专题04 二元一次方程组（暑假复习讲义，8重难题型+综合通关）新七年级数学新教材沪教版五四制

专题04 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1二元一次方程（组）概念 题型2看错系数错解复原（经典易错题） 题型3代入消元法解方程组 题型4加减消元法解方程组 题型5 已知方程组的解，求参数 题型6同解方程组问题（期末高频） 题型7实际应用题（必考大题，核心类型） 题型8 三元一次方程组（基础拓展题型） 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1：二元一次方程（组）概念与解 2：二元一次方程组基础解法 3：含参数二元一次方程组 5：二元一次方程组实际应用 6三元一次方程组的定义及解： 1. 聚焦模型思想，情境贴近生活与传统文化 高频命题情境涵盖购物采购、行程运动、年龄计算、工程施工、几何拼图、利润销售等生活化场景；新增传统文化命题热点，以《九章算术》《算法统宗》等古籍文言文题目为载体，考查学生翻译题意、提炼等量关系、建立方程组模型的能力。 2. 分层考查运算能力，侧重巧解与规范 基础层面考查代入消元、加减消元的规范解题步骤；中档层面考查整体代入、轮换加减、换元简算等巧解方法；拔高层面重点考查含参方程组无解、唯一解、无数解的分类讨论，以及整数解限定问题，层层递进区分学生能力。 3. 概念陷阱常态化，侧重细节辨析 选择题、填空题高频设置易错陷阱，重点考查整式方程判定、未知数次数定义、二元与多元方程区分、“方程的解”与“方程组公共解”的概念辨析，细节失误极易丢分。 4. 阅读探究升级，压轴题型递进设问 期末压轴解答题普遍采用三小问递进式命题：基础解方程→参数求值→实际方案决策。同时新增新定义方程（共轭方程、镜像方程等）创新题型，考查学生现场学习、迁移运用的能力。 5. 靶向考查高频易错点 加减消元漏乘常数项、代入消元未加括号导致符号错误、应用题忽略实际意义检验、参数讨论遗漏分类情况，是统考核心失分点，也是命题人重点出题方向。 考情解码：基础题：二元一次方程概念辨析、基础解方程组、简单和差倍分应用题，侧重基础运算与概念记忆。 中档题：含参数方程组求解、看错系数纠错题型、整体换元巧解、几何图形建模应用题，侧重灵活运算与初步建模能力。 难题：方程组整数解问题、方案最优选择、同解方程组、新定义运算、传统文化古算建模，侧重综合推理与实际应用能力。 知识点一 二元一次方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件： 知识点二 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集. 知识点三 二元一次方程组 二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次； 注意： 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法 知识点四 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点五 三元一次方程组 题型1二元一次方程（组）概念 【例1】．（23-24六年级下·上海·期中）下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】.（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）已知是二元一次方程，则________，________． 【变式训练1-2】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）下列是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】．（25-26六年级下·上海·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 题型2看错系数错解复原（经典易错题） 【例3】．（23-24六年级下·上海·课后作业）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把看错而得到，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解题原理】：看错系数的解，满足未看错的方程，联立正确方程求出原参数，再求解正确方程组。 【变式训练2-1】．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 【变式训练2-2】．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【变式训练2-3】．（2023六年级下·上海·专题练习）甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 题型3 代入消元法解方程组 【例4】．（23-24六年级下·上海·阶段检测）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【例5】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）把方程变形，用含y的式子表示x，可得________． 【例6】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）解方程组：． 【变式训练3-1】．（22-23六年级下·上海宝山·期末）将方程变形为用含的式子表示，那么正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】．（25-26六年级下·上海·阶段检测）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则__________． 【变式训练3-3】．（25-26六年级下·上海·期末）解二元一次方程组： 题型4 加减消元法解方程组 【例7】．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】．（25-26六年级下·上海·阶段检测）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【变式训练4-2】．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知关于的方程组，都为自然数的解有_____对． 【变式训练4-3】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）解方程组： 题型5 已知方程组的解，求参数 【例8】．（2024六年级下·上海闵行·期中）已知二元一次方程组无解，则a的值是（   ）. A． B． C．1 D．以上都不对 【解题思路】：将已知解代入原方程组，得到关于参数的二元一次方程组，求解即可。 【变式训练5-1】．（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 【变式训练5-2】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知关于、的方程组得出以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；当时，；不论取什么数，的值始终不变；不存在使得成立；其中正确的序号是__________． 