1.1.2 多边形的外角和 课件 2025-2026学年湘教版 八年级数学下册

湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 1.1.2 多边形的外角和 第1章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月28日 2026年1月28日星期三7时10分28秒 2026年1月28日星期三7时10分30秒 内角 ？ 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个_____. 外角 ∠EDF是五边形 ABCDE 的一个外角. 在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的_______. 外角和 探索新知 三角形的外角和为 360°，四边形的外角和为多少度呢？ 如图，分别在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4. 所以 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4 × 180° -360° = 360°. 因为 ∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°， ∠3 +∠BCD = 180°，∠4 +∠ADC = 180°， 又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°， 因此 四边形的外角和为360°. 三角形与四边形的外角和都是360°，n 边形的外角和也是 360°吗？ n 边形的外角和与其边数有关系吗？ C 返回 1． 四边形具有不稳定性，当改变四边形的形状时，发生变化的是(　　) A．边长 B．周长 C．某些角的大小 D．内角和 中考考法 5 问题3：这四个平角和与四边形的内角和、外角和有什么关系？ 如图，分别在四边形 ABCD 的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4. 所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180° - 360° = 360°. 因为∠1 +∠DAB = 180°， ∠2 +∠ABC = 180°， ∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°， 因此四边形的外角和为 360°. A B C D 1 2 3 4 又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°， E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形的外角和 = 360° = 5个平角和 －五边形内角和 = 5×180° －(5－2) × 180° 结论：五边形的外角和等于 360°. 思考：五边形的外角和是多少呢？ n 边形外角和 n 边形的外角和等于 360°. －(n－2) × 180° = 360° = n 个平角和－ n 边形内角和 = n×180° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n 边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 返回 A 2． [遂宁中考]已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 中考考法 9 想一想：回想正多边形的性质，你知道正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练：(1) 如果正多边形的一个内角是 120°，那么这 是正____边形. (2) 已知某正多边形的每个外角都是 45°，则这个多边形是正____边形. 六 八 例1 一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍，它是几边形？ 解：设多边形的边数为 n， 则它的内角和等于 (n - 2)·180°. 由题意得 (n - 2)·180° = 360°×5， 解得 n = 12. 因此，这个多边形是十二边形. 典例精析 B 返回 3． 图①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图②是从图①的冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，AB∥CD， 则∠1＋∠2＋∠3＝(　　) A．100° B．180° C．210° D．270° 中考考法 12 例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是 7∶2，求这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为 7x°,外角为 2x°, 根据题意得 7x + 2x = 180， 解得 x = 20. 即每个内角是 140°，每个外角是 40°. 360°÷40° = 9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得 解得 n = 9. 答：这个多边形是九边形. 4． 返回 ①③ 如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形，有下列结论： ①变成五边形后外角和不发生变化； ②变成五边形后内角和增加了360°； ③通过图中条件可以得到∠1＋∠2＝240°； ④变成五边形后，周长变大. 其中正确的是________(填序号). 中考考法 15 例3 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE，求∠BED 的度数． 解：由题意得 AB = AE，所以∠AEB = (180° - ∠A) = 36°， 所以∠BED = ∠AED -∠AEB = 108° - 36° = 72°. 四边形的不稳定性 2 观察：用 4 根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，可以得到不同形状的四边形，由此你会发现什么？ 可以发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，这说明四边形具有不稳定性. 想一想：在日常生活中，四边形的不稳定性，有着较为广泛的应用， 你能举出应用四边形不稳定性的其他例子吗? 有哪些是需要克服四边形不稳定性的例子呢? 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图 (a)，(b) 中的电动伸缩门.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图 (c) 中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，使之稳定. (a) (b) (c) 5． 请根据对话信息回答问题： (1)多加的外角是________°，这个凸多边形的边数是________； (2)这个多边形的内角和是________°，有________条对角线. 44 13 1 980 65 中考考法 20 6． 如图，小聪从点A出发，沿直线走6米后向左转θ，接着沿直线前进6米后，再向左转θ，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己走了72米，则θ的度数为(　　) A．30° B．36° C．60° D．72° 中考考法 21 7． 12 如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n＝________. 中考考法 22 8． 105° 如图，BE，DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，∠BAD＝α，∠BCD＝β. (1)如图①，若α＋β＝105°，则∠MBC＋∠NDC＝________； 中考考法 23 (2)如图①，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系； 【解】β－α＝90°. 中考考法 (3)如图②，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由. 中考考法 返回 中考考法 多边形的外角与外角和 外角和 多边形的外角和等于 360° 特别注意：与边数无关. 四边形 具有不稳定性 外角的定义 【解】BE∥DF.理由：如图②，过点C作CP∥BE，则∠EBC＝∠BCP， 所以∠DCP＝∠BCD－∠BCP＝β－∠EBC. 由(1)知，∠MBC＋∠NDC＝α＋β， 又因为α＝β，所以∠MBC＋∠NDC＝2β. 又因为BE，DF分别平分∠MBC和∠NDC， 所以∠EBC＋∠FDC＝(∠MBC＋∠NDC)＝β. 所以∠FDC＝β－∠EBC.又因为∠DCP＝β－∠EBC， 所以∠FDC＝∠DCP.所以CP∥DF.又因为CP∥BE，所以BE∥DF. $