择一个条件，能证明四边形为平行四边形，你选择的条件序号是_____．（直接写序号，不需要说明理由） 23.(10分) 在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： （1）        ； （2）化简：； （3）若，求的值． 24.(10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． （1）点A的坐标为_____，点B的坐标为______； （2）P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； （3）点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 25.(12分) 【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期 综合自测题（1） 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题3分 ，共计30分 ）   1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（       ） A.2，3，4 B.3，4，6 C.2，3， D.4，5，7 2.下列各式计算正确的是（        ） A. B. C. D. 3.对于圆的周长公式，下列说法正确的是（ ） A.C，是变量，2是常量 B.r是变量，C是常量 C.C是变量，r是常量 D.C，r是变量，是常量 4.如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的有（        ） ①A队拦网高度下四分位数比B队拦网高度上四分位数大 ②A队拦网高度中位数比B队拦网高度中位数大 ③B队拦网高度中至少有小于A队拦网高度的最小值 ④A队拦网高度平均数比B队拦网高度平均数小 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（     ） A. B.1 C. D.2 6.如图，直线与直线交于点 ，若，则（        ） A. B. C. D. 7.如果 的小数部分分别为a，b，那么的值为（        ） A.0 B. C.1 D. 8.如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（       ）     A.8 B.10 C.12 D.14 9.如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（       ） A. B. C. D.， 10.如图，P为边长为10的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F，连接EF，AP．给出以下4个结论：①AP＝EF； ②S△ABP＝S四边形BPFE；③AP＋EF的最小值是5：④若∠BAP＝60°时，则EF的长度为10﹣10，其中正确的个数是（       ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题 ，每题3分 ，共计18分 ）   11.函数y=中自变量x的取值范围是________ 12.如图， 中，， 为的中点，以为边作正方形．若的长为2，则的长为______． 13.如图是甲、乙两名同学次射击成绩的折线统计图，甲、乙两入射击成绩的方差__________． 14.对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为________． 15.如图，在矩形中，点E，F分别时边的中点，连接，点G，H分别时的中点，这接，若，则的长度为_______． 16.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是_______． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 计算 （1） （2） 18.（5分）为引导学生规范使用 学习工具，某学校信息中心随机抽取40名八年级学生作为样本，统计每人使用 学习某知识的使用时长及成果得分，下面是样本的部分信息： a．使用时长的频数分布直方图，样本使用时长（分钟）分为5组（、、、、） b．使用时长的数据是：30、30、31、31、31、32、32、32、33、33、34、34 c．使用时长不低于35分钟的学生成果得分频数表： 成果得分 10 9 8 7 4 频数 3 5 3 3 2 结合以上信息作答： (1)样本中使用时长的中位数是____________； (2)样本中使用时长不低于35分钟的学生成果得分的众数是____________，平均数是____________； (3)八年级共有800名学生，用样本估计八年级使用时长不低于35分钟的学生约为____________人； (4)为推广学习经验，现已确定3名宣讲员，，，要再从学生， ，中选1名宣讲员， 成果得分 10 9 7 10 8 7 则要使4名宣讲员成果得分的离差平方和最小，应选择学生____________． 19.(6分) 如图，在三角形支架中， （1）求的长； （2）判断支架外框的形状，并说明理由． 20.(7分) 甲、乙两辆汽车从城出发前往城．在整个行程中，两车离开城行驶的路程与时刻的对应关系如图所示． （1）从城到城，甲、乙两车各行驶了多少千米？ （2）哪辆车先出发？哪辆车先到城？ （3）甲、乙两车的平均速度分别为多少？ （4）你还能从图中得到哪些信息？ 21.(8分) 某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本元． （1）求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1株甲种樱花售价为元，1株乙种樱花售价为元．该花农决定在成本不超过元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于元，花农有哪几种具体的培育方案？ （3）求出选何种方案成本最少？ 22.(8分) 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）现给出条件：①；②；③，只能从其中选择一个条件，能证明四边形为平行四边形，你选择的条件序号是_____．（直接写序号，不需要说明理由） 23.(10分) 在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： （1）        ； （2）化简：； （3）若，求的值． 24.(10分) 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． （1）点A的坐标为_____，点B的坐标为______； （2）P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； （3）点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 25.(12分) 【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． （1）如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 （2）【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． （3）【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $八年级数学下学期 综合自测题（1) 考试总分：120分考试时间：120分钟 卷I(选择题) 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 题号 1 2 3 4 6 > 8 9 10 答案 C D D B A B C B B C 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分) 13且2：12292,1813-386,1亚1a12-1,2 三、解答题（本题共计9小题，共计72分） 6分》)解：原武-号×26号×32÷22×写×396 =V6-42÷4V3 =6-6 3 =26: 3 (2)解：原式=y6-3-26-3-/6) =-3-6-3+V6 =-6 18.(5分) (1)中位数32+3-=32.5： 2 (2)众数为9： 平均数x=10X3+9×5+8X3+7×3+4×2=8 16 (3)样本中该部分比例为： 16=0.4 40 800×0.4-=320. (4)选D:平均数=9，离差平方和 选E:平均数=8.5，离差平方和 →最小 选F:平均数=8.25，离差平方 和=6.75 ∴应选择学生E。 19.(6分)(1)解：.AD⊥BC, .∴.∠ADC=∠ADB=90 在Rt△ADC中，AC=1.5m,DC=0.9m, ∴.AD=AC2-CD2=1.52-0.92=1.2ml 在Rt△ADB中，AB=2m,AD=1.2m, .BD=AB2-AD2=V22-1.2=1.6m BD的长为1.6m: (2)△ABC为直角三角形，理由如下： 由(1)知，BD=1.6m, .BC=BD+DC=1.6+0.9=2.5m' .'AB=2m’AC=1.5m' .AB2+AC2=2+1.52=6.25BC2=2.52=6.25 ∴.AB2+AC2=BC2 ∴.∠BAC=90 △ABC是直角三角形 20.(7分)(1)解：由图像可知，A城到B城全程为300km,甲乙两车均从A城到B城， :.甲、乙两车各行驶了300千米： (2)解：由横坐标时刻可得：甲车5：00出发，乙车6：00出发；甲车10：00到达B城，乙车9：00到达B 城， ·甲车先出发，乙车先到达B城： (3)解：平均速度=总路程÷总行驶时间： 甲的总行驶时间：10：00-5：00=5小时， 平均速度：300÷5=60km/h 心 乙的总行驶时间：9：00-6：00=3小时， 平均速度：300÷3=100km/h 即甲的平均速度为60km/h,乙的平均速度为100km/h: (4)解：乙车比甲车早1小时到达B城； 7:30时乙车追上甲车（两车行驶路程相等）. 21.(8分)(1)解：设甲、乙两种樱花每株成本分别为x,y元 3x+2y=1700 则： x+2y=1500 解得： x=100 y=700 故甲种樱花每株成本为100元，乙种樱花每株成本为700元. (2)解：设培育甲种樱花m株，则培育乙种樱花(3m+10)株 则 100m+7003m+10≤29000 160-100m+840-7003m+10≥5000 解得：7.5≤m≤10 培育方案为： ①培育甲种樱花8株，则培育乙种樱花3×8+10=34株： ②培育甲种樱花9株，则培育乙种樱花3×9+10=37株： ③培育甲种樱花10株，则培育乙种樱花3×10+10=40株； (3)解：在(2)的前提下，设成本为z 则z=100m+7003m+10=2200m+70007.5≤m≤10 因为2200>0，故z随着m的增大而增大 m为整数， 则当m=8时，Zmin=2200×8+7000=24600 故培育甲种樱花8株，培育乙种樱花34株，可使成本最少 22.