【变式训练5-3】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 题型6同解方程组问题（期末高频） 【例9】．（25-26六年级下·上海金山·期中）已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【解题核心】：两个方程组解完全相同，先解无参数方程组，再将解代入含参方程组求字母参数。 【变式训练6-1】．（23-24六年级下·上海·期中）已知方程组 与 有相同的解，则的值为_________． 【变式训练6-2】．已知关于，的方程组和的解相同，求的值 【变式训练6-3】．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 题型7 实际应用题（必考大题，核心类型） 【例10】．（24-25六年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【例11】．（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【例12】．（2024六年级下·上海·专题练习）2010年南非世界杯的半决赛门票价格是一等席600美元，二等席400美元，三等席250美元．某公司组织体育比赛获奖的36名职员到南非观看2010年世界杯的半决赛．除去其他费用，计划购买两种门票，恰好用完10050美元，你能设计出几种方案供该公司选择？请说明理由． 【例13】．（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【例14】．（25-26六年级下·上海静安·期中）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 【例15】．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【通用解题六步法】：审题→设元（直接/间接设两个未知数）→列方程组→求解→检验实际意义→作答 【变式训练7-1】．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【变式训练7-2】．（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【变式训练7-3】．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【变式训练7-4】．（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【变式训练7-5】．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 【变式训练7-6】．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 题型8 三元一次方程组（基础拓展题型） 【例16】．（23-24六年级下·上海静安·期中）解方程组，较简便的方法是（    ）． A．先消z B．先消y C．先消x D．无法确定 【例17】．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 【核心思路】：两次消元，消去同一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解。 【变式训练8-1】．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 【变式训练8-2】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）解方程组：． 【变式训练8-3】．（25-26六年级下·上海静安·期中）解方程组： (1)； (2)． 一、单选题 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．若，是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是（    ） ①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张．    A．1 B．2 C．3 D．4 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 二、填空题 7．若是关于的二元一次方程的一组解，则___________． 8．若x、y满足方程组，则x+y的值是 _____． 9．已知，则的值为_____． 10．方程组的解是_______． 11．《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六两．问牛、羊各值金几何?”其译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”．设每头牛值两银子，每只羊值两银子，则可列二元一次方程组为__________． 12．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元．设甲服装的成本是元，乙服装的成本是元，根据题意可列方程组为____． 13．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球元/个，篮球元/个，共有______种购买方案． 14．某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度，平路速度，下坡速度，那么他从家到学校需要，从学校回家需要．则该同学家到学校全程是_____． 15．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 16．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是__________． 三、解答题 17．解方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 18．解下列二元一次方程组： (1) (2) 19．已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 20．陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法宝凝聚能量：2个「乾坤圈」和5个「风火轮」同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个「乾坤圈」和2个「风火轮」联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个「乾坤圈」和单个「风火轮」每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要单位能量才能完全净化．若启动8个「乾坤圈」和10个「风火轮」持续运转5小时，哪吒能否在海夜叉攻破结界前完成净化？请用计算证明． 21．某农机专卖店在当地政策的支持下，购进一批国产耕地机．请根据下表信息，解答下列问题． 问题背景 某农机专卖店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款国产耕地机若干台． 素材1 从厂家购进3台A款国产耕地机和2台B款国产耕地机共需90万元． 素材2 从厂家购进2台A款国产耕地机和3台B款国产耕地机共需85万元． 