第二周 第4天 全称量词命题和存在量词命题的否定 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第4天 全称量词命题和存在量词命题的否定 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 全称量词命题的否定 💡知识梳理 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 ⚠️ 注意点： 总结起来六个字“改量词，否结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 🎯例1　写出下列命题的否定，并判定其真假． (1)所有分数都是有理数； (2)所有能被5整除的整数都是奇数； (3)p：∀x∈N*，2x>0. 【解】　(1)存在一个分数不是有理数．假命题． (2)存在一个能被5整除的整数不是奇数．真命题． (3)¬p：∃x∈N*，2x≤0.假命题． 对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 反思 归纳 📐跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定． (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 解：(1)∃n∈Z，n∉Q. (2)存在一个奇数的平方不是奇数． (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 知识点2 存在量词命题的否定 💡知识梳理 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 🎯例2　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0； (2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； (3)某些平行四边形是菱形． 【解】　(1)命题的否定：∃x∈R，|x|＋1－x＝0，是假命题． (2)命题的否定：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点，是假命题． (3)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． 对存在量词命题否定的两个步骤: (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 反思 归纳 📐跟踪训练2　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)被8整除的数能被4整除． 解：(1)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题． (2)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题． 题型归纳 关键能力提升 📐题型：根据命题否定求参数 🎯例3　已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 【解】　因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题．则关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实根． 所以a＝0或,即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以a的取值范围为{a|a≤1}． 📐延伸探究　将本例中的条件“ax2＋2x＋1≠0”改为“2x≠－x2＋a”，求实数a的取值范围． 解 因为命题“∀x∈R，2x≠－x2＋a”是假命题， 所以此命题的否定“∃x∈R，2x＝－x2＋a”是真命题，则－x2－2x＋a＝0有实根，所以Δ＝4＋4a≥0，所以a≥－1.所以实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 由命题真假求参数的范围的两个关注点： (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围． 反思 归纳 📐跟踪训练3 命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题， 因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1. 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 自学小结 全称量词与存在量词 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：忽略命题与其否定的真假性相反. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－2x－3≤0　 B．∃x∈R，x2－2x－3≥0 C．∃x∈R，x2－2x－3＞0 D．∀x∈R，x2－2x－3＞0 解析：选D.存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“＞”．故选D. 2．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 解析：选AC.命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题，又D为真命题，A，C为假命题，故选AC. 3．设集合A＝{1，2，4，6，8，10，12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∀n∈A，n<12； (2)∃x∈{x|x是奇数}，x∈A. 解：(1)该命题的否定：∃n∈A，n≥12. 因为12∈A，n≥12成立， 所以这是一个真命题． (2)该命题的否定：∀x∈{x|x是奇数}，x∉A. 1是奇数，且1∈A， 所以这是一个假命题． 4．命题“∀x∈R，x2－2ax＋1＞0”是假命题，求实数a的取值范围________． 解析：由题意，命题“∀x∈R，x2－2ax＋1＞0”是假命题，可得出二次函数y＝x2－2ax＋1与x轴有交点，又由二次函数的性质，可得Δ≥0，即4a2－4≥0，解得a≤－1或a≥1. 故实数a的取值范围为a≤－1或a≥1. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第二周 第4天 全称量词命题和存在量词命题的否定 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 全称量词命题的否定 💡知识梳理 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定： .也就是说，全称量词命题的否定是 命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 ⚠️ 注意点： 总结起来六个字“改量词，否结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 🎯例1　写出下列命题的否定，并判定其真假． (1)所有分数都是有理数； (2)所有能被5整除的整数都是奇数； (3)p：∀x∈N*，2x>0. 对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 反思 归纳 📐跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定． (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 知识点2 存在量词命题的否定 💡知识梳理 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定： 也就是说，存在量词命题的否定是 命题. 🎯例2　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0； (2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； (3)某些平行四边形是菱形． 对存在量词命题否定的两个步骤: (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 反思 归纳 📐跟踪训练2　写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)被8整除的数能被4整除． 题型归纳 关键能力提升 📐题型：根据命题否定求参数 🎯例3　已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 📐延伸探究　将本例中的条件“ax2＋2x＋1≠0”改为“2x≠－x2＋a”，求实数a的取值范围． 由命题真假求参数的范围的两个关注点： (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围． 反思 归纳 📐跟踪训练3 命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围． 自学小结 全称量词与存在量词 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：忽略命题与其否定的真假性相反. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－2x－3≤0　 B．∃x∈R，x2－2x－3≥0 C．∃x∈R，x2－2x－3＞0 D．∀x∈R，x2－2x－3＞0 2．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 3．设集合A＝{1，2，4，6，8，10，12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)∀n∈A，n<12； (2)∃x∈{x|x是奇数}，x∈A. 4．命题“∀x∈R，x2－2ax＋1＞0”是假命题，求实数a的取值范围________． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $