专题04 二元一次方程组（5知识点+4核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

专题04 二元一次方程组（5知识点+4核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 二元一次方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件： 知识点02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集. 知识点03 二元一次方程组 二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次； 注意： 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点05 三元一次方程组 考点一：二元一次方程组的概念 例1-1.（22-23六年级下·上海松江·期末）下列方程中，是二元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：A、该方程不属于方程，故本选项不符合题意; B、该方程是二元一次方程，故本选项符合题意； C、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意; D、该方程含有三个未知数，故本选项不符合题意； 故答案为：B． 【点睛】本题考查二元一次方程，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型.． 例1-2.（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查的是二元一次方程组的判别，熟悉二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】A． ，是二元一次方程组； B． ，方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组； C． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； D． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； 故选：A． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·期末）将方程变形为用含有的式子表示，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将看作已知数求出即可． 【详解】解： ∴ ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的概念，根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面求常数、的值即可．解题的关键是掌握二元一次方程的形式及其特点：只含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，， ∴，． 故答案为：；． 【变式1-4】（23-24六年级下·上海·阶段练习）二元一次方程的非负整数解为 ．（写出一组即可） 【答案】，． 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了解二元一次方程，分别令，然后代入方程，即可求解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，不满足题意； 当时，，解得，不满足题意； 当时，，解得，不满足题意； 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，不满足题意； 当时，，解得，不满足题意； ∴二元一次方程的非负整数解为：，， 故答案为：，． 考点二：二元一次方程组的解法 例2-1.（23-24六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先整理得出，再把代入，解出，再把代入，解出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴整理得出 ∴把代入 得 解得 把代入， 得出 ∴ 例2-2.（24-25六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【答案】． 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：， 由：得， 解得：， 把代入②，解得：， ∴方程组的解是． 例2-3.（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】此题考查同解方程组的意义，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题． 首先把和联立方程组，求得x、y的数值，再进一步代入原方程组的另一个方程，再进一步联立关于a、b的方程组，进一步解方程组求得答案即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与同解， ∴解方程组，得：， 把代入方程组， 得：， 解得：，． ∴． 【变式2-1】（2023六年级下·上海·专题练习）方程组的解的情况是（    ） A． B． C．无解 D．无数组解 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是注意观察两个方程的未知数的系数之间的关系． 【详解】解：观察方程组，发现第一个方程可以变形为， ∴该方程组有无数组解． 故选：D． 【变式2-2】（23-24六年级下·上海·阶段练习）一个二元一次方程组的解是，这个二元一次方程组可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解即可求解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【详解】解：解为的二元一次方程组可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】整数为 时，方程组有正整数解． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出的值． 【详解】解：， ①②2，得 ， ， 将代入②式，得： ， 又方程组是正整数解， 12时满足x、y均为正整数， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【变式2-4】（22-23六年级下·上海松江·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】解法1：由①得③，把③代入②，得，求解y的值，再求解x即可； 解法2：由①×2得③，又③+②得： ，先求解x的值，再求解y的值即可． 【详解】解法1：， 由①得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③得， ， 所以原方程组的解为． 解法2：， 由①×2得③， 又③+②得： ， 解得：， 将代入①得： ， 所以原方程组的解为． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入法加减法解方程组是解本题的关键． 【变式2-5】（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）解下列二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）由①②可得，再代入②，可得，从而可得答案； （2）把方程整理为：，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ①②，得， 解得． 将代入②，得， 解得． 