问题解决 任务（1） （1）求A，B两款国产耕地机每台的进价； 任务（2） （2）要使这240万元正好用完（两种耕地机都要购买），请列出购进方案． 22．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 23．情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 24．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． 1. 概念误区：忽略“整式方程”条件，误将分式方程判定为二元一次方程；误认为二元一次方程仅有一组解； 2. 加减消元误区：方程同乘常数时，漏乘常数项，导致整体计算错误； 3. 代入消元误区：多项式整体代入未加括号，符号运算出错； 4. 检验误区：仅代入一个方程检验，忽略方程组解是“公共解”的核心要求； 5. 参数讨论误区：判定无解、无数解时，仅对比未知数系数，遗漏常数项比例判定； 6. 应用题误区：设两个未知数仅列出一个方程；解出负数、小数人数/物品数，不取舍、不检验实际意义； 7. 书写误区：方程组解未用大括号联立，解题跳步、步骤不规范，导致步骤分丢失。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1二元一次方程（组）概念 题型2看错系数错解复原（经典易错题） 题型3代入消元法解方程组 题型4加减消元法解方程组 题型5 已知方程组的解，求参数 题型6同解方程组问题（期末高频） 题型7实际应用题（必考大题，核心类型） 题型8 三元一次方程组（基础拓展题型） 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1：二元一次方程（组）概念与解 2：二元一次方程组基础解法 3：含参数二元一次方程组 5：二元一次方程组实际应用 6三元一次方程组的定义及解： 1. 聚焦模型思想，情境贴近生活与传统文化 高频命题情境涵盖购物采购、行程运动、年龄计算、工程施工、几何拼图、利润销售等生活化场景；新增传统文化命题热点，以《九章算术》《算法统宗》等古籍文言文题目为载体，考查学生翻译题意、提炼等量关系、建立方程组模型的能力。 2. 分层考查运算能力，侧重巧解与规范 基础层面考查代入消元、加减消元的规范解题步骤；中档层面考查整体代入、轮换加减、换元简算等巧解方法；拔高层面重点考查含参方程组无解、唯一解、无数解的分类讨论，以及整数解限定问题，层层递进区分学生能力。 3. 概念陷阱常态化，侧重细节辨析 选择题、填空题高频设置易错陷阱，重点考查整式方程判定、未知数次数定义、二元与多元方程区分、“方程的解”与“方程组公共解”的概念辨析，细节失误极易丢分。 4. 阅读探究升级，压轴题型递进设问 期末压轴解答题普遍采用三小问递进式命题：基础解方程→参数求值→实际方案决策。同时新增新定义方程（共轭方程、镜像方程等）创新题型，考查学生现场学习、迁移运用的能力。 5. 靶向考查高频易错点 加减消元漏乘常数项、代入消元未加括号导致符号错误、应用题忽略实际意义检验、参数讨论遗漏分类情况，是统考核心失分点，也是命题人重点出题方向。 考情解码：基础题：二元一次方程概念辨析、基础解方程组、简单和差倍分应用题，侧重基础运算与概念记忆。 中档题：含参数方程组求解、看错系数纠错题型、整体换元巧解、几何图形建模应用题，侧重灵活运算与初步建模能力。 难题：方程组整数解问题、方案最优选择、同解方程组、新定义运算、传统文化古算建模，侧重综合推理与实际应用能力。 知识点一 二元一次方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件： 知识点二 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集. 知识点三 二元一次方程组 二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次； 注意： 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法 知识点四 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点五 三元一次方程组 题型1二元一次方程（组）概念 【例1】．（23-24六年级下·上海·期中）下列方程是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数；含未知数的项的次数都是1；是整式方程，根据条件逐一判断即可． 【详解】解：A、，满足二元一次方程的所有条件，符合题意； B、，只含有1个未知数，且未知数最高次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； C、对于中是分式，该方程不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、，只含有1个未知数，是一元一次方程，不是二元一次方程，不符合题意． 【例2】．（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能熟记二元一次方程组的解的定义是解此题的关键． 将解，代入各选项的方程组，验证是否同时满足两个方程． 【详解】A、把代入第一个方程，等式成立， 代入第二个方程，等式成立．所以该选项正确； B、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； C、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； D、把代入第二个方程，等式不成立．所以该选项错误． 故选：A． 【变式训练1-1】.（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）已知是二元一次方程，则________，________． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的最高次数为，可得到关于和的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是二元一次方程， 根据二元一次方程的定义，两个未知数的次数都为，可得： ，， 解得：，． 【变式训练1-2】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）下列是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：一共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，由两个方程组成，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A中，第一个式子不是等式，不是方程，且项的次数为2，不满足定义，故A不符合题意； 选项B中，方程组共含有三个未知数，不满足二元的要求，故B不符合题意； 选项C中，方程组共含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，满足二元一次方程组的定义，故C符合题意； 选项D中，第二个方程是分式方程，不是整式方程，不满足定义，故D不符合题意． 【变式训练1-3】．