四川省仁寿县文宫中学2025-2026学年高二下学期数学增分练1

**基本信息** 高二数学周测卷，以二项式定理、概率统计等知识为载体，融入“走马灯数”文化情境与扫码支付实际问题，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|9|二项式定理（题1）、二项分布（题3）、导数应用（题6）|结合文化情境（题2“走马灯数”）| |填空|1|排列组合（题10）|考查相邻问题计数| |解答|2|导数综合（题11）、回归分析与独立性检验（题12）|实际应用（题12扫码支付建模）|

高二数学增分练1 1.二项式(x-)5的展开式中,x3的系数为(　　) A.-10 B.-15 C.10 D.15 2.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为(　　) A.48 B.60 C.96 D.120 3.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则D(3Y+1)=(　　) A.2 B.3 C.6 D.7 4.投篮测试中,每人投5次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.8,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学未通过测试的概率为(　　) A.0.006 72 B.0.000 96 C.0.000 64 D.0.000 32 5.9粒种子分种在3个坑内,每个坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用随机变量X表示补种费用,则X的均值等于(　　) A. B. C. D. 6.已知可导函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x∈R,都有f(x)>f'(x)+1,且函数y=f(x)-2 021为奇函数,则不等式f(x)-2 020ex<1的解集为(　　) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.-∞, D.,+∞ 7.在2×2列联表中,若每个数据变为原来的2倍,则χ2的值变为原来的(　　) A.8倍 B.4倍 C.2倍 D.不变 8.从某高中学生中选取10名学生,根据其身高(单位:cm)、体重(单位:kg)数据,得到体重y关于身高x的经验回归方程=0.85x-85,用来刻画回归效果的R2=0.6,则下列说法正确的是(　　) A.这些学生的体重和身高具有非线性相关关系 B.这些学生的体重差异有60%是由身高引起的 C.身高为170 cm的学生的体重一定为59.5 kg D.这些学生的身高每增加0.85 cm,其体重约增加1 kg 9.（多选）122 022+a能被7整除,则整数a的值可以是(　　) A.4 B.6 C.11 D.13 10.甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排,甲、乙要相邻,且甲不站在两端,则不同的排法种数是　　　　　.  11.已知函数f(x)=ex-2x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程; (2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值与最小值. 12.（附加题）近期某公交公司分别推出扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期.由于推广期内优惠力度较大,吸引了越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如下表所示: x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据,绘制了散点图. (1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=cdx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归模型;(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中的数据,求y关于x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考数据:其中vi=lg yi,vi xiyi xivi 100.54 62.14 1.54 2 535 50.12 3.47 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为. (3)微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司200名员工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人,其余的员工每天使用微信在一小时以上.若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,则使用微信的人中75%是青年人.若规定每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,则经常使用微信的员工中都是青年人.依据α=0.001的独立性检验,能否认为经常使用微信与年龄有关联? 附: α 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 χ2=. 增分练1 答案 1.A　展开式的通项公式为Tr+1=x5-r-r=(-2)rx5-2r, 令5-2r=3,解得r=1, 则x3的系数为(-2)=-10. 2.A　根据题意,数字142 857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为=48,故选A. 3.C　由题意得P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=p(1-p)+p2=,所以p=p=舍去,则Y~B(3,), 故D(Y)=3(1-)=, 所以D(3Y+1)=9D(Y)=9=6. 4.A　根据题意,记该同学未通过测试为事件A,该同学每次投篮投中的概率为0.8,则投不中的概率为1-0.8=0.2,事件A包含2种情况,该同学5次都没有投中和只投中1次, 则P(A)=(0.2)4×0.8+(0.2)5=0.006 72,故选A. 5.A　根据题意,每个坑需要补种的概率是相等的,都是3=,所以此问题相当于独立重复试验,做了三次,每次发生的概率都是,所以需要补种的坑的均值为3,所以补种费用X的均值为10 6.A　构造函数g(x)=,则g'(x)=<0,所以函数g(x)=在R上单调递减. 由于函数y=f(x)-2 021为R上的奇函数,则f(0)-2 021=0,则f(0)=2 021,所以g(0)==2 020. 由f(x)-2 020ex<1,得f(x)-1<2 020ex,即<2 020,所以g(x)<g(0). 由于函数y=g(x)在R上单调递减,因此x>0,故选A. 7.C　把χ2=中所有的值变为原来的2倍, 得=2χ2, 故χ2也变为原来的2倍. 8.B　因为经验回归方程为=0.85x-85,且刻画回归效果的R2=0.6,所以这些学生的体重和身高具有线性相关关系,故A错误;这些学生的体重差异有60%是由身高引起的,故B正确;当x=170时,=0.85×170-85=59.5,预测身高为170 cm的学生体重为59.5 kg,故C错误;这些学生的身高每增加0.85 cm,其体重约增加0.85×0.85=0.722 5(kg),故D错误. 故选B. 9.BD　依题意122 022+a=(14-2)2 022+a=142 022-i×(-2)i]+22 022+a, 显然142 022-i×(-2)i]能被7整除,因此,若122 022+a能被7整除, 当且仅当22 022+a能被7整除,而22 022+a=8674+a=(7+1)674+a=7674-k)+1+a,又7674-k)能被7整除, 从而得1+a能被7整除,结合选项,则整数a的值可以是6或13. 10.36　甲、乙相邻,则有=48种排法,甲、乙相邻且甲站在两端有2=12种排法,故甲、乙要相邻,且甲不站在两端有48-12=36种排法. 11.解(1)函数f(x)=ex-2x的导数为f'(x)=ex-2, 可得y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为1-2=-1, 则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y+x-1=0. (2)令f'(x)=ex-2=0,得x=ln 2, 则当0<x<ln 2时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当ln 2<x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 因此x=ln 2为f(x)的极小值点,也是最小值点, 又f(0)=1,f(2)=e2-4,f(ln 2)=2-2ln 2, 所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4. 12.解(1)根据散点图判断y=c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归模型. (2)由(1)知y=c·dx,两边同时取对数得lg y=lg c+(lg d)·x, 由题意知vi=lg yi,=1.54,xivi=50.12,=4, =12+22+32+42+52+62+72=140, 所以lg d==0.25, 所以lg c=-lg d=1.54-0.25×4=0.54.所以v=0.54+0.25x,即lg y=0.54+0.25x, 则y关于x的经验回归方程为=100.54+0.25x=3.47×100.25x, 当x=8时,=3.47×102=347,故预测活动推出第8天使用扫码支付的人次为347. (3)由已知得该公司员工中使用微信的有200×90%=180(人), 经常使用微信的有180-60=120(人),其中青年人有120=80(人),使用微信的人中青年人有180×75%=135(人). 作出列联表如下: 类型 青年人 中年人 合计 经常使用微信 80 40 120 不经常使用微信 55 5 60 合计 135 45 180 零假设为H0:经常使用微信与年龄无关联.将列联表中的数据代入公式可得χ2=13.333>10.828=x0.001, 学科网（北京）股份有限公司 $