所以方程组的解是； （2）解：， 整理得：， ②①得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 考点三：二元一次方程组的应用 例3. （2024六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 【答案】该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是明白列方程的依据：第一次邮购费用第二次邮购费用总邮购费用． 设第一次邮购册，则费用为；则第二次邮购册，费用为；根据总费用为960元及共购200册可得出方程组，解出即可． 【详解】解：设该单位第一次邮购册，第二次邮购册， 由题意得：， 解得：． 答：该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 【答案】小丽的4次飞镖总分为分． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，根据小杰及小明的总分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，依题意得： ， 解得：， ． 答：小丽的4次飞镖总分为分． 【变式3-2】（2024六年级下·上海·专题练习）学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【答案】学校合唱队原来有11名同学 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设学校合唱队原来有名女同学，名男同学，根据学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设学校合唱队原来有名女同学，名男同学， 由题意得：， 解得：， ， 答：学校合唱队原来有11名同学． 【变式3-3】（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【答案】甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时，根据相遇时甲车比乙车多行18千米，甲车小时行完全程，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时， 由题意可得：， 解得：， ∴甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟知速度，时间和路程的关系． 【变式3-4】（2023六年级下·上海·专题练习）六年级同学乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，请问：一共有多少学生？ 【答案】一共有240名学生． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设一共有x名学生，y辆车，根据“如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设一共有x名学生，y辆车， 依题意，得：， 解得：． 答：一共有240名学生． 【变式3-5】（2024六年级下·上海·专题练习）甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 【答案】甲仓库运出了455吨粮食，乙仓库运出了105吨粮食 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用．根据甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，甲仓库所剰粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲仓库运出了吨粮食，乙仓库运出了吨粮食． 由题意，得， 解得， 答：甲仓库运出了455吨粮食，乙仓库运出了105吨粮食． 【变式3-6】（2024六年级下·上海·专题练习）2014年世界杯足球赛将于6月13日月14日在巴西举行.2014年巴西世界杯的吉祥物已经确定为一只可爱的三色犰狳（又称：铠鼠），吉祥物官方名称确定为“”（福来哥）（如图所示）．小鑫在一家销售巴西世界杯吉祥物的网站上，看到“福来哥”小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元．小鑫手上有元钱，想买大、小毛绒玩偶共个，如果将钱恰好用完，那么大、小毛绒玩偶各买了多少个？ 【答案】大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个．根据“大毛绒玩偶小毛绒玩偶个、购买大毛绒玩偶总额购买小毛绒玩偶总额元”列出方程组并解答即可得答案． 【详解】解：设大毛绒玩偶买了个，小毛绒玩偶买了个， ∵大、小毛绒玩偶共个、小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元，购买总额为元， ∴， 解得：． 答：大毛绒玩偶买了5个，小毛绒玩偶买了10个． 【变式3-7】（2024六年级下·上海·专题练习）2010年南非世界杯的半决赛门票价格是一等席600美元，二等席400美元，三等席250美元．某公司组织体育比赛获奖的36名职员到南非观看2010年世界杯的半决赛．除去其他费用，计划购买两种门票，恰好用完10050美元，你能设计出几种方案供该公司选择？请说明理由． 【答案】两种购票方案，见解析 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，要能够分情况列出二元一次方程，根据它们的解必须是正整数进行分析讨论． 此题分三种情况讨论：可以设一等席和二等席或一等席和三等席或二等席和三等席．然后根据解应是正整数进行分析其解． 【详解】解：①设购买一等席门票张，二等席门票张，根据题意可列方程组 解得 因为、都是正整数，所以此方案不可行． ②设购买一等席门票张，三等席门票张，根据题意可列方程组 解得 所以可购买一等席门票3张，三等席门票33张． ③设购买二等席门票张，三等席门票张，根据题意可列方程组 解得 所以可购买二等席门票7张，三等席门票29张． 答：共有两种购票方案，购一等席门票3张，三等席门票33张，或购二等席门票7张，三等席门票29张． 【变式3-8】（2024六年级下·上海·专题练习）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 【答案】(1)、两种商品单价各是10元、15元 (2)购买种商品50件 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用： （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：设、两种商品单价各是元、元， ， 解得，， 答：、两种商品单价各是10元、15元； （2）解：设购买种商品件， ， 解得，， 答：购买种商品50件． 【变式3-9】（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人； (2)甲、乙两公司共捐款36000元； (3)共有2种购买方案，方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资；方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲公司有人，则乙公司有人，根据“甲公司的人数比乙公司少30人，且甲、乙两公司的捐款总数相同”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用甲、乙两公司的捐款总数甲公司的人均捐款数甲公司的人数乙公司的人均捐款数乙公司的人数，即可求出结论； （3）设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数且，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人， 根据题意得：， 解得：． 答：甲公司有150人，乙公司有180人； （2）解： （元． 答：甲、乙两公司共捐款36000元； （3）解：设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资， 根据题意得：， ． 