（25-26六年级下·上海·期中）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：二元一次方程组的定义为：由一次方程组成，且方程组中共含有两个未知数的整式方程组，叫做二元一次方程组. A中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； B中方程组含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组； D中方程组仅含有两个未知数，所有方程都是一次整式方程，是二元一次方程组． 题型2看错系数错解复原（经典易错题） 【例3】．（23-24六年级下·上海·课后作业）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把看错而得到，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把与代入得：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， ∴． 故选：D． 【解题原理】：看错系数的解，满足未看错的方程，联立正确方程求出原参数，再求解正确方程组。 【变式训练2-1】．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 【答案】7 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【详解】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 【变式训练2-2】．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【答案】、、、的值是：4，5，，． 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【详解】解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 【变式训练2-3】．（2023六年级下·上海·专题练习）甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、求代数式的值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立求出与的值； （2）将与的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，将代入②，得：， 即， 将代入①，得：， 即； （2）解：由（1）得：，， ． 题型3 代入消元法解方程组 【例4】．（23-24六年级下·上海·阶段检测）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查用含的式子表示，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 【例5】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）把方程变形，用含y的式子表示x，可得________． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】先移项整理，再将x的系数化为1即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时除以，得． 【例6】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）解方程组：． 【答案】 【知识点】代入消元法 【详解】解：， 将①代入②得，解得， 把代入①，得， ． 【变式训练3-1】．（22-23六年级下·上海宝山·期末）将方程变形为用含的式子表示，那么正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代入消元法 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练3-2】．（25-26六年级下·上海·阶段检测）已知二元一次方程，用关于的代数式表示，则__________． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】把当作已知数，利用移项和系数化为1的方法求出即可． 【详解】解：， 移项，得， 等式两边同时除以2，得． 【变式训练3-3】．（25-26六年级下·上海·期末）解二元一次方程组： 【答案】 【知识点】代入消元法 【详解】解：原方程组可变为， 把②代入①得：，即， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 题型4 加减消元法解方程组 【例7】．（24-25六年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． 逐一利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】A.， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； B.， ②①，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； C.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； D.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 故选：B． 【变式训练4-1】．（25-26六年级下·上海·阶段检测）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】3 【知识点】加减消元法 【分析】通过将两个方程相加，得到，从而求出． 【详解】解：∵， ∴将两个方程相加，得， 即， 两边同时除以5，得． 【变式训练4-2】．（25-26六年级下·上海静安·期中）已知关于的方程组，都为自然数的解有_____对． 【答案】3 【知识点】加减消元法 【分析】先由加减消元法得到，再枚举求解即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 那么继续往后取自然数，均小于0，不符合题意， ∴都为自然数的解有对． 【变式训练4-3】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【详解】解：原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 题型5 已知方程组的解，求参数 【例8】．（2024六年级下·上海闵行·期中）已知二元一次方程组无解，则a的值是（   ）. A． B． C．1 D．以上都不对 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】由②得出③，把③代入①得出，根据方程组无解，得到，求出即可． 【详解】 由②得,③   把③代入①得, ∴， ∵ 方程组无解, ∴, ∴， 故选D. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程． 【解题思路】：将已知解代入原方程组，得到关于参数的二元一次方程组，求解即可。 【变式训练5-1】．（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 【答案】1 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】根据与相等，结合方程组第一个方程求出，的值，再代入第二个方程即可求出的值． 