第6章 专题强化练1 形如“(a+b)n(c+d)m”“(a+b+c)n”的展开式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第三册（人教A版）

专题强化练1　形如“(a+b)n(c+d)m”“(a+b+c)n”的展开式 时间:40分钟 1.(2025安徽芜湖第一中学期中)(2x-1)11的展开式中的常数项为(　　) A.18　　　　B.20　　　　C.22　　　　D.24 2.(2025广东四校联考)若(1+ax+x2)(1-x)8的展开式中含x2的项的系数为21,则a=(　　) A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.-1 3.(2025广东中山第一中学月考)已知多项式(x+2)3(x-1)4=a1(x+1)7+a2(x+1)6+…+a7(x+1)+a8,则a7+a8=(　　) A.0　　　　B.32　　　　C.16　　　　D.-16 4.(2025河南商丘弘文高级中学月考)的展开式中常数项为(　　) A.88　　　　B.-88　　　　C.32　　　　D.-32 5.(2025河北保定博野中学月考)在(x+y2-1)(x2-y-1)6的展开式中,x2y4的系数为(　　) A.-60　　　　B.-30 C.-20　　　　D.20 6.(多选题)(2024福建福州期中)在(a-x)(1+x)6的展开式中,含x的奇次幂的项的系数之和为64,则下列结论正确的是(　　) A.a=3 B.展开式中常数项为3 C.展开式中x4的系数为30 D.展开式中含x的偶次幂的项的系数之和为64 7.(2025广东珠海第二中学月考)已知(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n,若|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2n|=4 096,则a3=(　　) A.-640　　　　B.-200　　　　C.-160　　　　D.-40 8.若(x-的展开式中存在常数项,则n的值可以是　　　　(写出一个即可).  9.(x+1)的展开式中,x3的系数为　　　　(用数字作答).  10.(2024四川绵阳期末)求的展开式中的常数项. 11.(2025山东青岛实验高级中学月考)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系数和为-1. (1)求n和a的值; (2)求的展开式中的常数项. 专题强化练1　形如“(a+b)n(c+d)m”“(a+b+c)n”的展开式 1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.ABD 7.A 1.B　(2x-1)11, (2x-1)11的展开式的通项为Tk+1=x11-k,k=0,1,2,…,11, 令11-k=0,得k=11,则2(2x-1)11的展开式中的常数项为2×(-1)11×20×=-2; 令11-k=1,得k=10,则(2x-1)11的展开式中的常数项为(-1)10×21×=22. 故(2x-1)11的展开式中的常数项为-2+22=20. 方法总结 　　形如“(a+b)(c+d)m”的展开式问题,一般展开为a(c+d)m+b(c+d)m;形如“(a+b)n(c+d)m”的展开式问题,一般分开按照(a+b)n与(c+d)m来处理. 2.C　(1-x)8的展开式的通项为Tr+1=xr,r=0,1,…,8, 令r=2,得T3=x2,令r=1,得T2=-x,令r=0,得T1=, 则含x2的项的系数为1×=21,解得a=1. 3.B　设t=x+1,则(t+1)3(t-2)4=a1t7+a2t6+…+a7t+a8, 令t=0,则(0+1)3×(0-2)4=16=a8, (t+1)3的展开式中一次项为t=3t,常数项为1, (t-2)4的展开式中一次项为(-2)3t=-32t,常数项为16, 所以a7=3×16-32=16,所以a7+a8=16+16=32. 4.B　解法一:的展开式的通项为Tr+1=·2r,0≤r≤5,r∈N, 的展开式的通项为Tk+1=)5-r-k·,0≤k≤5-r≤5,k∈N,r∈N, 令=0,则r+3k=5, 又0≤k≤5-r≤5,k∈N,r∈N, 所以r=2,k=1或r=5,k=0, 故展开式中的常数项为×25=-88. 解法二:可看成5个相乘,要得到常数项有以下情况:①5个因式中全取2;②5个因式中取2个,1个-,2个2. 