又，均为正整数，且， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资； 方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 考点四：简单的三元一次方程组 例4. （23-24六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，先消去，把三元一次方程组变成二元一次方程组，解二元一次方程组即可求解，掌握解三元一次方程组的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 得，， 得，， 与组成方程组得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为． 【变式4-1】（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）解方程组： 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】先①②和②③消去后，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ①②得：④， ②③得：⑤， ④⑤得：， ④⑤得：， 把代入②得：， 所以方程组的解是：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元思想． 【变式4-2】（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 方程组前两个方程相加消去得到与的方程，与第三个方程联立求出与的值，进而求出的值即可． 【详解】解： ①②得：④， ④③得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】此题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是掌握把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法，从而得出答案．由得，进而再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：④， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为． 【变式4-4】（23-24六年级下·上海徐汇·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法或加减消元法是解题的关键．通过加减消元法即可完成求解． 【详解】解： 得： 得： 得： 解得： 把代入④得： 把，代入①得： 故方程组的解为： 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程，移项，再把y的系数化为1即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：方程移项得，， 两边同时除以4得，， 故选：C． 2．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个整式方程组成的方程组，即可作答． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意； C、第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D、第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 3．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）六（6）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人．如果六（6）班学生数为x人，分成y组，那么可得方程组为（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】设学生数为x人，分成y组，根据组数和总人数的数量关系建立方程组求解即可． 【详解】设学生数为x人，分成y组， 由题意知：如果每组6人，那么多出3人，可得出：， 如果每组7人，组数固定，那么有一组少4人，可得出：， 故有：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只， 由题意可得：， 故选：D． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为，根据“车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时”列方程组求解即可． 【详解】解：设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为， 根据题意，得， 化简得， 两式相加，得， ∴， 即甲乙两地的公路长， 故选：B． 二、填空题 6．（21-22六年级下·上海·期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝ ． 【答案】9 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】三个方程相加可得结论． 【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18， ∴x+y+z＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型． 7．（21-22六年级下·上海闵行·期末）方程组的解是 ． 【答案】/ 【知识点】加减消元法 【分析】本题运用加减消元法即可求出方程组的解． 【详解】解： ①+②得， 解得， 把代入①得， 解得． 故原方程组的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查用加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 8．（22-23六年级下·上海闵行·期末）已知是方程的解，那么 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将代入即可求的值． 【详解】解：将代入，可得 ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入求值是解题的关键． 9．（21-22六年级下·上海杨浦·期中）若鸡兔同笼，笼中共有20只头，64只脚，则笼中鸡有 只，兔有 只． 【答案】 8 12 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“鸡兔同笼，头共有20个，脚有64只”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设笼中有x只鸡，y只兔， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：8，12． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果将方程变形为用含x的式子表示y，那么 ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 11．（23-24六年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，先整理出，再代入，得出，再把代入，得出，则把代入解出，即可作答． 【详解】解： 由得出，整理得 把代入，得出 解得 把代入，得出 把代入，得出 ∴方程组的解为 故答案为： 12．（22-23六年级下·上海闵行·期末）某班级同学分组，若每组5人则余3人，若每组6人则缺5人．设班级人数为人，组数为组，则列方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据关键语句“若每组5人，余3人”可得方程；“若每组6人，则缺5人．”