第04讲 整式乘法（3知识点+8大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第04讲 整式乘法（3知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点归纳： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点02：单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点03：整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【题型1 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【题型2 计算单项式乘整式】 【例2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【题型3 计算整式乘整式】 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【变式3-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，那么 ． 【变式3-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【题型4 整式混合运算】 【例4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【变式4-1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【变式4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【题型5 化简求值】 【例5】（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【变式5-1】化简求值：，其中，． 【变式5-2】化简求值：，其中． 【变式5-3】先化简，再求值：，其中． 【题型6 不含某项求字母的值】 【例6】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）若的展开式中不含的二次项和一次项，求、的值． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）一个二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为，求的值． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果代数式与的积的展开式中不含有和项，求和的值． 【题型7 图形面积问题】 【例7】（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式7-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【变式7-4】（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【题型8 规律性问题】 【例8】（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【变式8-3】（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了整式乘以整式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则（   ） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）与相等的代数式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 5．（24-25七年级上·上海·期中）由整式与整式相乘的法则可知：即：，我们把这个等式叫做整式乘法的立方和公式．下列对这个立方和公式应用不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 9．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的多项式与的积不含二次项和三次项，则 ． 10．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知关于的整式与的积不含二次项和三次项，则 ． 12．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若．求的值是 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． 三、解答题 14．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 15．先化简，再求值：，其中． 16．（2024七年级上·上海·专题练习）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 17．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 整式乘法（3知识点+8大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点归纳： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点02：单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点03：整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点归纳： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【题型1 计算单项式乘单项式】 【例1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘法法则是解题关键．根据单项式的乘法法则求解即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘单项式 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式的乘法法则，熟记单项式乘单项式的乘法法则是解题的关键． 根据单项式乘单项式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式及积的乘方，先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 【题型2 计算单项式乘整式】 【例2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及整式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可先去括号，然后再进行整式的加减运算． 【详解】解：原式； 故答案为． 【变式2-2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，运用相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、积的乘方运算 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方．利用单项式乘多项式，积的乘方计算，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 【题型3 计算整式乘整式】 【例3】（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，按多项式乘以多项式展开，再进行加减运算，即可求解；掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式3-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）已知，那么 ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则．先计算出，再根据，可得，，求出、，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，合并同类项．根据多项式乘多项式的运算法则将括号展开，然后合并同类项，即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的运算，理解运算法则是解答关键． 先将变形为，再利用多项式乘多项式的运算法则求解． 【详解】解： ． 【题型4 整式混合运算】 【例4】（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法有关法则是解题的关键．根据整式乘法法则依次计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、计算多项式乘多项式、整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据多项式乘以多项式以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 【题型5 化简求值】 【例5】（22-23七年级上·上海青浦·期中）化简并求值；其中， 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项，把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-1】化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】根据多项式乘多项式、去括号法则和合并同类项的方法，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 【变式5-2】化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据整式乘法运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式5-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型6 不含某项求字母的值】 【例6】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的四处为0，求出的值，代入利用有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ， 关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项， ， ，则， ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·期中）若的展开式中不含的二次项和一次项，求、的值． 【答案】， 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果合并同类项，根据“的展开式中不含的二次项和一次项”建立方程，即可求解．解题的关键是明确：不含的二次项和一次项，则二次项的系数和一次项的系数都为． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的二次项和一次项， ∴，， ∴，． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）一个二次三项式，将它与一个关于的二项式相乘，乘积中不出现一次项，且二次项系数为，求的值． 【答案】的值为，的值为． 【知识点】加减消元法、已知多项式乘积不含某项求字母的值、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，先根据已知条件分别与进行相乘，再根据积中不出现一次项，且二次项系数为这个条件，列出方程组，然后解方程组求出的值即可，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ∵乘积中不出现一次项，且二次项系数为， ∴，解得：， ∴的值为，的值为． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如果代数式与的积的展开式中不含有和项，求和的值． 【答案】的值为和的值为． 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，直接利用多项式乘法运算法则化简进而得出和项的系数为零进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ∵积的展开式中不含有和项， ∴，解得：， ∴的值为和的值为． 【题型7 图形面积问题】 【例7】（24-25七年级上·上海·期中）如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积， （1）根据题意，四边形、四边形及四边形为正方形，则，，可求卫生间的长，宽，再表示面积，根据厨房边长与卫生间的边长相等，即可求解； （2）将时，卫生间的面积的值． 【详解】（1）解：根据题意，厨房和卫生间分别是正方形和长方形且边长相等， 卫生间和厨房的面积为： （2）解：当时， 原式平方米． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．根据题意，运用多项式乘以多项式得到长方形的面积，结合卡片的面积即可求解． 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 故选：C ． 【变式7-2】（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，在长方形中，放入个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为，且．用、的代数式表示阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式的混合运算以及列代数式，先用、的代数式表示长、宽，再根据阴影部分的面积长方形的面积个小长方形的面积，利用长方形的面积公式表示出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， 由图形得：，， ． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 【变式7-4】（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】（）利用割补法即可求解； （）延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； 本题整式运算的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（）， ， 故答案为：； （2）解：延长与交于，如图（）， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长与交于，延长与交于，如图（）所示， ∵， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：延长与交于，延长与交于，如图（）， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【题型8 规律性问题】 【例8】（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知 ，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想： ．（n为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①______． ②______（n为正整数）． ③_______． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值及多项式乘多项式规律问题． （1）根据题意易得； （2）①把，代入（1）中规律计算即可； ②把代入（1）中规律计算即可； ③把代入（1）中规律计算即可；． 【详解】（1）解：， ， ∴； 故答案为：； （2）解：①把，代入可得； ②把代入可得， ∴， ∴， ∴； ③把代入可得， ∴． 故答案为：，，． 【变式8-2】（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五，六，32 (2)，64 (3)，见解析 (4)1 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、多项式的项、项数或次数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式取正整数）的展开式的各项系数之和； （4）把，代入即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 【变式8-3】（23-24七年级上·上海奉贤·期中）阅读并填空： 我们已经学习了整式乘以整式，可以计算以下的式子， __________． __________．（结果按字母x降幂排列） __________．（结果按字母x降幂排列） …… 观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”． 利用“贾宪三角”可知：__________． “贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）． 【答案】，，，， 【详解】解 ：由题意知，． ． ． 利用“贾宪三角”可知：． ∵第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， …… ∴可推导一般性规律为：第n个数是． 故答案为：，，，，． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）若M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则（   ） A．一定是关于x的十二次整式 B．一定是关于x的三十五次整式 C．一定是关于x的低于十二次的整式 D．无法确定其关于x的次数 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式的运算法则可进行求解． 【详解】解：由M、N分别是关于x的七次整式与五次整式，则一定是关于x的十二次整式； 故选A． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）与相等的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的符号问题，根据进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴与相等的代数式是． 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．（24-25七年级上·上海·期中）由整式与整式相乘的法则可知：即：，我们把这个等式叫做整式乘法的立方和公式．下列对这个立方和公式应用不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式．根据立方公式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，因此本选项符合题意； B、，因此本选项不符合题意； C、，因此本选项不符合题意； D、，因此本选项不符合题意； 故选：A． 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法，掌握相关法则是解题的关键． 根据整式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 8．（24-25七年级上·上海嘉定·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的多项式与的积不含二次项和三次项，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的积不含二次项和三次项， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：3． 10．（2024七年级上·上海·专题练习）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 先根据题意得出，，再整体代入求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知关于的整式与的积不含二次项和三次项，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的积不含二次项和三次项， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：3． 12．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若．求的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，由已知条件得出，再根据多项式乘多项式法则计算得出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式的乘法，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中的系数是，列出关于的等式求解即可． 【详解】解：， ， 运算结果中的系数是， ， 解得， 故答案为：10． 三、解答题 14．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 15．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 16．（2024七年级上·上海·专题练习）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，根据展开式中没有二次项和常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【详解】解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 17．如图1，把边长为的正方形放在长方形中，其中正方形的两条边分别在，上，已知，． (1)请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积： ； (2)将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知，； ①请用含a、b的代数式表示长方形的面积： ；请用含a、b的代数式表示长方形面积： ； ②若长方形的周长为6，求阴影部分的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①，；②． 【分析】本题主要考查几何图形与多项式乘以多项式运算，掌握用整式表示阴影部分面积是解题的关键． （1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可； （2）①用代数式表示出，，结合长方形的面积公式即可求解； ②由长方形的周长为6可得，结合即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）①根据题意得，，， ∴， ； ②， ， ， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$