(8分)(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB=CD'AD=BC'∠B=∠D 4 .∵AF=CE' AD-AF=BC-CE即DF=BE 在△ABE与△CDF中， AB=CD ∠B=∠D BE=DF .AABE ACDF (SAS) (2)解：添加①AB=EF, .四边形ABCD是平行四边形， .AD)BC·即AF/BE 由一组对边平行，另一组对边相等，则四边形不一定是平行四边形： 添加②DF=BE, 不能得到AF=BE,则四边形不一定是平行四边形： 添加③∠BAD=∠BEF, ·四边形ABCD是平行四边形， ADI)BC即AFI/BE ∴.∠BAD+∠B=180°' .'∠BAD=∠BEF' .∴.∠BEF+∠B=180° .∴.AB)EF' :四边形ABEF是平行四边形， 故答案为：③. 23.(10分)(1)解： V3+V2 V3-V2 3+V23-V2 =3-2 3-2 =V3-2 (2)设n为正整数， 1 则n+1+n Wn+i-Vn (Vn+1+nn+1-Vn =n+1-n n+1-n =Vn+1-Vn 1 1 1 1 2+1+3+92+4+95+…+196+9195 =2-1+3-2+4-V3+.+196-/195 =2-1+9V3-V2+V4-93+…+196-V195 =/196-1 =14-1 6 =13 1 (3)解：a=10-3 9/10+3 =10-310+3 =10+3 10-9 =10+3 .∴.a-3=V10 ∴.a-32=/102 .∴.a2-6a+9=10 .a2-6a=1' .a4-6a3-6a+5 =a2a2-6a-6a+5 =a2-6a+5 =1+5 =6 24.(10分)解：直线y=x-6与x轴交点：当y=x-6=0,得x=6,故A6,0, 当x=0时，得y=-6,故B0,-6 (2)解：.OA=20C,且OA=6, 0C=3,故C1-3,0: 设直线BC的解析式为：y=kx-6, .-3k-6=0,解得k=-2 直线BC的解析式为y=-2x-6, 设Px,-2x-6, A6,0,C-3,0 .AC=9 =1×9×6=27,SABc=3SACP :SAABC=2 .SAACP=9 Sacp-号x9x-2x-6=9 2 ∴.-2x-6=2 P在线段BC上， .-2x-6=-2，解得： X=-2 故点P坐标为(-2，-2) (3)解：如图，作Rt△CGH,使CH=0B=6,∠CHG=∠BOC=90°，HG=C0=3,则 △CHG≈△BOC SAS),连接BG交x轴于点Q1 ∴.∠HCG=∠CBO,BC=CG, .:∠BCO+∠CBO=90° ∴.∠BCO+∠HCG=∠BCG=90°， .∴.∠CBG=∠CGB=45°， 又.OB=0A=6, .∴.∠OAB=∠OBA=45, .∴.∠CBO+∠OBG=∠OBG+∠ABG=45°， ∴.∠CBO=∠ABG=∠ABQ1, 由作图可知：点G坐标为(3,3) 过B(0,-6)、G(3,3)的直线解析式为y=3x-6, 直线BG与x轴点坐标为(2,0)，即：Q1坐标为(2,0) ∴.AQ1=A0-0Q1=6-2=4, 在平面坐标系中取点M(6,-4) ∴.MA=AQ,∠MAO=90°， .∴∠MAB=∠OAB=45°， 又.'AB=AB, .∴.△ABQ1≈△ABM SAS, ∴.∠ABM=ABQ,=∠CBO, 1 过点过B(0,6)、M6,-④的直线解析式为y=3X-6, 直线BM与x轴交点坐标为(18,0)，即：Q2坐标为(18，O), 综上所述：Q点坐标为(2,0)或(18,0). 25.(12分)(1)证明：过P作PF⊥BC,PE⊥CD,如图所示： B 图1 :P,C为正方形对角线AC上的点， :P,C为正方形对角线AC上的点， :.PC平分∠DCB,∠DCB=90, ∴PF=PE, :四边形P阳C那为正方形， .∠BPF+∠QPF=90°，∠QPF+∠QPE=90°， .∴.∠BPF=∠QPE, 在△PEQ和△PFB中， ∠BPF=∠QPE PF=PE ∠PFB=∠PEQ .∴.RtAPQE=Rt△PBF SAS, ∴.PB=PQ (2)解：PB=PQ，理由如下， 过作PE⊥BC,PF⊥CD, .∴.∠BEP=∠QFP=90°， 10 图2 :P·C为正方形对角线AC上的点， .PC平分∠DCB∠DCB=90 .∴.PF=PE :四边形PE即为正方形， .'∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90° .∠BPE=∠QPF, .∴.RtAPQF≈RtAPBE SAS ∴.PB=PQ (3)解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化.理由如 (3)解：在P点运动的过程中，P℉的长度不发生变化.理由如下：如图，连接OB D .四边形ABCD是边长为2的正方形， .∴.AB=CB=2, ·点0是AC的中点， 11 .∴.OB⊥AC, .∠AOB=90°， .∴.∠AOB=∠EFP=90, .∠OBP+∠BPO=90°. ∴.∠BPE=90°， ∴.∠BPO+∠FPE=90°， .∴.∠OBP=∠FPE 由(1)得：PB=PE, .∴.△OBP≈△FPE AAS, .PF=OB ·△AB0是等腰直角三角形， OB=号AB=2 ∴.PF=2, 即P℉的长不发生变化，为2， 四边形ABCD是边长为2的正方形 12