【详解】解：与相等， ，即， 解得， 把代入得： ， 解得． 【变式训练5-2】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知关于、的方程组得出以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；当时，；不论取什么数，的值始终不变；不存在使得成立；其中正确的序号是__________． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、代入消元法 【分析】解方程组求出、，分别验算各个结论即可． 【详解】解：方程组 由得，，解得， 代入中，解得， ∴方程组的解， 结论当时，方程组的解，代入中， ∴方程组的解也是方程的解 ∴结论正确． 结论∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论正确． 结论， ， ， 随着变化而变化， ∴结论错误． 结论若，即， ∴， ∴， ∴不成立， ∴不存在使得成立， 结论正确． 【变式训练5-3】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 【答案】(1)方程组的解具有“单位差”；理由见解析 (2)或 (3)或或或 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】（1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 题型6同解方程组问题（期末高频） 【例9】．（25-26六年级下·上海金山·期中）已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【知识点】方程组相同解问题 【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， 得：，解得：， 将代入①得：， 将，，代入可得， 解得， ∴ ． 【解题核心】：两个方程组解完全相同，先解无参数方程组，再将解代入含参方程组求字母参数。 【变式训练6-1】．（23-24六年级下·上海·期中）已知方程组 与 有相同的解，则的值为_________． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查的是同解二元一次方程组的问题，二元一次方程组的解法，掌握利用方程组同解构建新的方程组是解题的关键．由方程组同解可得：，解方程组求解，再把求得的的值代入另外两个方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意：和 有相同的解， 可得：， 得：， ∴， 将代入①，得， 所以方程组的解：， ∴， 两个方程相加可得：， ∴． 故答案为： 【变式训练6-2】．已知关于，的方程组和的解相同，求的值 【答案】1 【知识点】方程组相同解问题 【分析】将两个不含参的方程组成新的方程组，求解后代入由两个含参方程组成的方程组，再进行求解即可. 【详解】解：由题意方程组和与方程组和的解也相同， 解得， 把代入，得， ，得， 整理，得. 【变式训练6-3】．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 题型7 实际应用题（必考大题，核心类型） 【例10】．（24-25六年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 【例11】．（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【答案】39人 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出方程组进而求出是解题关键． 设六年级（2）班有男生人，女生人，则利用男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，得出方程组求出即可． 【详解】解：设六年级（2）班有男生人，女生人， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：这个班级的学生人数为39人． 【例12】．（2024六年级下·上海·专题练习）2010年南非世界杯的半决赛门票价格是一等席600美元，二等席400美元，三等席250美元．某公司组织体育比赛获奖的36名职员到南非观看2010年世界杯的半决赛．除去其他费用，计划购买两种门票，恰好用完10050美元，你能设计出几种方案供该公司选择？请说明理由． 【答案】两种购票方案，见解析 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，要能够分情况列出二元一次方程，根据它们的解必须是正整数进行分析讨论． 此题分三种情况讨论：可以设一等席和二等席或一等席和三等席或二等席和三等席．然后根据解应是正整数进行分析其解． 【详解】解：①设购买一等席门票张，二等席门票张，根据题意可列方程组 解得 因为、都是正整数，所以此方案不可行． ②设购买一等席门票张，三等席门票张，根据题意可列方程组 解得 所以可购买一等席门票3张，三等席门票33张． ③设购买二等席门票张，三等席门票张，根据题意可列方程组 解得 所以可购买二等席门票7张，三等席门票29张． 答：共有两种购票方案，购一等席门票3张，三等席门票33张，或购二等席门票7张，三等席门票29张． 【例13】．（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【答案】小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键． 设小敏步行所用的时间分别为小时，乘坐观光车所用的时间为小时，根据小敏步行时的平均速度是每小时 4 千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时 12 千米，列出方程组，即可得到结论． 【详解】解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时， 根据题意得， 解得， 答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时． 【例14】．（25-26六年级下·上海静安·期中）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 【答案】 型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 根据题意，得， 解得：， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 【例15】．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 【通用解题六步法】：审题→设元（直接/间接设两个未知数）→列方程组→求解→检验实际意义→作答 【变式训练7-1】．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式训练7-2】．（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 【变式训练7-3】．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【答案】(1)A队赢了7场，平了5场 (2)B队赢了10场，平了2场，负了1场 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意找准等量关系列方程或方程组解答即可． （1）设球队赢了场，平了场，根据“不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分”列方程组解答即可； （2）设队赢了场，平了场，根据题意列方程，求出，的整数解解答即可． 【详解】（1）解：设球队赢了场，平了场．由题意可列方程组： ，解得： 答：A队赢了7场，平了5场． （2）解：设队赢了场，平了场． 由题意可列方程：， 枚举可得方程的非负整数解为， 因为共踢了13场比赛， 所以， 所以， （场）， 答：B队赢了10场，平了2场，负了1场． 【变式训练7-4】．（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一元一次方程以及二元一次方程的实际应用． （1）根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可列方程，然后组成方程组； （2）根据总钱数不变列式求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 【变式训练7-5】．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 【答案】(1)家长有9名，学生有7名 (2)132元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）设小海团队家长有x名，学生有y名，根据小海团队共16人，以及小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元，列出方程组进行求解即可； （2）求出退票需扣除的费用，再求出团队购票所需的总费用，用1000减去退费扣除的费用，以及团队购票费用，即可得出结果． 【详解】（1）解：设小海团队家长有x名，学生有y名， 由题得： 解得：， 答：小海团队家长有9名，学生有7名 （2）小海团队与乐乐团队合并后总人数为（人），满足20人及以上的团体票条件， 因此小海团队的16人可按团体票价购买， （元）， （元）， （元）． 答：重新购票后能节省132元． 【变式训练7-6】．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系是关键． （1）设生产竖式纸盒个，横式纸盒个，根据一个竖式纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，一个横式纸盒需要3个长方形纸板，2个正方形纸板，根据纸板刚好用完结合长方形和正方形的纸板数列出方程组求解即可； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由1个竖式纸盒与2个横式纸盒需要正方形纸板5个，长方形纸板10个，由此列出方程解答即可； （3）分析题意需分类讨论，①如果剩余两张正方形纸板；②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板；③如果剩余两张长方形纸板，再结合（1）中的方法分析即可解答． 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 题型8 三元一次方程组（基础拓展题型） 【例16】．（23-24六年级下·上海静安·期中）解方程组，较简便的方法是（    ）． A．先消z B．先消y C．先消x D．无法确定 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】，，得：，根据，得：，可得，方程组随之得解，问题即可作答． 【详解】 ，得：， ，得：，即， 将代入，解得：， 将，代入，解得：， 根据解答过程可知较简便的方法是先消y， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求解三元一次方程组的知识，掌握加减消元法，是解答本题的关键． 【例17】．（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 【答案】5 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用整体思想解题是关键．利用加减消元法可得，再整体代入方程组求解即可． 【详解】解：， 由得：， 将③代入①得：， 则， 故答案为：5． 【核心思路】：两次消元，消去同一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组求解。 【变式训练8-1】．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）已知x、y、z满足方程组，且，则_____． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解、比的应用 【分析】把看做是常数，可得，再分别求解x，y的值，从而可得答案． 【详解】解：，整理得：， 得：， ， 把代入①得：， ． 【变式训练8-2】．（25-26六年级下·上海虹口·期末）解方程组：． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【详解】解： 得：，即，④ 得：，解得：， 把代入③得：，解得：， 把，代入①得：，解得：， ∴方程组的解为． 【变式训练8-3】．（25-26六年级下·上海静安·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【详解】（1）解： 得， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 由②得，代入①③得， 得， 得， 解得，代入得， ， 解得， 将，代入得， ， ∴原方程组的解为． 一、单选题 1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是三元一次方程，故本选项不符合题意； C、是二元一次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，故本选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，解决本题的关键是要能熟记二元一次方程的定义． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A：含有三个未知数，不是； B：符合条件，是； C： mn项的次数为2，不是； D：存在不是整式的式子，不是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 3．若，是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程中得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 即的值是． 故选：D． 4．二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法解方程组，即可求解． 【详解】解： 由得，， 解得x=2， 把x=2代入①得，4-y=5， 解得y=-1， 故该方程组的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 5．