可得方程，联立两个方程可得方程组． 【详解】解：设班级人数为人，组数为组， 由题意得． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 13．（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）若是的解，则 ， ； 【答案】 / / 【知识点】二元一次方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】将代入，得到关于、的方程组，求解即可得到答案． 【详解】解：将代入，得：， 解①得：， 解②得：， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次方程，利用二元一次方程组的解的定义正确得出关于、的方程是解题关键． 14．（2024六年级下·上海·专题练习）一个矩形的周长是，长比宽多，那么矩形的面积是 ． 【答案】18 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；设矩形的长为，宽为，根据“矩形的周长是，长比宽多”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出结论． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（21-22六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】根据加减消元法求解即可． 【详解】解：由①+②得：， ∴， 把代入②得：， 所以原方程组的解是： ． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，常见的解法有代入消元法和加减消元法，灵活选用合适的解法是解题的关键． 16．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】此题考查了解三元一次方程组，采用加减消元法即可作答． 【详解】解：， ①②得：④， ③④得： 解得：， 把代入③得：， 把，代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：． 17．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    【答案】小丽的5次飞镖总分为37分 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分，根据图示列二元一次方程组，解之即可. 【详解】解：设A区域每次中镖得分，B区域每次中镖得分． 依题意得， 解得， 小丽：（分） 答：小丽的5次飞镖总分为37分． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 18．（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【答案】39人 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出方程组进而求出是解题关键． 设六年级（2）班有男生人，女生人，则利用男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，得出方程组求出即可． 【详解】解：设六年级（2）班有男生人，女生人， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：这个班级的学生人数为39人． 19．（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 20．（22-23六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 【答案】(1)每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车 (2)该汽车的续航里程为400千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，再列方程组解题即可； （2）设该汽车的续航里程为千米．根据“充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米”可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车 根据题意，可得， 解得： ， 答：每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车． （2）设该汽车的续航里程为千米． 根据题意，可得， 解得： ， 答：该汽车的续航里程为400千米． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键． 21．（2024六年级下·上海·专题练习）某地有120吨水果，计划用甲、乙两种货运车运往上海销售，已知甲种车能装载5吨，乙种车能装载6吨，现有甲、乙两种车共22辆． (1)若在满载情况下，恰好能将这些水果一趟全部运完，那么甲、乙种车各有多少辆？ (2)假如甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，现要求车辆满载，将水果最多可分两趟恰好全部运完，但要求总运费不超过34500元，这样的配车方案若存在，请求出这样的所有配车方案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲种车有12辆，乙种车有10辆 (2)存在这样的配车方案，该方案为：分配乙种车10辆 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设甲种车有辆，乙种车有辆，根据甲、乙两种车22辆在满载情况下恰好一趟运送120吨水果，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由（1）可知：当将水果一趟恰好全部运完时，需甲种车12辆，乙种车10辆，求出总运费，由该值大于34500，可得出该方案不符合题意；当将水果分两趟恰好全部运完时，设分配甲种车辆，乙种车辆，根据分配的两种车分两趟恰好运送120吨水果，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各分配方案，再结合要求总运费不超过34500元，即可找出符合题意的配车方案． 【详解】（1）设甲种车有辆，乙种车有辆， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种车有12辆，乙种车有10辆； （2）由（1）可知：当将水果一趟恰好全部运完时，需甲种车12辆，乙种车10辆， （元，， 该方案不符合题意； 当将水果分两趟恰好全部运完时，设分配甲种车辆，乙种车辆， 根据题意得：， ． 又，均为自然数， 或或， 该情况下共有3种配车方案， 方案1：分配乙种车10辆，所需总运费（元）； 方案2：分配甲种车6辆，乙种车5辆，所需总运费（元）； 方案3：分配甲种车12辆，所需总运费（元）． ， 存在这样的配车方案，该方案为：分配乙种车10辆． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组（5知识点+4核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 二元一次方程 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程； 具备两个条件： 知识点02 二元一次方程的解 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解； 二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，它们的解的全体叫二元一次方程的解集. 