第6章 专题强化练1 空间向量的运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

专题强化练1　空间向量的运算 1.(2024山东烟台第一中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段BD1上,且(0<λ<1).当∠APC为锐角时,实数λ的取值范围为(　　) A. 2. (创新题新情境)(2025湖北云学联盟部分重点高中联考)如图,现有一段底面周长为12π厘米,高为12厘米的圆柱形水管,AB是圆柱的母线,两只蜗牛分别沿水管壁爬行(水管壁厚度不计),一只从A点沿上底面圆弧按顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P点,另一只从B点沿下底面圆弧按逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米到达Q点,则此时线段PQ的长为(　　) A.6厘米　　　B.6厘米　　　 C.6厘米　　　D.12厘米 3.(2025江苏无锡第三高级中学月考)在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=2,若M为该三棱锥外接球上一点,则·的最大值为(　　) A.2　　　B.4　　　C.2+2 4.(多选题)(2025江苏宿迁沭阳南湖高级中学检测)已知向量a,b,c都是单位向量,a-b-c=0,则(　　) A.|a-b|=　　　B.|a+b|= C.|a+b+c|=　　　D.a+b+c与b共线 5.(多选题)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M满足,x,y,z∈R,则下列说法正确的是(　　) A.当x=y=1,z=时,四棱锥M-ABCD的体积为 B.当x+y=1,z=0时,AMmin= C.当x+y+z=1时,AMmin= D.当x=,y∈R,z=0时,AM+MC1的最小值为 6.(2025湖南长沙部分学校联考)如图,正八面体ABCDEF的每条棱的长均为10,AF与BD交于点O,,M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点.若·=0,则·的最小值为　　　　.  7.(创新题新情境)(2025贵州贵阳七校联考)对于两个空间向量a=(x1,y1,z1)与b=(x2,y2,z2),我们可以定义它们之间的欧式距离为d(a,b)=,曼哈顿距离为D(a,b)=|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,d()=　　　　;若点P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运动,且|,则D()的取值范围是　　　　.  答案与分层梯度式解析 专题强化练1　空间向量的运算 1.C 2.A 3.C 4.AC 5.ACD 1.C　以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz, 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), 所以=(1,1,-1),则=(λ,λ,-λ), 故=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1). 当∠APC为锐角时,cos∠APC>0, 所以=(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)>0,又0<λ<1,所以0<λ<,即实数λ的取值范围为. 2.A　分别取上、下底面的圆心O1,O, 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设从B点出发的蜗牛向上爬行的轨迹与圆柱下底面圆周的交点为Q1,连接OQ1.设圆O的半径为r,则2πr=12π,所以r=6,因此l=∠BOQ1×6=π,解得∠BOQ1=,则Q1(3,-3,3), 同理,过P向下底面作垂线,垂足为P1,则P1(-3,-3,9), 所以|,即线段PQ的长为6厘米. 3.C　由题意可将三棱锥P-ABC放置在正方体中,则三棱锥的外接球就是正方体的外接球.记外接球的球心为O. 以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 则P(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),O(1,1,1). 设三棱锥外接球的半径为R, 则2R=,所以R=. )·()·. 易得=(-1,-1,1), 所以=1-1-1=-1, 所以()·>, 所以>, 所以当cos<>=1时,取得最大值,为2+2. 4.AC　对于A,由a-b-c=0得a-b=c,又c为单位向量,所以|a-b|=|c|=,故A正确. 对于B,对a-b=c的等号两边分别平方,得a2-2a·b+b2=2c2,所以2-2a·b=2,所以a·b=0,所以a⊥b,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=2,所以|a+b|=,故B错误. 对于C,由a-b-c=0得c=a-b,所以a+b+c=a+b,所以|a+b+c|2=a2+a·b+b2==3,所以|a+b+c|=,故C正确. 对于D,由C中分析知a+b+c=a+b. 若a+b+c与b共线,则存在λ∈R,λ≠0,使得a+b+c=λb,即a+b=λb,所以a=[(2-)]b,则a∥b,与B中分析的a⊥b矛盾,故a+b+c与b不共线,故D错误. 5.ACD　对于A,当x=y=1,z=时,,所以M为CC1的中点,所以VM-ABCD=MC·S正方形ABCD=,故A正确. 对于B,当x+y=1,z=0时,,所以点M在BD上,易知当点M为线段BD的中点时,线段AM的长最小,为,故B错误. 对于C,当x+y+z=1时,点M在平面A1BD内,所以线段AM的长的最小值为点A到平面A1BD的距离. 设点A到平面A1BD的距离为h,则由AA1·S△ABD,即×sin 60°=×2×2,所以h=,所以线段AM的长的最小值为,故C正确. 对于D,当x=,y∈R,z=0时,,取AB的中点E,CD的中点F,连接EF,EB1,FC1(图略),则点M在直线EF上,将平面AEFD和平面EB1C1F展开到同一平面,如图,易得当A,M,C1三点共线时,AM+MC1取得最小值,为,故D正确. 6.答案　-18 解析　连接CE,由正八面体的性质得DB,CE,AF两两互相垂直,故以{}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由正八面体的各棱的长均为10,得OA=OB=OC=OD=OE=OF=10=10,所以A(0,0,10),D(0,-10,0),F(0,0,-10),H(0,0,2),所以=(0,10,-10). 设M(x,y,z),则=(-x,-y,2-z),因为=0,所以-10y+10z-20=0,即z-y=2,则=(-x,-8-z,-z),所以=-x·(-x)+(2-z)×(-8-z)+(10-z)×(-z)=x2+2z2-4z-16=x2+2(z-1)2-18,所以当x=0,z=1,y=z-2=-1,即M(0,-1,1)时,取得最小值,为-18. 7.答案　;[1,3] 解析　以{}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1), 所以=(0,-1,1), 所以d(. 因为点P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运动,且|,所以||=1,即在上底面A1B1C1D1内,点P在以A1为圆心,1为半径的圆周上运动. 设P(cos θ,sin θ,1),θ∈,则=(cos θ,sin θ,1),又=(1,0,0),所以D()=|cos θ-1|+|sin θ|+1=2+sin θ-cos θ=2+,θ∈, 因为0≤θ≤,所以-≤θ-,所以sin,所以D()∈[1,3]. 9 学科网（北京）股份有限公司 $