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是（    ） ①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】观察图形可知，A型纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，B型纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，设A型盒子个数为x个，可得A型纸盒需要长方形纸板的数量和B型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对①进行判断；设B 型盒中正方形纸板的个数为m个，可得B型纸盒需要长方形纸板的数量和A型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对②进行判断；设制作A 型盒子a个，B型盒子b个，根据长方形纸板360张，正方形纸板120张，可得出方程组，解之即可得出a，b值，进而可对③④进行判断． 【详解】解：设A型盒子个数为x个，则A型盒子需要长方形纸板张，正方形纸板x张， ∵B型纸盒需要2个正方形纸板， ∴可制作B型纸盒的数量为个，需要长方形纸板张， ∴，故①正确； 设B 型盒中正方形纸板的个数为m个，则B型纸盒有个，需要长方形纸板张，A型盒子有个， ∴，故②正确； 设制作A 型盒子a个，B型盒子b个， 则，解得， ∴A型盒子有72个，B型纸盒有24个， ∴B型纸盒中正方形纸板48个， 故③④正确； 故正确的个数有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及二元一次方程组的应用，找准等关系，正确列出一元一次方程(或二元一次方程组)是解题的关键． 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． 根据题意建立方程组并求解，验证各选项的正确性即可 【详解】解：A：由题意可知绳索长，对折后长度为， ∵对折后比竿短5尺， ∴，正确； B：设绳索长为y尺， 则，即， 代入A得， 可得，正确； C：设绳索长为y尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺， ∴， ∴，正确； D：解方程得，故竿长应为15尺，错误； 故选：D． 二、填空题 7．若是关于的二元一次方程的一组解，则___________． 【答案】 【详解】解：将代入，则， 那么． 8．若x、y满足方程组，则x+y的值是 _____． 【答案】2 【分析】直接把两式相加即可得出结论． 【详解】解：， ①+②得，4x+4y=8，解得x+y=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键． 9．已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：， 得， ∴． 10．方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握代入法解二元一次方程组，是解决问题的关键． 方程②变形为③，把③代入方程①求出x，代回方程③求出y值即可． 【详解】解：， 由②，得③， ③代入①，得， 解得，， 把代入③，得． ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 11．《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊五，值金十六两．问牛、羊各值金几何?”其译文如下：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”．设每头牛值两银子，每只羊值两银子，则可列二元一次方程组为__________． 【答案】 【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”列出方程组即可． 【详解】解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，由题意可得方程组为． 12．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元．设甲服装的成本是元，乙服装的成本是元，根据题意可列方程组为____． 【答案】 【分析】设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，根据“甲、乙两件服装的成本共500元，”“共获利157元”，列方程组解决问题． 【详解】解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，由题意得 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查从实际问题中抽出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 13．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球元/个，篮球元/个，共有______种购买方案． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设购买足球个，篮球个，根据题意列出方程，找出满足为非负整数的解的组数，明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程非负整数解是解题的关键． 【详解】解：购买足球个，篮球个， 根据题意得，， 整理得：， ∴， ∵为非负整数 ∴或或或或或， ∴共有种购买方案， 故答案为：． 14．某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度，平路速度，下坡速度，那么他从家到学校需要，从学校回家需要．则该同学家到学校全程是_____． 【答案】 【分析】设上坡路的长度为，平路长，然后根据时间路程速度结合已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：设上坡路的长度为，平路长， 由题意得， ， 解得， ∴上坡路的长度为，平路长， ∴该同学家到学校全程是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 15．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出，再求出的值，即可解答． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 16．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是__________． 【答案】 【分析】将待解方程组变形后与已知解的方程组对比，得到关于的二元一次方程组，再求解即可 【详解】解：把待解方程组两边同时除以2，得， 方程组的解是， ， 整理第二个方程得， 得到新方程组， 两式相加得， 解得， 将代入， 解得， 待解方程组的解为． 三、解答题 17．解方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） 【答案】(1) (2) 【分析】（）将单独分离出来，用含的式子表示，代入即可求解； （）将，再与②相加即可得到的值，将代入即可求解的值． 