知识点03 二元一次方程组 二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次； 注意： 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值. 二元一次方程组的解法 知识点04 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 知识点05 三元一次方程组 考点一：二元一次方程组的概念 例1-1.（22-23六年级下·上海松江·期末）下列方程中，是二元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 例1-2.（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24六年级下·上海·期末）将方程变形为用含有的式子表示，则 ． 【变式1-3】（22-23六年级下·上海虹口·期中）如果方程是关于，的二元一次方程，则 ， ． 【变式1-4】（23-24六年级下·上海·阶段练习）二元一次方程的非负整数解为 ．（写出一组即可） 考点二：二元一次方程组的解法 例2-1.（23-24六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 例2-2.（24-25六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 例2-3.（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【变式2-1】（2023六年级下·上海·专题练习）方程组的解的情况是（    ） A． B． C．无解 D．无数组解 【变式2-2】（23-24六年级下·上海·阶段练习）一个二元一次方程组的解是，这个二元一次方程组可以是 ． 【变式2-3】整数为 时，方程组有正整数解． 【变式2-4】（22-23六年级下·上海松江·期末）解方程组： 【变式2-5】（24-25六年级下·上海闵行·阶段练习）解下列二元一次方程组 (1) (2) 考点三：二元一次方程组的应用 例3. （2024六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 【变式3-1】（24-25六年级上·上海嘉定·期末）在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 【变式3-2】（2024六年级下·上海·专题练习）学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【变式3-3】（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【变式3-4】（2023六年级下·上海·专题练习）六年级同学乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，请问：一共有多少学生？ 【变式3-5】（2024六年级下·上海·专题练习）甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 【变式3-6】（2024六年级下·上海·专题练习）2014年世界杯足球赛将于6月13日月14日在巴西举行.2014年巴西世界杯的吉祥物已经确定为一只可爱的三色犰狳（又称：铠鼠），吉祥物官方名称确定为“”（福来哥）（如图所示）．小鑫在一家销售巴西世界杯吉祥物的网站上，看到“福来哥”小毛绒玩偶每个元，大毛绒玩偶每个元．小鑫手上有元钱，想买大、小毛绒玩偶共个，如果将钱恰好用完，那么大、小毛绒玩偶各买了多少个？ 【变式3-7】（2024六年级下·上海·专题练习）2010年南非世界杯的半决赛门票价格是一等席600美元，二等席400美元，三等席250美元．某公司组织体育比赛获奖的36名职员到南非观看2010年世界杯的半决赛．除去其他费用，计划购买两种门票，恰好用完10050美元，你能设计出几种方案供该公司选择？请说明理由． 【变式3-8】（2024六年级下·上海·专题练习）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 【变式3-9】（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 考点四：简单的三元一次方程组 例4. （23-24六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【变式4-1】（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）解方程组： 【变式4-2】（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 【变式4-4】（23-24六年级下·上海徐汇·期末）解方程组： 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·阶段练习）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22六年级下·上海嘉定·期中）六（6）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人．如果六（6）班学生数为x人，分成y组，那么可得方程组为（） A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·上海宝山·期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（21-22六年级下·上海·期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝ ． 7．（21-22六年级下·上海闵行·期末）方程组的解是 ． 8．（22-23六年级下·上海闵行·期末）已知是方程的解，那么 ． 9．（21-22六年级下·上海杨浦·期中）若鸡兔同笼，笼中共有20只头，64只脚，则笼中鸡有 只，兔有 只． 10．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如果将方程变形为用含x的式子表示y，那么 ． 11．（23-24六年级下·上海·阶段练习）方程组的解为 ． 12．（22-23六年级下·上海闵行·期末）某班级同学分组，若每组5人则余3人，若每组6人则缺5人．设班级人数为人，组数为组，则列方程组为 ． 13．（22-23六年级下·上海徐汇·阶段练习）若是的解，则 ， ； 14．（2024六年级下·上海·专题练习）一个矩形的周长是，长比宽多，那么矩形的面积是 ． 三、解答题 15．（21-22六年级下·上海·阶段练习）解方程组： 16．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 17．（22-23六年级下·上海长宁·期末）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，求小丽的5次飞镖总分．    18．（2024六年级下·上海·专题练习）已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 19．（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 20．（22-23六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 21．（2024六年级下·上海·专题练习）某地有120吨水果，计划用甲、乙两种货运车运往上海销售，已知甲种车能装载5吨，乙种车能装载6吨，现有甲、乙两种车共22辆． (1)若在满载情况下，恰好能将这些水果一趟全部运完，那么甲、乙种车各有多少辆？ (2)假如甲种车每辆每趟运费为1500元，乙种车每辆每趟运费为1700元，现要求车辆满载，将水果最多可分两趟恰好全部运完，但要求总运费不超过34500元，这样的配车方案若存在，请求出这样的所有配车方案；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$