1.1.2多边形的外角与外角和 课件 2025--2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦多边形外角定义、外角和（任意多边形外角和为360°且与边数无关）、正多边形内角与外角计算及四边形不稳定性，通过“三角形外角和→四边形→五边形→n边形”的思考推导，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以“观察-思考-推理”为主线，推导n边形外角和时通过平角和与内角和关系培养推理意识，结合电动伸缩门等实例渗透几何直观，典例与练习强化数学语言应用。学生能深化知识理解，教师可依托清晰路径提升教学效率。

湘教版·八年级下册数学 1.1 第2课时 多边形的外角与外角和 第1章 四边形 1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角. 2.运用多边形的外角和解决问题.（重点） 学习目标 【知识要点】多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角. 在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. 多边形的外角和 1 如图，∠EDF 是五边形 ABCDE 的一个外角. 三角形的外角和为 360°，四边形的外角和为多少度呢？ 如图，分别在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4. 所以 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4 × 180° -360° = 360°. 因为 ∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°， ∠3 +∠BCD = 180°，∠4 +∠ADC = 180°， 又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°， 因此 四边形的外角和为360°. 思考： 三角形的外角和为 360°，四边形的外角和为多少度呢？ 问题2：怎样求外角和？ 因为 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°， A B C D 1 2 3 4 所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180° - 360° = 360°. 因此四边形的外角和为 360°. E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形的外角和 = 360° = 5个平角和 －五边形内角和 = 5×180° －(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于 360°. 思考：五边形的外角和是多少呢？ n 边形外角和 －(n－2) × 180° = 360° = n 个平角和－ n 边形内角和 = n×180° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n 边形的外角和又是多少呢？ 三角形与四边形的外角和都是360°，n 边形的外角和也是 360°吗？ n 边形的外角和与其边数有关系吗？ 五边形 1 2 3 4 5 5 个外角与跟它相邻的内角之和合计为__________. 5×180° 五边形的内角和为____________. (5-2)×180° 五边形的外角和为 ___________________________. 5×180°-(5-2)×180°= 360° 六边形 1 2 3 4 5 6 6 个外角与跟它相邻的内角之和合计为__________. 6×180° 六边形的内角和为____________. (6-2)×180° 六边形的外角和为 ___________________________. 6×180°-(6-2)×180°= 360° 想一想：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练：(1) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这 是正____边形. (2) 已知某正多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形是正____边形. 六 八 例1 一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍，它是几边形？ 解：设多边形的边数为 n， 则它的内角和等于 (n - 2)·180°. 由题意得 (n - 2)·180° = 360°×5， 解得 n = 12. 因此，这个多边形是十二边形. 典例精析 正 n 边形的每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练：(1) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这是正____边形. (2) 已知某正多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形是正____边形. 六 八 图形 边数 多边形的外角和 三角形 3 四边形 4 五边形 5 六边形 6 … … n边形 n 3×180°-(3-2)×180°= 360° 4×180°-(4-2)×180°= 360° 5×180°-(5-2)×180°= 360° 6×180°-(6-2)×180°= 360° n·180°-(n-2)·180°= 360° 任意多边形的外角和等于360°. 典例讲解 例2 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？ 等量关系： 该多边形的内角和=该多边形的外角和×5 解：设多边形的边数为n,则它的内角和为（n-2）·180° 由题意得 解得 n=2 因此这个多边形是十二边形. 例3 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数． 解：由题意得 AB = AE，所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°， 所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°. 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是 x°，外角是 y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是 360°， 则该正多边形的边数为 360÷120 = 3. 故这个多边形的每个内角的度数是 60°，边数是三条． 四边形的不稳定性 2 观察：用 4 根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，可以得到不同形状的四边形，由此你会发现什么？ 可以发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性. 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°, 根据题意得 7x+2x=180， 解得 x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 练 习 【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条． 四边形的不稳定性 2 观察：用 4 根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，可以得到不同形状的四边形，由此你会发现什么？ 可以发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性. 想一想：在日常生活中，四边形的不稳定性，有着较为广泛的应用， 你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗? 有哪些是需要克服四边形不稳定性的例子呢? 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图 (a)，(b) 中的电动伸缩门.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图 (c) 中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，使之稳定. (a) (b) (c) 观察应用 四边形在生活中的应用 电动伸缩门 升降器 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性。 但有时又要克服四边形的不稳定性，生活中一般会怎么做呢？ 多边形的外角与外角和 外角和 多边形的外角和等于 360° 特别注意：与边数无关. 四边形 具有不稳定性 外角的定义 $