所以的展开式中常数项为×22=32-120=-88. 解题模板 解决(a+b+c)n的展开式的问题的方法通常有两种:一是两次运用二项式定理;二是利用组合知识求解. 5.B　先求(x2-y-1)6的展开式中含xy4,x2y2,x2y4的项, (x2-y-1)6的展开式的通项为Tr+1=(x2-y)6-r·(-1)r,0≤r≤6,r∈N, (x2-y)6-r的展开式的通项为Tk+1=(-1)kx12-2r-2kyk,0≤k≤6-r≤6,k∈N,r∈N. 令无解, 令解得 令解得 所以在(x+y2-1)(x2-y-1)6的展开式中,x2y4的系数为(-1)4=-30. 6.ABD　设(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1),① 令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0,② ①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1), 因为展开式中含x的奇次幂的项的系数之和为64, 即a1+a3+a5+a7=64, 所以2×64=64(a-1),解得a=3, 即(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 令x=0,可得a0=3,即展开式中常数项为3. ①+②,得2(a0+a2+a4+a6)=64×2, 所以a0+a2+a4+a6=64, 即展开式中含x的偶次幂的项的系数之和为64. (3-x)(1+x)6的展开式中x4的系数为3×=25. 7.A　(x2-x+2)n=[(x2+2)-x]n,其展开式的通项为Tr+1=(x2+2)n-r(-x)r,0≤r≤n,r∈N, 因为(x2+2)n-r>0,且(x2+2)n-r的展开式中x的指数均为偶数, 所以当r为偶数时,对应项的x的次数为偶次,且对应项的系数大于0, 当r为奇数时,对应项的x的次数为奇次,且对应项的系数小于0, 所以a0,a2,a4,…,a2n为正数,a1,a3,a5,…,a2n-1为负数, 又(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n, 所以令x=-1,则4n=a0-a1+a2-a3+…+a2n=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2n|=4 096, 所以n=6, 则(x2-x+2)6=[(x2+2)-x]6,其展开式的通项为Tr+1=(x2+2)6-r(-x)r,0≤r≤6,r∈N, (x2+2)6-r的展开式的通项为Tk+1=(x2)6-r-k·2k=2kx12-2r-2k,0≤k≤6-r,k∈N, 要使(x2-x+2)6的展开式中x的次数为3,则r=1,k=4或r=3,k=3, 则a3=-24=-640. 8.答案　4(答案不唯一) 解析　(x-, 的展开式的通项为Tr+1=)n-r·. 若x2Tr+1=是常数项,则n-7r+6=0, 若-2x是常数项,则2n-14r+9=0, 若xTr+1=是常数项,则n-7r+3=0(以此为例), 取n=4,r=1,得T2=,可得(x-)2·的展开式的常数项为x·=4, 所以n的值可以是4(答案不唯一). 9.答案　98 解析　因为(x+1)=x+18+, 所以只需找的展开式中x2,x3的系数即可. 的展开式中含x2,x3的项出现在(1+)8的展开式中,(1+)8的展开式的通项为Tr+1=,令=2,得r=4,令=3,得r=6, 故所求系数为=98. 10.解析　求展开式中的常数项,必须x2的指数是的指数的,据此分类讨论,再考虑y4与的指数求解. ①当x2的指数为1时,的指数为2,此时只需y4+5的展开式中出现含y2的项,即, 因此常数项为=1 680; ②当x2的指数为2时,的指数为4,此时只需的展开式中出现含y4的项,显然不可能. 故所求常数项为1 680. 11.解析　(1)由题意可得解得 (2)由(1)可知=(2x-x-2)·(-2x2+x-1)7. (-2x2+x-1)7的展开式的通项为Tk+1=(-2x2)7-k·(x-1)k=(-2)7-kx14-3k,k=0,1,…,7, 令14-3k=-1,则k=5,令14-3k=2,则k=4, 故所求的常数项为2x·(-2)2x-1-x-2·(-2)3x2=168+280=448. 9 学科网（北京）股份有限公司 $