【详解】（1）解：（代入法） 由②变形得：③ ， 把③代入①得： ， 解得： ， 把代入③得：， ∴方程组的解为； （2）解：（加减法） 将得：③ ， ③+②得：， 解得： ， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 18．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先将原方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ①＋②×3，得： ， 解得：， 把代入①，得： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）将原方程组整理，得： ①＋②×5，得： ， 解得：， 把代入①，得： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法；当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数互为相反数或相等时（如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数互为相反数或相等），把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．理解和掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 19．已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论． 【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得： ， 解得：， 答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、． 20．陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法宝凝聚能量：2个「乾坤圈」和5个「风火轮」同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个「乾坤圈」和2个「风火轮」联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个「乾坤圈」和单个「风火轮」每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要单位能量才能完全净化．若启动8个「乾坤圈」和10个「风火轮」持续运转5小时，哪吒能否在海夜叉攻破结界前完成净化？请用计算证明． 【答案】(1)单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的计算，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解； （2）根据题意以及（1）的结论列出算式，其结果与比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设1个「乾坤圈」每小时产生x单位净化能量，1个「风火轮」每小时产生y单位净化能量， 根据题意得：， 解得： 答：单个「乾坤圈」每小时各能产生6单位净化能量，单个「风火轮」每小时各能产生4单位净化能量： （2）解：根据题意，． 因为，所以不能在海夜叉攻破结界前完成净化 21．某农机专卖店在当地政策的支持下，购进一批国产耕地机．请根据下表信息，解答下列问题． 问题背景 某农机专卖店为满足市场需求，计划用240万元从厂家购进A，B两款国产耕地机若干台． 素材1 从厂家购进3台A款国产耕地机和2台B款国产耕地机共需90万元． 素材2 从厂家购进2台A款国产耕地机和3台B款国产耕地机共需85万元． 问题解决 任务（1） （1）求A，B两款国产耕地机每台的进价； 任务（2） （2）要使这240万元正好用完（两种耕地机都要购买），请列出购进方案． 【答案】任务（1）：A款国产耕地机每台的进价为20万元，B款国产耕地机每台的进价为15万元；任务（2）一共有三种方案：方案一：购买A款国产耕地机3台，购买B款国产耕地机12台；方案二：购买A款国产耕地机6台，购买B款国产耕地机8台；方案三：购买A款国产耕地机9台，购买B款国产耕地机4台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务（1）：设A款国产耕地机每台的进价为x万元，B款国产耕地机每台的进价为y万元，根据素材1和素材2建立方程组求解即可； 任务（2）：设购买A款国产耕地机m台，购买B款国产耕地机n台，根据一共花费240万元建立方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：任务（1）：设A款国产耕地机每台的进价为x万元，B款国产耕地机每台的进价为y万元， 由题意得，， 解得， 答：A款国产耕地机每台的进价为20万元，B款国产耕地机每台的进价为15万元； 任务（2）：设购买A款国产耕地机m台，购买B款国产耕地机n台， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是正整数， ∴m是3的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一：购买A款国产耕地机3台，购买B款国产耕地机12台；方案二：购买A款国产耕地机6台，购买B款国产耕地机8台；方案三：购买A款国产耕地机9台，购买B款国产耕地机4台． 22．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 23．情境  小海在学习解二元一次方程组时遇到了这样一个问题，解方程组 尝试（1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面解题过程补充完整． 解：设，，则原方程组可化为_______，解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得_____； 迁移（2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得， 所以，解这个方程组，得． 24．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由换元法，设，，解得，进而求出． （2）由换元法，设，，则该方程组为，由题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， 设，， 则原方程组化为， 得，， ， 解得， ，解得． （2）解：方程组， 可化为， 设，， 则该方程组化为， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ，解得． 1. 概念误区：忽略“整式方程”条件，误将分式方程判定为二元一次方程；误认为二元一次方程仅有一组解； 2. 加减消元误区：方程同乘常数时，漏乘常数项，导致整体计算错误； 3. 代入消元误区：多项式整体代入未加括号，符号运算出错； 4. 检验误区：仅代入一个方程检验，忽略方程组解是“公共解”的核心要求； 5. 参数讨论误区：判定无解、无数解时，仅对比未知数系数，遗漏常数项比例判定； 6. 应用题误区：设两个未知数仅列出一个方程；解出负数、小数人数/物品数，不取舍、不检验实际意义； 7. 书写误区：方程组解未用大括号联立，解题跳步、步骤不规范，导致步骤分丢失。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $